Chuyên đề một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - THCS.TOANMATH.com

(1)

1.

TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A.LÝ THUYẾT

B.DẠNG BÀI MINH HỌA

I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Chứng minh hệ thức

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Ta-lét và hệ thức lượng đã học biến đổi các vế, đưa về dạng đơn giản để chứng minh.

Bài 1. Cho ABC nhọn có đường cao AH. Chứng minh AB²AC² BH²CH². Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có ACBD tại O. Chứng minh AB²CD² AD²BC². Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại ^{A A}



^⁹⁰⁰



^{, kẻ}^BM^^CA. Chứng minh

2

2 1.

AM AB MC BC

 

   

Bài 4 . Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G.

Chứng minh rằng:

a) AE² EK EG. ;

b) 1 1 1

AE AK  AG;

c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.

Bài 5. Cho hình thang ABCD có AB a CD b ,  . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng 1 1 1 1

OE OG  a b. Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn.

Bước 2: Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.

Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm.

Bài 1. Cho ABC vuông tại A có đường cao AH, có AB15 cm,AH 12 cm. Tính BH BC CH AC, , , Bài 2. Cho hình thang ABCD, vẽ ^DE ^^{AC E}



^^AC



^{. Biết}AB9 cm,AC17 cm,CD15 cm.

a) Tính AD BC DE, , . b) Tính S_ABCD,S_ABC.

Bài 3. Cho ABC vuông tại A, có 3

, 30 cm

AB 4AC BC . Tính AB AC, .

Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).

(2)

2.

a) Tính cạnh hình thoi biết AB c BC a ,  . b) Chứng minh 2ac

BD a c

 với AB c BC a ,  . c) Tính độ dài AB, BC, biết AD m DC n DE d ,  ,  .

Bài 5. Cho tam giác ABC, PQ BC/ / với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết

,

PQ a FE b  . Tính độ dài của BC.

Bài 6. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE2. Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF3. Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC.

Dạng 3. Toán thực tế

Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42. Tính chiều cao của cột đèn.

Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là  37 , 31 .    Tính chiều dài CD của cây cầu.

Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn dây dài 0, 5 m. Nếu kéo căng sợi dây sao cho đầu dây chạm đất thì đo được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2,5 m. Tính chiều cao cây.

Bài 4. Nhà An ở vị trí A, nhà Bảo ở vị trí Bcách nhau 2 mk . Quán Game ở tại vị trí C, biết AC800 m và AB AC . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 m/hk và Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An.

(3)

3.

II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. AH² =AB AC. . B. AH² =BH CH. . C. AH² =AB BH. . D. AH² =CH BC. .

Câu 2: "Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng .. ". Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là:

A. Tích hai cạnh góc vuông.

B. Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

C. Tích cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông.

D. Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Câu 3: Cho tam ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?

A. b² =b c¢. . B. 1₂ 1₂ 1₂

h =a +b . C. a h. =b c¢ ¢. . D. h² =b c¢ ¢. .

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?

A. AB² =BH BC. . B. AC² =CH BC. . C. AB AC. =AH BC. .D.

2 2

2

2. 2

AB AC AH AB AC

= + Câu 5: Tìm x y, trong hình vẽ sau:

H C

B

A

c b

h

c' b'

a

H C

A

B

H C

B

A

(4)

4.

A. x =7, 2;y=11, 8. B. x =7;y=12. C. x =7, 2;y=12, 8. D. x =7, 2;y=12. Câu 6: Tính x y, trong hình vẽ sau:

A. x =6, 5;y=9, 5. B. x =6, 25;y=9, 75.C. x =9, 25;y=6, 75. D. x =6;y=10. Câu 7: Tìm x y, trong hình vẽ sau:

A. x =3, 6;y=6, 4. B. y=3, 6;x =6, 4. C. x =4;y=6. D. x =2, 8;y=7, 2. Câu 8: Tính x y, trong hình vẽ sau:

A. x =3, 2;y=1, 8. B. x =1, 8;y=3, 2. C. x =2;y=3. D. x =3;y=2. Câu 9: Tìm x y, trong hình vẽ sau:

12

x y

20

H C

A

B

10

x y

16

H C

B

A

10 8

x H y C

A

B

3 4

x H y C

B A

(5)

5.

