– HPT
H Ệ - B Ấ T - PH ƯƠ NG TRÌNH
TRONG CÁC ĐỀ THI TH Ử N Ă M 2016
Bài 1: Giải hệ phương trình:
3 2
3 3 2 2
3 1 2 9 5
12 3 3 6 7
x y x y x
x y x y y x
.
Lần 2 – THPT ANH SƠN 2 Lời giải tham khảo
Điều Kiện : 3 1 x y
Phương trình thứ 2 tương đương với (x2)3 (y1)3 y x 1 (3) Thay (3) v|o phương trình thứ nhất ta được:
3 2
3 x x 2 x 2x 5x3 điều kiện 2 x 3
3 x x 2 x32x25x 3 3 x x 2 3 x32x25x6
3 2
2( (3 )( 2) 2)
2 5 6
3 2 3
x x x x x
x x
2( 2 2)
( 1)( 2)( 3)
( 3 2 3)( (3 )( 2) 2)
x x
x x x
x x x x
2
2( 2) 2
( 2)( 3)
( 3 2 3)( (3 )( 2) 2)
x x
x x x
x x x x
2 2
( 2)( ( 3)) 0
( 3 2 3)( (3 )( 2) 2)
x x x
x x x x
Do điều kiện 2 x 3 nên 2 ( 3) 0
( 3 2 3)( (3 )( 2) 2) x
x x x x
Suy ra x2 x 2 0 x 1;x2 thoả mãn điều kiện.
Khi x 1 y 0 TMĐK Khi x 2 y 3TMĐK
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-1;0), (2;3)
Bài 2: Giải phương trình x3 x 2
x21
x 6.Lần 1 – THPT BẮC YÊN THÀNH Lời giải tham khảo
ĐK: x0. Nhận thấy (0; y) không l| nghiệm của hệ phương trình. Xét x0.
Từ phương trình thứ 2 ta có 2 1 1 12
2y 2y 4y 1 1
x x x
(1) Xét hàm số f t
t t t21có '
1 2 1 22 01
f t t t
t
nên h|m số đồng biến. Vậy
1 f
2y f 1 2y 1x x
.
Xét h|m số f t
t t t21 có '
1 2 1 22 01
f t t t
t
nên h|m số đồng biến. Vậy
1 f
2y f 1 2y 1x x
.
– HPT
Thay v|o phương trình (1): x3 x 2
x21
x 6Vế tr{i của phương trình l| h|m đồng biến trên
0;
nên có nghiệm duy nhất 1x v| hệ phương trình có nghiệm 1;1 2
.
Bài 3: Giải hệ phương trình:
2 2
2x 3( 1) 2
,
2 2 9
2 9
3 2 3 4 5
y x xy y
x y x y
x y x
.
Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ 3 Lời giải tham khảo
ĐK :
2 0
4 5 x y x
Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có :
2 2
2x y x 3(xy 1) 2y x y 1 2x y 3 0 y x 1 Với y x 1 thay v|o phương trình thứ hai ta được phương trình sau :
2 2 9
3 x 13 4 5x x 10
2 x 10 6 x 1 4 5x 9 9 3 x 1 3 4 5x x 1 4 5x
x 1 4 5x 3 9
x 1 9 4 5x 4x41
0
( Do 4
1;5
x nên 9 x 1 9 4 5x 4x410 ) 1 4 5x 3 0
x
1 4 5x 3 2 1. 4 5x 4 4x
x x
1 0 11. 4 5x 2 1 0
4 5x 2 1 0
x x
x x
x x
Với x 0 y 1;x 1 y 2
Đối chiếu với điều kiện v| thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm : ( ; )x y (0; 1);( ; ) x y ( 1; 2)
Bài 4: Giải phương trình:
2 3
3
2 2 1
1 2 1 3
x x x
x x .