A. ^{35 74}; 74

x = 74 y= . B. ^{35 74}; 74

y= 74 x = . C. x =4;y=6. D. x =2, 8;y=7, 2. Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, chiều cao AH và AB=5;AC =12. Đặt BC =y AH; =x. Tính x y, .

A. x =4;y= 119. B. ⁶⁰; 13

y =13 x = . C. x =4, 8;y=13. D. ⁶⁰; 13 x =13 y = .

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A AH, ^BC (H thuộc BC ). Cho biết AB AC: = 3 : 4 và 15

BC = cm. Tính độ dài đoạn thẳng BH .

A. BH =5, 4. B. BH =4, 4. C. BH =5, 2. D. BH =5.

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A AH, ^BC (H thuộc BC ). Cho biết AB AC: = 4 : 5 và 41

BC = cm. Tính độ dài đoạn thẳng CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A. CH »2, 5. B. CH » 4. C. CH »3, 8. D. CH »3, 9. Câu 13: Tính x trong hình vẽ sau:

A. x =14. B. x =13. C. x =12. D. x= 145. Câu 14: Tính x trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A. x »8, 81. B. x »8, 82. C. x »8, 83. D. x »8, 80.

Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Cho biết: AB AC: = 3 : 4 và AH =6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH .

A. CH =8. B. CH =6. C. CH =10. D. CH =12.

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Cho biết AB AC: =3 : 7 và AH = 42cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH .

5 7

x

y

H C

B

A

12 13

x

H C

A

B

15 20

x

H C

B

A

(6)

6.

A. CH =96. B. CH =49. C. CH =98. D. CH = 89. Câu 17: Tính x y, trong hình vẽ sau:

A. x=2 5;y= 5. B. x = 5;y=3 5. C. x = 5;y=2 5. D. x =2 5;y=2 5. Câu 18: Tính x y, trong hình vẽ sau:

A. x = 14;y= 35. B. x = 35;y= 14. C. x = 24;y=3 5. D. x = 6;y= 15. Câu 19: Tính x trong hình vẽ sau:

A. x=6 2. B. x=8 2. C. x=8 3. D. ⁸ x= 2. Câu 20: Tính x trong hình vẽ sau:

A. x=6 2. B. x =6. C. x=6 3. D. x= 82.

Câu 21: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chéo BD vuông góc với BC . Biết 12

AD = cm, DC =25cm. Tính độ dài BC , biết BC <20.

A. BC =15cm. B. BC =16cm. C. BC =14cm. D. BC =17cm.

Câu 22: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chéo BD vuông góc với BC . Biết 10

AD = cm, DC =20cm. Tính độ dài BC .

x y

1 H 4 C

B

A

x y

2 H 5 C

A

B

x x

6

D P

M

N

x x

8

D P

N

M

(7)

7.

A. ^BC =^{3 61}^cm. B. ^BC =^{2 61}^cm. C. BC =15cm. D. ^BC = ⁶¹^cm.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AB AC: =5 : 12 và AB+AC =34cm. Câu 23: Tính các cạnh của tam giác ABC .

A. AB =5;AC =12;BC =13. B. AB=24;AC =10;BC =26. C. AB=10;AC =24;BC =26. D. AB=26;AC =12;BC =24. Câu 24: Tính độ dài các đoạn AH BH CH, , (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A. AH »9, 23;BH »7, 69;CH »18, 31. B. AH »9, 3;BH »7, 7;CH »18, 3. C. AH »8, 23;BH »8, 69;CH »17, 31. D. AH »7, 69;BH »8, 23;CH »17, 77.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AB AC: = 3 : 4 và AB +AC =21cm . Câu 25: Tính các cạnh của tam giác ABC .

A. AB =9;AC =10;BC =15. B. AB=9;AC =12;BC =15. C. AB =8;AC =10;BC =15. D. AB=8;AC =12;BC =15. Câu 26: Tính độ dài các đoạn AH BH CH, , .

A. BH =7, 2;AH =5, 4;CH =9, 6. B. CH =7, 2;BH =5, 4;AH =9, 6. C. AH =7, 2;BH =5, 4;CH =9. D. AH =7, 2;BH =5, 4;CH =9, 6.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB AC, (hình vẽ).

Câu 27: Tỉ số

2 2

AB

AC bằng với tỉ số nào sau đây?

A.

2 2

AB HC

AC = HB . B.

2 2

AB HB

AC =HC . C.

2 2

AB HA

AC =HB. D.

2 2

AB HC AC = HA. Câu 28: Tỉ số

3 3

AB

AC bằng với tỉ số nào sau đây?

A.

3 3

AB BD

AC =EC . B.

3 3

AB AD

AC =EC . C.

3 3

AB BD

AC = ED. D.

3 3

AB EC AC = BD.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH =9cm CH, =16cm. Gọi D E, lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và

E lần lượt cắt BC tại M N, . (hình vẽ).

M N D

E

H C

A

B

N M

D

E

H C

A

B

(8)

8.

M N D

E

H C

A

B

Câu 29: Tính độ dài đoạn thẳng DE.

A. DE=12cm. B. DE=8cm. C. DE =15cm. D. DE=16cm. Câu 30: Tính độ dài đoạn MN ?

A. MN =15cm. B. MN =13cm. C. MN =12, 5cm. D. MN =12cm.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH =9cm CH, =16cm. Gọi D E, lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M N, . (hình vẽ).

Câu 31: Tính diện tích tứ giác DENM .

A. S_DENM =57cm². B. S_DENM =150cm². C. S_DENM =37, 5cm². D. S_DENM =75cm². Câu 32: Tính độ dài đoạn thẳng DE.

A. DE =5cm. B. DE=8cm. C. DE=7cm. D. DE=6cm. Câu 33: Kết luận nào sau đây là đúng?

A. ¹

MN = 3BC . B. ¹

MN = 2BC. C. ³

MN = 4BC. D. ² MN =3BC .

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH =4cm CH, =9cm. Gọi D E, lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M N, . (hình vẽ).

Câu 34: Tính diện tích tứ giác DENM .

A. S_DENM =19, 5cm². B. S_DENM =20, 5cm². C. S_DENM =19cm². D. S_DENM =21, 5cm².

Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH . Gọi M N, theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD DE, . (hình vẽ)

M N D

E

H C

A

B

(9)

9.

Câu 35: Tính CD CM. bằng:

A. CH CE. . B. CE CN. . C. CH CN. . D. CD CN. .

N M

D H E

C

(10)

10.

III.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, biết rằng AB=6cm AC, =8cm. Tính ,

BH AH.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB=12cm AC, =5cm BC, =13cm, đường cao AH. Tính AH. Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC . AH là đường cao, D E, lần lượt là hình chiếu của H trên AB AC, . Chứng minh rằng:

a) AD AB. =AE AC. b) ADE^=ABC^

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , BD và CE là hai đường cao. Các điểm N M, trên các đường thẳng BD CE, sao cho AMB^ =ANC^=90⁰.

Chứng minh rằng tam giác AMN cân.

Bài 5: Cho hình vuông ABCD, một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AB. Gọi F là giao điểm của DE và BC .

Chứng minh rằng: ¹₂ ¹₂ ¹₂ DA =DE +DF

Bài 6:Cho đoạn thẳng AB=4cm. C là điểm di động sao cho BC =3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để ¹ ₂ ¹ ₂

AM +AN đạt giá trị lớn nhất.

Bài 7: Cho hình thoi ABCD với A^=120⁰. Tia Ax tạo với tia BAx bằng 15⁰ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường CD tại N.

Chứng minh rằng: ¹ ₂ ¹₂ ⁴ ₂ 3 AM +AN = AB

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao.

Cho biết BH =x HC, =y. Chứng minh rằng:

2 x y xy £ +

(11)

11.

HƯỚNG DẪN GIẢI I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1 Chứng minh đẳng thức hình học

Bài 1. Cho ABC nhọn có đường cao AH . Chứng minh AB²AC² BH²CH². Lời giải

Xét ABH vuông tại H, ta có:

 

2 2 2 1

AB AH BH .