Lần 1 – THPT BÌNH MINH Lời giải tham khảo
Điều kiện: x 1,x 13 Pt
2
3 3
6 ( 2)( 1 2)
1 2 1
2 1 3 2 1 3
x x x x
x x x
( x=3 không l| nghiệm)
(2x 1) 3 2x 1 (x 1) x 1 x 1
H|m số f t( ) t3 t đồng biến trên do đó phương trình 3 2x 1 x1
– HPT
2 3 3 2
1/ 2 1/ 2
(2 1) ( 1) 0
x x
x x x x x
1/ 2 1 5
1 5 0, 0, 2
2 x
x x
x x
Vậy phương trình có nghiệm 1 5
{0, }
S 2
Bài 5: Giải hệ phương trình: 5
3
32 5 2 ( 4) 2 2
,
( 2 1) 2 1 8 13( 2) 82 29
x y y y y x
x y
y x x y x
.
Lần 2 – THPT Bố Hạ Lời giải tham khảo
Đặt đk 1
, 2 x 2 y
+)(1)(2 )x 52x(y24 )y y 2 5 y 2 (2 )x 52x
y2
5 y2(3)Thay 2x y2(x0) v|o (2) được
3 2
2 2
2
(2 1) 2 1 8 52 82 29
(2 1) 2 1 (2 1)(4 24 29) (2 1) 2 1 4 24 29 0 1
2
2 1 4 24 29 0(4)
x x x x x
x x x x x x x x x
x
x x x
Với 1
x 2. Ta có y=3
2 2 3
(4) ( 2 1 2) (4 24 27) 0 (2 3)(2 9) 0
2 1 2
x x x x x x
x
3 / 2
1 (2 9) 0(5) 2 1 2
x x x
Với 3
x 2. Ta có y=11 Xét (5). Đặt t 2x 1 0 2x t2 1. Thay vao (5) được
3 2
2 10 21 0 ( 3)( 7) 0
t t t t t . Tìm được 1 29 t 2
. Xét (5). Đặt t 2x 1 0 2x t2 1. Thay vao (5) được
3 2
2 10 21 0 ( 3)( 7) 0
t t t t t . Tìm được 1 29 t 2 . Từ đó tìm được 13 29 103 13 29
4 , 2
x y
Xét h|m số f t( ) t5 t f t, '( )5t4 1 0, x R, suy ra h|m số f(t) liên tục trên R. Từ (3) ta có
(2 ) ( 2) 2 2
f x f y x y Thay 2x y2(x0) v|o (2) được
– HPT
Bài 6: Giải hệ phương trình:
3 3 2 2
2 2
3 3 24 24 52 0
4 1
x y x y x y
x y
.
Lần 1 – THPT CAM RANH Lời giải tham khảo
Đk 2 2
1 1
x y
.
Đặt t y 2. Biến đổi phương trình đầu về dạng.x33x224x t3 3t224t Xét h|m số f x
x33x224x liên tục trên
2; 2
Chứng minh được x=t=y+2
Hệ pt được viết lại: 2 2 2 4 1 x y
x y
2 2 0 0
6 / 5 4 / 5
4 / 5 x y x
y y y x
y
KẾT LUẬN:
Bài 7: Giải hệ phương trình:
3 2 3
3 2
x - 6x + 13x = y + y + 10
2x + y + 5 - 3 - x - y = x - 3x - 10y + 6 .
Lần 2 – THPT CAM RANH Lời giải tham khảo
XÉT PT(1):
3 2 3
x 6x 13xy y 10
x2
3 (x 2) y3y(*)Xét h|m số f t
t3 t . Ta có f'
t 3t2 1 0 t f t
đồng biến trênDo đó (*) y x 2. Thay y x 2 v|o (2) ta được: 3x 3 5 2 x x33x210x26
3 2
3x 3 3 1 5 2x x 3x 10x 24
(ĐK : 5 2 x 1
)
3
2
2
2
2
2 12
3 3 3 1 5 2
x x
x x x
x x
2
2
3 2
12 (3)
3 3 3 1 5 2
x
x x
x x
PT (3) vô nghiệm vì với 5 2 x 1
thì x2 x 12 0. Hệ có nghiệm duy nhất 2
0 x y
Bài 8: Giải bất phương trình: 3 2 9
3 1 3
x x
x x x
.