Xét ACH vuông tại H, ta có:

 

2 2 2 2

AC AH CH . Lấy

   

¹ ^ ² ^{ta được:}

2 2 2 2

AB AC BH CH (đpcm).

Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có ACBD tại O. Chứng minh AB²CD² AD²BC². Lời giải

Lần lượt xét các tam giác vuông

, , ,

AOD AOB BOC DOC ta được:

   

2 2 2

1 2 3

4 AD OA OD CD OC OD AB OA OB BC OB OC

  

  

  

  



Lấy

   

¹² ^ ⁴³

 

 , ta được:

2 2 2 2 2 2

AB CD OA OB OC OD AD BC OA OB OC OD

     

     



2 2 2 2

. AB CD AD BC

   

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại ^{A A}



^⁹⁰⁰



^{, kẻ}^BM^^CA. Chứng minh

2

2 1.

AM AB MC BC

 

   

(12)

12.

Lời giải

Gọi H là trung điểm BC. Lại có ABC cân tại A.AH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao.Xét AHC và BMC

có:  

 ⁹⁰⁰ ^.

 

chung AHC BMC

AHC BMC g g BCM

  

   

 

BC MC AC HC

  BC 2MC

AC BC

  ^ ^BC²^²^{MC AC}^.

 

¹ ^.

Xét:

2

2 1

AM AB MC BC

 

   

2

2 1

AC MC AB

MC BC

  

    

2

AC 2 AB MC BC

 

   

2. 2

2. .

AC AB

MC MC AC

  (Thay

 

¹ ^vào)

AB2

AC AC

   AC² AB² (luôn đúng) đpcm.

Bài 4.Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G.

Chứng minh rằng:

a) AE² EK EG. ;

b) 1 1 1

AE AK  AG;

c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.

Lời giải

a) Vì / / EK EB

AD BK

AE ED

  (1)

Vì AB DG/ / AE EB EG ED

  (2)

Từ (1) và (2) có: EK EB AE ² .

AE EK EG AE  ED  EG  

Vậy AE² EK EG.

b) Vì AD BK/ / AE DE AK DB

  ; AB DG/ / AE BE AG BD

 

nên AE AE DE BE BD 1 1 1 1

AK AG  BD BD  BD   AK AG  AE

Vậy 1 1 1

AK AG  AE. c) Đặt AB a AD b , 

Vì / / BK AB a

AB CG

KC CG CG

   ; / / KC CG KC

AD CK

AD DG b

   nên BK b

a  DG

. .

BK DG a b

  (hằng số).

Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.

Bài 5. Cho hình thang ABCD có AB a CD b ,  . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng 1 1 1 1

OE OG  a b. Lời giải

(13)

13.

Vì OE/ /AB nên OE DE OE DE

AB  DA  a  DA (theo hệ quả định lý Ta-lét) (1).

Vì OE CD/ / nên OE AE OE AE

DC  DA  b  DA (theo hệ quả định lý Ta- lét) (2).

Từ (1) và (2) ta được OE OE DE AE 1 OE 1 1 1

a b DA DA a b

 

       

1 1 1

a b OE

  

Tương tự có: 1 1 1 a b OG

Vậy 1 1 1 1

OE OG  a b.

(14)

14.

Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Bài 1. Cho ABC vuông tại A có đường cao AH , có AB15 cm,AH 12 cm. Tính BH BC CH AC, , , Lời giải

Xét ABC vuông tại A, có đường cao AH. Ta có:

 1 ₂ 1₂ 1₂ AH  AB  AC

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

12 15 400

AC AH AB

     

 

20 cm

 AC  .

 BC²AB²AC²15²20²625

 

25 cm

BC 

 AB² BH BC. ² ¹⁵² ^{9 cm}

 

25 BH AB

  BC   .

 AC²CH CB. ^^CH ^ ^AC_CB² ^ ²⁰₂₅² ^^{16 cm}

 

^.

Bài 2. Cho hình thang ABCD, vẽ ^DE ^^{AC E}



^^AC



^{. Biết}AB9 cm,AC17 cm,CD15 cm.

a) Tính AD BC DE, , . b) Tính S_ABCD,S_ABC. Lời giải

a. Xét ADC vuông tại D, có đường cao DE, ta được:

 AD² AC²DC² 17 15² ²64

 

8 cm

 AD .

 1 ₂ 1₂ 1₂ 1₂ 1₂

8 15

DE  AD DC   289 14400

 .

120

 

17 cm

DE .

Từ B kẻ ^BH ^^{DC H}



^^DC



^.

AD BH

  .

Ta lại có: AB  DH (ABCD là hình thang) và BAD90⁰.

ABDH là hình chữ nhật.

   

9 cm 8 cm AB DH

AD BH

 

    .

Xét BHC vuông tại H , ta được:

 

²

2 2 2 82

BC BH HC   DC DH 64 36 100

   ^ ^BC ^^{10 cm}

 

^.

b. Ta có:

(15)

15.

 ABCD



₂



^. ^{92 cm}

 

²

AB DC AD

S 

  .

 

²

1 8.15

. 60 cm

2 2

SADC  AD DC  . 92 60S_ABC S_ABCD S_ADC  



 

²

32 cm SABC

 .

Bài 3. Cho ABC vuông tại A, có 3

, 30 cm

AB 4AC BC . Tính AB AC, . Lời giải

Gọi

 

^cm ³

 

^cm

4

ACx  AB x với x0.Xét

ABC vuông tại A, có

2

2 2 2 9 2

900 16 BC AB AC   x x

2 576 24

x x

    .

Vậy ^AC^^{24 cm ,}

 

^AB^^{18 cm}

 

^.

Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).

a) Tính cạnh hình thoi biết AB c BC a ,  . b) Chứng minh BD 2ac

 a c

 với AB c BC a ,  . c) Tính độ dài AB, BC, biết AD m DC n DE d ,  ,  . Lời giải

a) Gọi độ dài cạnh hình thoi là x.

Vì ED / /BC nên ED AE

BC  AB (hệ quả định lý Ta-lét)

 

x c x cx a c x cx ac ax a c

        



^{a c x ac}



^x ^ac

    a c



Vậy ac

x a c

 .

b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK BA. Ta có tam giác ABK cân tại B nên   1 

BKA BAK  2ABC (tính chất góc ngoài tam giác).

Mà   1   

2 / /

BD CB EBD DBF ABC AKB DBF BD AK

AK CK

       (hệ quả định lý Ta-lét)

BD CB a

AK BC BK a c

  

  (1)

Trong tam giác ABK có:

2

AKAB BK c c    c (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2).

Từ (1) và (2) có: BD a .2c 2ac a c a c

 

 

(16)

16.

Vậy 2ac

BD a c

 .

c) Vì ED BC/ / nên ED AD

BC  AC (hệ quả định lý Ta-lét) d m ^{d m n}

 

BC m n BC m

    



Tương tự có _AB ^{d m n}

 

n

 

Vậy _BC ^{d m n}

 

m

  và _AB ^{d m n}

 

n

  .

Bài 5. Cho tam giác ABC, PQ BC/ / với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết

,

PQ a FE b  . Tính độ dài của BC.

Lời giải Đặt BC x .

Áp dụng kết quả của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1 ta có:

1 1 1 1 GE GF ax GE GF   a x   a x



2 2

2 ax ax ax

GE GF EF b

a x a x a x

      

  

2 0

2 ab bx ax x ab

      a b



Vậy 2

BC ab

 a b

 .

Bài 6. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE2. Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho

3

CF . Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC.

Lời giải

Gọi H là giao điểm của CM và AB, G là giao điểm của AM và DF.

Vì AB CG/ / nên 2 1

6 2 2

AB BE BE

CG  EC  BC BE  

  (hệ quả định lý Ta-lét)

2 2.6 12 12 3 9

CG AB FG CG CF

         

Vì AH CG/ / nên BH CF AB  FG

3 3

6. 2

6 9 9

BH BH BH BE

      

Xét BAE và BCH có:

 

 

 

 

   

 



theo treân 90

tính chaát hình vuoâng BE BH

ABE CBH AB BC



^{. .}



^ ^ ^ ^{ } ^{ } ⁹⁰

BAE BCH c g c BEA BHC AMC MAH AHM MAH AEB

            

Vậy AMC 90 .