Lần 1– THPT CAO LÃNH 2
– HPT
Lời giải tham khảo Điều kiện: 1 x 9;x0
2 3 2 9 3 3 1
(1) 0
3 3 1
x x x x x
x x x
( 3)2 9( 1) 2 9 3 3 1
0
3 3 1
x x x x x
x x x
3 3 1 3 3 1 2 9
0
3 3 1
x x x x x
x x x
1 1 3 2 1 9
3 3 1 2 9
0 x x x 0
x x x
x x
8 1 2 8
0 0 0 8
1 3 1 9
x x x
x x x x x
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình l| 0 x 8 Bài 9: Giải bất phương trình: x2 + x – 1 (x + 2) x22x2
Lần 1 – THPT chuyên LÊ QÚY ĐÔN - KH Lời giải tham khảo
TA CÓ : x2 2x – 7 + (x + 2)(3 x22x2) 0 (x2 2x – 7)
(3x1)x22 1 (2xx21)
0.Vì: (x1)2 1 x 1 x 1 nên :
2 2
( 1) 1 ( 1)
3 2 2
x x
x x
> 0 , x.
x2 – 2x – 7 0 x 1 2 2 1 + 2 2 x
Vậy bất pt có tập nghiệm: S = (;1 2 2] [1 + 2 2;+) Bài 10: Giải bất phương trình: x3 x 2 2 33 x2..
Lần 1 – THPT chuyên NGUYỄN HUỆ Lời giải tham khảo
3 3
3 3
3 3
2 2
3 3
3
2 2
3 3
2 2 3 2
3 2 2 3 2 2
3 2
3 2 2
3 2 3 2
3 2 1 2 0
3 2 3 2
x x x
x x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
3
2 2
3 3
3 2 0 1 2 0,
3 2 3 2
x x x
x x x x
– HPT
1 2 x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình l|
1 .Bài 11: Giải hệ phương trình:
3 3 2
3
3 3 6 4 0
2 3 7 13 3 1
x y x x y
y x y x .
Lần 2 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lời giải tham khảo
Từ phương trình (1) ta có: x33x
y1
33
y1
Xét h|m số f t
t3 3t , f
t 3t23
0f t với mọi t suy ra h|m số f t
đồng biến trên .
1
1f x f y x y Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:
Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:
x1
2x 3 37x6
3
x1
3Ta có x1 không l| nghiệm phương trình. Từ đó:
2x 3 37x6
3
xx1
Xét h|m số g x
2x 3 37x6
3
xx1
TXĐ: 3 \ 1
D 2
3
2
21 7 6
2 3 3 7 6 1
g x x x x
0 3; 1, 32 2
g x x g không x{c định.
H|m số đồng biến trên từng khoảng 3;1 2
và
1;
.Ta có g
1 0;g
3 0. Từ đó phương trình g x
0 có đúng hai nghiệm x 1 và 3x .
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
1; 2
và
3; 2 .Bài 12: Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
( 1)
3 2 9 3 4 2 1 1 0
xy x x y x y
y x y x x
.
Lần 1 – THPT CHUYÊN SƠN LA Lời giải tham khảo
Biến đổi PT
(1)
21 0
21 y x
x y x y
y x
– HPT
x = y thế v|o PT (2) ta được:
2 2
2 2
3 2 9 3 4 2 1 1 0
2 1 2 1 3 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 3
2 1 3
x x x x x
x x x x
f x f x
Xét f t( )t
t2 3 2
có f t'( )0, t.f l| h|m số đồng biến nên:
1 1
2 1 3
5 5
x x x y y x
2 1
y x
2 1
Thế vào (2) 3(x2 1) 2
9x2 3
4x2 1 2
1 x x2 1
0Vế tr{i luôn dương, PT vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: 1 1
; . 5 5
Bài 13: Giải hệ phương trình:
2
2
2 1 1
1 ,
3 8 3 4 1 1
x x y x y
x x y
x x x y
.
Lần 1 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo
Điều kiện: 1 1 x y
3
3 2 1
1 2 1 1 2 1
1 1 1
x x x
x x x
y x y y y
x x x
3 3
1 1
1 1
x x
y y
x x
.
Xét h|m số f t
t3 t trên có f
t 3t2 1 0 t suy ra f(t) đồng biến trên . Nên
1
11 1
x x
f f y y
x x
. Thay vào (2) ta được 3x28x 3 4x x1.