(17)

17.

Dạng 3: Toán thực tế:

Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42. Tính chiều cao của cột đèn.

Lời giải

Gọi chiều cao của cột đèn là AB, bóng của nó trên mặt đất là AC. Ta có: BAC 90 . Theo giả thiết, ta có BCA 42 .

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

 

 

tanBCA AB AB AC.tanBCA 7,5 tan 42 6, 75 cm

 AC    

Vậy chiều cao của cột đèn là 6,75 (cm).

Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là  37 , 31 .    Tính chiều dài CD của cây cầu.

Lời giải

Gọi A là vị trí của trực thăng, B là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt đất. C và D là hai điểm đầu cầu.

Ta có: tan BD BAD AB



 

.tan 920.tan 37 920.0,754 693,68

BD AB BAD m

     

Mặt khác: tan BC BAC AB



 

.tan 920.tan 31 920.0, 6 552

BC AB BAC m

     

Vậy chiều dài của cây cầu là:

 

693,68 552 141,68 CD BD BC     m .

Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn dây dài 0, 5 m. Nếu kéo căng sợi dây sao cho đầu dây chạm đất thì đo được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2,5 m. Tính chiều cao cây.

Lời giải

(18)

18.

Gọi chiều dài dây làAC và chiều cao cây là AB.Đặt

 

^m

AB x với x0, 5.

Do khi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn 0, 5 m.

 

0,5 m AC x

  

Xét ABC vuông tại B, ta được: AC² BC²AB²



^x ^0,5



² ^2,5² ^x²

     x² x 0, 25 6, 25 x² 6

 x .

Vậy cây cao 6 m.

Bài 4. Nhà An ở vị trí A, nhà Bảo ở vị trí Bcách nhau 2 mk . Quán Game ở tại vị trí C, biết AC800 m và AB AC . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 m/hk và Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An.

Lời giải

800 m = 0,8 Km.

Xét ABC vuông tại A, ta có:

2 2 2 20002 8002

BC AB AC  

   

2154 m 2,154 Km

BC   .

Thời gian An đi từ nhà đến quán Game là

 

1 1

0,8 0,16 h 5

t AC

 v   .

Thời gian Bảo đi từ nhà đến quán Game là

 

2

2 2

2,154 BC h

t  v  v .

Do An và Bảo đến cùng lúc nên

1 2

2

2,154 0,16 t t

  v 

 

2 13,5 Km/h

v  .

Vậy Bảo sẽ đi với vận tốc 13, 5 Km/h.

(19)

19.

II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ Câu 1. Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức HA² =HB HC. . Đáp án cần chọn là B.

2. Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức HA² =HB HC. .

Hay "Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền".

Đáp án cần chọn là B.

Nhận thấy ah =bc nên phương án C là sai.

Đáp án cần chọn là C.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức

2 2

. ; . ; . .

AC =CH BC AB =BH BC AB AC =BC AH và 1₂ 1₂ 1₂ AH =AB +AC . Nhận thấy phương án D:

2 2

2

2 2 2 2

1 1

. AB AC

AH AB AC AB AC

= + = + là sai.

Đáp án cần chọn là D.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

2

2 144

. 7, 2

20 AB BH BC BH AB

=  = BC = = CH =BC-BH =20-7, 2=12, 8.

Vậy x =7, 2;y=12, 8. Đáp án cần chọn là C.

2

2 . 100 6, 25

16 AB BH BC BH AB

=  = BC = = CH =BC -BH =16-6, 25=9, 75.

Vậy x =6, 25;y=9, 75. Đáp án cần chọn là B.

Theo định lý Pytago ta có BC²=AB²+AC² BC²=100BC =10. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

2 2

2 6

. 3, 6

10 AB BH BC BH AB

=  = BC = = hay x =3, 6.

10 3, 6 6, 4 CH BC BH

 = - = - = hay y=6, 4. Vậy x =3, 6;y=6, 4. Đáp án cần chọn là A.

Theo định lý Pytago ta có BC² =AB²+AC² BC²=25BC =5. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

2 2

2 3

. 1, 8

5 AB BH BC BH AB

=  = BC = = hay x =1, 8.

5 1, 8 3, 2 CH BC BH

 = - = - = hay y=3, 2.

(20)

20.

Vậy x =1, 8;y=3, 2. Đáp án cần chọn là B.

Theo định lý Pytago ta có BC² =AB² +AC² BC² =74BC = 74 . Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

. 5.7 35 74

. .

74 74 AB AC

AH BC AB AC AH

=  = BC = = . Vậy ^{35 74}; 74

x = 74 y= . Đáp án cần chọn là A.

Theo định lý Pytago ta có BC²=AB²+AC² BC²=169BC =13. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

. 5.12 60

. .

13 13

AB AC AH BC AB AC AH

=  = BC = = . Vậy ⁶⁰; 13

x = 13 y = . Đáp án cần chọn là D.

Ta có:

2 2 2 2 2 2

: 3 : 4

3 4 9 16 9 16 25

AB AC AB AC AB AC AB AC

AB AC + +

=  =  = = =

+

2 225

25 25 9

= BC = =

(Vì theo định lý Pytago ta có AB²+AC² =BC² AB²+AC²=225)

Nên ² 9 9; ² 9 12

9 16

AB AC

=  = =  = .

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

2

2 81

. 5, 4

15 AB BH BC BH AB

=  = BC = = . Vậy BH =5, 4.

Đáp án cần chọn là A.

5 12

x

y

H C

B

A

H C

B

A

(21)

21.

Ta có AB AC: =4 : 5

2 2 2 2 41

4 5 16 25 16 25 41 1

AB AC AB AC AB +AC

 =  = = = =

+ (vì theo định lý Pytago ta có:

2 2 2 2 2 ( 41)2 41

AB +AC =BC AB +AC = = )

Nên ² 1 ² 16 4; ² 1 5

16 25

AB AC

AB AB AC

=  =  = =  =

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

2

2 25

. 3, 9

41 AC CH BC CH AC

=  = BC = » . Vậy CH »3, 9.

Đáp án cần chọn là D.

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 . 15.20 12

15 20

AB AC

AH =AB +AC AH = AB AC = =

+ + . Vậy x =12.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có:

2 2 2

1 1 1

AH =AB +AC ² ² ² ² ²

2 2 2 2 2

1 .

.

AB AC AB AC

AH AB AC AH AB AC

 = +  =

+

2 2 2 2

. 12.13

8, 82

12 13

AB AC AH

AB AC

 = = »

+ + . Vậy x »8, 82.

Ta có AB AC: =3 : 4, đặt AB =.3 ,a AC =4 (a a>0) Theo hệ thức lượng 1₂ 1₂ 1 ₂

AH =AB +AC 1 1₂ 1₂ 1 25₂ 5 ( )

36 9 16 36 144 a 2 TM

a a a

 = +  =  =

7, 5; 10

AB AC

 = = .

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông AHC ta có:

H C

B

A

H C

B

A

(22)

22.

2 2 100 36 8

CH = AC -AH = - = . Vậy CH =8.

Ta có AB AC: =3 : 7, đặt AB=3 ;a AC =7a (a>0) Theo hệ thức lượng 1₂ 1₂ 1 ₂

AH =AB +AC 1₂ 1₂ 1₂ 1 58₂ 42 9a 49a 1764 441a

 = +  =

441a2 102312 a 2 58 (TM)

 =  = AB=6 58;AC =14 58

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông AHC ta có:

2 2 (14 58)2 422 98

CH = AC -AH = - = . Vậy CH =98.

2 . 2 1.4 2

AH =BH CHAH = AH = .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB AHC; ta có:

2 2; 2 2 2 5

AB= AH +HB AC = AH +HC = . Vậy x = 5;y=2 5. Đáp án cần chọn là C.

2 2

. 2.5 10

AH =BH CH AH = AH = .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB AHC; ta có:

2 2 10 4 14

AB= AH +HB = + = ;

2 2 10 25 35

AC = AH +HC = + = Vậyx = 14;y= 35.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có 1 ₂ 1 ₂ 1₂ MD = MN +MP

2

2 2 2

1 1 1 1 2

128 8 2

64 64 x x

x x x

 = +  =  =  = . Vậy x =8 2.