2x 1
2
x 2 x 1
2
2
2
1
6 3 0 3 2 3
2 1 1
1 5 2 13
2 1 1 3
3 9
9 10 3 0
x
x x x
x x
x x x x
x x
Ta có
2
1 1 y x
x
Với 4 3 3
3 2 3
x y 2 . Với 5 2 13 41 7 13
9 72
x y . C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện .
Hệ phương trình có hai nghiệm
;
3 2 3;4 3 3x y 2 &
;
5 2 13; 41 7 139 72
x y .
– HPT
Bài 14: Giải hệ phương trình:
3 3 2 2
2 3 2
8 8 3 3
5 5 10 7 2 6 2 13 6 32
x y x y x y
x y y y x x y x
.
Lần 2 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo
Điều kiện : 2 0 2
7 0 7
x x
y y
Từ phương trình
1 ta có
x1
35
x 1
y1
35
y1
3Thay
4 vào
2 ta được pt:
5x25x10
x 7
2x6
x 2 x313x26x32 5
Đ/K2 x
5x25x10
x 7 3
2x6
x 2 2
x32x25x10 5
2
5 2 5 10 2 6
2
2 5
7 3 2 2
x x x
x x x
x x
x 2 4 y 2
x y; 2; 2 ( thỏa mãn đ/k) 5 2 5 10 2 6 5 2 5 10 2 6
5 2 0
7 3 2 2
x x x x x x
x x
2
0, 2
0, 2
0, 2 0, 2
1 1 1 1
5 5 10 2 6 0
5 2
7 3 x 2 2
x
x x
x x x
x x
(pt n|y vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất :
x y;
2; 2Bài 15: Giải bất phương trình:
2
2 2 1
6 2 4 2 2 2
x
x x x
.
Lần 3 – THPT chuyên VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo
Điều kiện : x 2
Do đó bất phương trình 2
x 2 2
6
x22x4
2
x2
2
2 x 2 2x 12 x 2 6x 1
Xét hàm số f t
t3 5t, trên tập , f
t 3t2 5 0, t hàm số f t
đồng biến trên. Từ
3 : f x 1
f y
1
x y
4
5x25x10
x 7 3
2x6
x 2 2
x32x25x10 5
2
5 2 5 10 2 6
2 5
07 3 2 2
x x x
x x
x x
4
2 2 ; 2; 2
x y x y ( thỏa mãn đ/k)
Ta có
2 2
2
2 2 4
6 2 4 2 2 0, 2
6 2 4 2 2
x x
x x x x
x x x
Do đó bất phương trình
2
2 x 2 2 6 x 2x 4 2 x 2
– HPT
Nhận xét x 2 không là nghiệm của bất phương trình
2
2 2 2
2 2 0 1
2 2 12 6 2
4 8 4 12 6 2 2 0
t t
t t t
t t t t
2
2 2 0 2 2 3
4 8 0 2
x x
t x
x x
x
.
Bất phương trình có nghiệm duy nhất x 2 2 3.
Bài 16: Giải hệ phương trình:
x y y x x y
x y x y
2 2 2 2
1 97 1 97 97( )
( , ).
27 8 97
.Lần 2 – THPT CHUYÊN HẠ LONG Lời giải tham khảo
Điều kiện: 1
0 ,
x y 97
Thay ( ; )x y bằng một trong c{c cặp số 1 1 1 1
(0; 0), 0; , '0 , ;
97 97 97 97
vào (1), (2) ta
thấy c{c cặp n|y đều không l| nghiệm. Do đó 1
0 ,
x y 97
Đặt 97x a , 97y b . Do 1
0 ,
x y 97
nên 0a b, 1. Khi đó (1) trở th|nh
2 2 2 2
1 1 1 1 0
a b b a a b a a b b b a
2 2 2 2
2 2
( 1) 0 1
1 1
a b
a b a b
a b b a
. Suy ra 2 2 1 97. x y
Với c{c số dương a a b b1, , ,2 1 2, ta có a b1 1a b2 2 a12 a22. b12b22 . Đẳng thức xảy ra khi v| chỉ khi a b1 2a b2 1. Thật vậy,
2
22 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2. 1 2 1 1 2 2 1 2 . 1 2 1 2 2 1 0
a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b Do đó 27 x8 y 97 9x4y 97 97 x2y2 97 (do 2 2 1
x y 97 ) Đẳng thức xảy ra khi 4x = 9y v| 2 2 1
x y 97 Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ pt đã cho l|
; 9 ; 497 97
x y
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ pt đã cho l|
; 9 ; 497 97
x y
Khi x 2 chia hai vế bất phương trinh
1 cho x 2 0 ta được2
2 2 12 6 2
2 2
x x
x x
. Đặt
2 t x
x
thì bất phương trình
2 được2
2 2 12 6 2
2 2
x x
x x
. Đặt
2 t x
x
thì bất phương trình
2 được– HPT
Bài 17: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2x x 3y 7 x 6xy y 5x 3y
.