2 2 2

1 1 1

MD =MN +MP 1 1₂ 1₂ 1 2₂ ²

72 6 2

36 36 x x

x x x

 = +  =  =  = . Vậy x=6 2.

H C

B

A

(23)

23.

Kẻ BE ^CD tại E

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì A=D =E =90) nên BE =AD =12cm Đặt EC =x (0< <x 25) thì DE =25-x.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:

2 . (25 ) 144 2 25 144 0

BE =ED EC x -x = x - x+ =

2 16 9 144 0 ( 16) 9( 16) 0

x x x x x x

 - - + =  - - - = ( 16)( 9) 0 16

9 x x x

x é =ê

 - - =  ê =êë (thỏa mãn)

Với EC =16, theo định lý Pytago ta có: BC = BE²+EC² = 12²+16² =20 (loại).

Với EC =9, theo định lý Pytago ta có: BC = BE²+EC² = 12²+9² =15 (nhận).

Vậy BC =15cm. Đáp án cần chọn là A.

Kẻ BE ^CD tại E

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì A=D =E =90) nên BE =AD=10cm Đặt EC =x (0< <x 25) thì DE =20-x.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong

tam giác vuông BCD ta có: BE²=ED EC. x(20-x)=100

2 20 100 0

x x

 - + = (x-10)² =  =0 x 10(tm)

Với EC =16, theo định lý Pytago ta có: BC = BE²+EC² = 12²+10² =2 61. Vậy BC =2 61cm.

Theo giả thiết: AB AC: =5 : 12.

A

E C

B

D

H C

B

A

(24)

24.

Suy ra 34

5 12 5 12 17 2

AB AC AB+AC

= = = =

+ . Do đó AB=5.2=10(cm AC); =2.12=24 (cm). Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

2 2 2 2 2

10 24 676

BC =AB +AC = + = , suy ra BC =26cm. Đáp án cần chọn là C.

Theo câu trước ta có AB=10;AC =24;BC =26.

. 10.24

. . 9, 23

26 AB AC AH BC AB AC AH

 =  = BC = » ;

2 2

2 10 100

. 7, 69

13 13

AB BH BC BH AB

=  = BC = = » .CH =BC -BH =26-7, 69=18, 31.

Vậy AH »9, 23;BH »7, 69;CH »18, 31. Đáp án cần chọn là A.

Theo giả thiết: AB AC: = 3 : 4

Suy ra 3

3 4 3 4

AB AC AB+AC

= = =

+ . Do đó AB =3.3=9 (cm AC); =3.4=12(cm). Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

2 2 2 2 2

9 12 225

BC =AB +AC = + = , suy ra BC =15cm. Đáp án cần chọn là B.

Ta có AB=9;AC =12;BC =15 . . . 12.9 7, 2

15 AB AC AH BC AB AC AH

 =  = BC = =

H C

B

A

H C

B

A

H C

B

A

(25)

25.

2

2 . 81 5, 4

15 AB BH BC BH AB

=  = BC = = CH =BC-BH =15-5, 4=9, 6 Vậy AH =7, 2;BH =5, 4;CH =9, 6.

Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao nên AB²=BH BC AC. ; ² =CH BC. Nên

2 2

. .

AB BH BC HB CH BC HC

AC = =

Tam giác vuông AHB có ² . BH²

BH BD AB BD

=  = AB

Tam giác vuông AHC có ² . HC²

HC AC EC EC

=  = AC Từ đó

2 2 2

2 2

: .

BD HB HC HB AC

EC = AB AC =HC AB mà theo câu trước thì

2 2

AB HB AC =HC nên

4 3

4. 3

BD AB AC BD AB EC =AC AB  EC = AC . Đáp án cần chọn là A.

Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì A=E =D =90 nên DE =AH Xét DABC vuông tại A có AH² =HB HC. =9.16=144AH =12 Nên DE =12cm.

+ Ta có: NEC+AED=90 mà AED=HAE (do AEHD là hình chữ nhật) và HAE=ABC (cùng phụ với ACB) nên NEC+ABC =90 mà ACB+ABC =90 nên ACB=NEC