Lần 1 – THPT CHUYÊN LONG AN Lời giải tham khảo
Đặt
2 2 x u v x y u
x y v y u v
. Ta có hệ phương trình:
3 3
2 2
7(1)
2 4 (2)
u v
u u v v
Lấy (2) nh}n với −3 rồi cộng với (1) ta được:
u36u2 12u 8 v3 3v23v 1 0
u2
3 v 1 3 01
u v
. Thay vào phương trình (2), ta được: v2 v 2 0 Thay v|o phương trình (2), ta được: v2 v 2 0
1 2 v v
+ v 1 suy ra u = 2. Suy ra
x y, 1 32 2, + v 1 suy ra u = 2. Suy ra
x y, 1 32 2, + v2 suy ra u = −1. Suy ra
x y, 12,32
Bài 18: Giải hệ phương trình:
3 3 2
3
3 3 6 4 0
2 3 7 13 3( 1)
x y y x y
y x y x
.
Lần 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lời giải tham khảo
Điều kiện: 3 x 2
Từ pt(1) ta có x33x(y1)33(y1)
Xét h|m số f t( ) t3 3 ; ( ) 3t f t t2 3 0, t f t ( ) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng biến trên
( ) 0
f t với mọi t suy ra h|m số đồng biến trên Mà ( )f x f y( 1) nên x y 1
Thế x y 1v|o pt(2) ta được: (x1)
2x 3 37x6
3(x1) (3)Ta có x1 không l| nghiệm của pt(3). Từ đó 3 3( 1)
2 3 7 6
1
x x x
x
Xét h|m số 3 3( 1)
g( ) 2 3 7 6
1
x x x x
x
Tập x{c định 3; \ 1
D 2
2 2 3
1 7 6
g ( )
( 1)
2 3 3 (7 6)
x x x x
– HPT
3 3
( ) 0, ; 1,
2 2
g x x x g
không x{c định.
H|m số đồng biến trên từng khoảng 3 2;1
và
1;
. Ta có g( 1) 0; (3) 0 g . Từ đó pt ( ) 0g x có đúng hai nghiệm x 1 và x3.
Ta có g( 1) 0; (3) 0 g . Từ đó pt g x( ) 0 có đúng hai nghiệm x 1 và x3.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( 1; 2) và (3; 2) Bài 19: Giải bất phương trình:
2 2 2
1 1 2
1 3 5 2 1
x x x
.
Lần 1 – THPT ĐA PHÚC Lời giải tham khảo
+) Đặt t = x2 – 2, bpt trở th|nh: 1 1 2
3 3 1 1
t t t
ĐK: t 0 với đk trên, bpt tương đương
1 1
( 1)( ) 2
3 3 1
t
t t
. Theo Cô-si ta có:
1 1 1
1. 3 2 1 3
3
1 1 2 1 1 2
2. 3 2 2 3
3
t t t t t
t t t t
t
t t
t
1 2 1 1 2
2 3. 1 2 2 3 1 3 1
1 1 1 1 1 1
1 3. 1 2 1 3 1 3 1
2 0.
t t t
t t
t
t t
t t t t
t
VT t
1 2 1 1 2
2 3. 1 2 2 3 1 3 1
1 1 1 1 1 1
1 3. 1 2 1 3 1 3 1
2 0.
t t t
t t
t
t t
t t t t
t
VT t
+) Thay ẩn x được x2 2 x ( ; 2][ 2; ) T ( ; 2][ 2;).
Bài 20: Giải phương trình: 32x4 16x2 9x9 2x 1 2 0.
Lần 2 – THPT ĐA PHÚC Lời giải tham khảo
Điều kiện 1
x2, phương trình đã cho tương đương
4 2 2
2 2
2
32 32 16 16 7 7 9 9 2 1 0
32 1 16 1 7( 1) 9 1 2 1 0
9 2 2
32 1 ( 1) 16 1 7( 1) 0
1 2 1
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x
2
3 2
1 32 ( 1) 16 7 18 0
1 2 1
1 32 32 16 7 18 0 (*)
1 2 1
x x x x
x
x x x x
x
– HPT
Ta có
3
2 3 2
3 2
32 32 4
8
1 32
32 8 32 32 16 7 27
2 4
16 16 8 2
1 2 1 1 18 18
1 2 1
32 32 16 7 18 9 0.
1 2 1
x
x x x x x
x
x x
x x x
x
Vậy (*) x 1.
Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1.
Bài 21: Giải hệ phương trình:
2 2
3 5 4
4 2 1 1
x xy x y y y
y x y x
.
Lần 1 – THPT PHƯỚC BÌNH Lời giải tham khảo
Đk:
2 2
0
4 2 0
1 0 xy x y y
y x
y
. Ta có (1) x y 3
xy
y 1
4(y 1) 0Đặt u xy v, y1 (u0,v0) Khi đó (1) trở th|nh : u23uv4v20
4 ( ) u v u v vn
Với uv ta có x2y1, thay vào (2) ta được : 4y22y 3 y 1 2y
Với uv ta có x2y1, thay v|o (2) ta được : 4y22y 3 y 1 2y
4y2 2y 3 2y 1 y 1 1 0
2
2 2 2
0 4 2 3 2 1 1 1
y y
y y y y
2
2 2 1 04 2 3 2 1 1 1 y
y y y y
2
y
( vì
2
2 1
0 1
4 2 3 2 1 1 1
y
y y y y
)
Với y2 thì x5. Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l|
5; 2Bài 22: Giải bất phương trình:
2 3
3
2 2 1 1
2 1 3
x x x
x
x
.
Lần 2 – THPT PHƯỚC BÌNH Lời giải tham khảo
– HPT
- ĐK: x 1,x13 - Khi đó:
2 3 2
3 3
2 2 1 6
1 1 2
2 1 3 2 1 3
x x x x x
x x
x x
3
2 1 2
1 , *
2 1 3
x x
x
- Nếu 32x 1 3 0 x 13 (1)
thì (*)
2x 1
32x 1
x1
x 1 x1Do hàm f t( ) t3 t l| h|m đồng biến trên , mà (*):
f
3 2x 1
f x 1
32x 1 x 1 x3x2 x 0Suy ra: ;1 5 0;1 5
2 2
x
DK(1)
VN - Nếu 32x 1 3 0 1 x 13 (2)
thì (2*)
2x 1
32x 1
x1
x 1 x1Do hàm f t( ) t3 t l| h|m đồng biến trên , mà (2*):
3 3
2 3
1 1
2
2 1 1 2 1 1 1 13
2
2 1 1
x
f x f x x x x
x x
Suy ra:
1; 0
1 5;x 2
DK(2)
1; 0
1 5;13x 2
-KL:
1; 0
1 5;13x 2
Bài 23: Giải hệ phương trình:
2 3 2
x xy 2y 1 2y 2y x 6 x 1 y 7 4x y 1
.
Lần 3 – THPT PHƯỚC BÌNH Lời giải tham khảo
ĐK: x1.
1
2y2x 1 x
y
0 y x 1 vì 2y2 x 0, x 1Thay v|o (2) ta được 6 x 1 x 8 4x2
x 1 3
2
2x 2 2x x 1 3 4x2 13x 10 0
2x 3 x 1 3 x 2
x 2
y3
Vậy nghiệm của phương trình l| (x;y)(2;3).
Bài 24: Giải hệ phương trình:
3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2 1
2 14 3 2 1 2
x x x x y y
x x y
.
– HPT
Lần 4 – THPT PHƯỚC BÌNH Lời giải tham khảo
Ta thấy x0 không phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x3 ta được
1 2 4 32 13 2 2
y
3 2yx x x
1 3 1
1 1 3 2y 3 2y 3 2y *
x x
Xét hàm f t
t3 t luôn đồng biến trên
* 1 1 3 2y
3 x
Thế (3) v|o (2) ta được x 2 315 x 1 x 2 3 2 315 x 0
23 3
0
1 1
7 0
2 3 4 2 15 15
x
x x x
Vậy hệ đã cho có nghiệm
; 7;111 .x y 98
Bài 25: Giải hệ phương trình:
2
2 6 1
9 1 9 0
x y y
x xy y
.
Lần 5 – THPT PHƯỚC BÌNH Lời giải tham khảo
Đk: 6 0
1 x y x
+) Nếu y0, để hệ có nghiệm thì 1 y 0.
(1) 2 6 2 5
(1) (1) (1) 1 1
VT x y
VT VP
VP y
hệ vô nghiệm.
+) Nếu y<0, từ (2) suy ra x>0
2
2 3 3 2
9 1 x xy 9 y 0 9 y 9 y (3)
x x
Xét h|m số
2 2
2
( ) 9 , 0; '( ) 9 2 0 0
9
f t t t t f t t t
t
2
3 3 9
(3) f f( y) y x
x x y
Thế v|o pt(1) ta có phương trình 92
2 y 6 1 y
y (4). H|m số 92
( ) 2 6
g y y
y
đồng biến trên
;0
; h|m số h(y)=1-y nghịch biến trên
;0
v| phương trình có ngiệm y=-3 nên pt(4) có nghiệm duy nhất y=-3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1;-3).– HPT
Bài 26: Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
2 4 3
3 2 1
x x y x x y
x x x y x x y .
Lần 1 – THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC Lời giải tham khảo
Điều kiện 4 0
4 0 x y
x y
2 y x 1 thế (1) ta được:
x2
2x 3 x3x2 x 2
x 1
2
2x 3 x 1
4 2x 3 2x 8
0
1 2 x x
Hệ có nghiệm
x y; 1; 2 ,
2; 2 1
Bài 27: Giải bất phương trình:
x2 x 6
x 1
x 2
x 1 3x2 9x 2.Lần 2 – THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC Lời giải tham khảo
2 2
2 2
6 1 2 1 3 9 2
6 1 1 2 1 2 2 10 12
x x x x x x x
x x x x x x x
2
2
2 2
2
2
2 2
6 2 2 3
2 10 12
1 1 1 2
5 6 2 5 6
2 5 6
1 1 1 2
2 1
5 6 2 0
1 1 1 2
1 1 1
5 6 0
1 1 1 2
1;2 3;
x x x x x
x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x
Bài 28: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 2 1 3
3 3 7
y y x x xy y
x y y x
.
Lần 1 – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo
Đk: y1,x0,y2 3x
Từ pt (2) ta có :
1
1 2 1 0y x 1 y x
y x
Suy ra, y = x + 1
Thay vào pt (1) ta được x2 x 1 x2 x 1 7 3
– HPT
Xét h|m số: f x( ) x2 x 1 x2 x 1 Chứng minh h|m số đồng biến
Ta có nghiệm duy nhất x = 2 Vậy nghiệm của hệ l| (2;3)
Bài 29: Giải hệ phương trình:
2 2
2
2xy 1
x y
x y
x y x y
.
Lần 2 – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo
Điều kiện: x y 0.
(1) x y xy
x y
2 1
( ) 1 2 1 0
(x y 1)(x2 y2 x y) 0
x y 1 0 (vì x y 0 nên x2y2 x y 0)
Thay x 1 y vào (2) ta được: 1x2 (1 x) x2 x 2 0
x y
x 1 y 0
2 3
Vậy hệ có 2 nghiệm: (x;y) = (1; 0), (x;y) = (–2; 3)
Bài 30: Giải hệ phương trình:
2
3 2
2 1 5 2 8 2 6 0
2 1 5 10 4 ( 1)
x y x x x y
x xy y x y y y .
Lần 3 – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo
+ Điều kiện: 2 1 0
5 0
x y
x
+Ta có hệ
2
2 2
2 1 5 2 8 2