Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Lư Sĩ Pháp - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

HÌNH HỌC 12

PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ TRONG

KHƠNG GIAN

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 12.

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đ ào t ạ o quy đị nh.

NỘI DUNG

1. Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học

2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện 3. Bài tập trắc nghiệm

4. Bổ sung đầy đủ các dạng toán, câu hỏi trong đề thi THPTQG

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm

khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn ch ỉ nh h ơ n.

Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com

Chân thành cảm ơn.

Lư Sĩ Pháp

LỜI NÓI ĐẦU

Website: https://toanmath.com/

MỤC LỤC

I. PHẦN TỰ LUẬN

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN --- 01 – 08

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG --- 09 – 23

§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG--- 24 – 43 ÔN TẬP CHƯƠNG III --- 44 – 69

II. PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN --- 70 – 73

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG --- 74 – 83

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG --- 84 – 93

MẶT CẦU --- 94 – 99

ÔN TẬP CHƯƠNG III --- 100 – 129

ÔN TẬP THI THPT --- 130 – 148

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM --- 149 – 152

PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

---0O0---

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Cho ba trục Ox Oy Oz, , vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi i j k, , là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox Oy Oz, , . Hệ gồm ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ Oxyz

Điểm O được gọi là gốc tọa độ Trục Ox gọi là trục hoành Trục Oy gọi là trục tung Trục Oz gọi là trục cao

Các mặt phẳng

( ) ( ) ( )

^{Oxy , Oyz , Oxz đôi một}

vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Chú ý: i = = =j k 1, .i j=i k. = j k. =0 2. Tọa độ của một điểm

(

^{; ;}

)

^{. . .}

M x y z ⇔OM =x i y j z k+ + , (x : hoành độ; y: tung độ; z: cao độ) Chú ý:

( )

^0;

( )

^0;

( )

⁰

M∈ Oxy ⇔ =z M∈ Oyz ⇔ =x M∈ Ozx ⇔ =y

0; 0; 0

M∈Ox⇔ = =y z M∈Oy⇔ = =x z M∈Oz⇔ = =x y 3. Tọa độ của vectơ

(

^{; ;}

)

^{. . .}

a= x y z ⇔ =a x i y j z k+ + ,(x : hoành độ; y: tung độ; z: cao độ) Chú ý: ⁰⁼

(

^{0;0;0 ,}

) (

^{i= 1;0;0 ,}

) (

^{j= 0;1;0 ,}

) (

^{k= 0;0;1}

)

Tính chất: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ^a=

(

^{a a a1; ;2 3}

) (

^{,b= b b b1; ;2 3}

)

^{. Ta có:}

^{a b± =}

(

^{a1±b a1; 2±b a2; 3±b3}

)

^ka=

(

^{ka ka ka1; 2; 3}

)

^{,k∈ℝ 12 12}

3 3

a b

a b a b

a b

 =

= ⇔ =

 =

 4. Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ

Trong không gian Oxyz, cho ^{A x y z}

(

^{A; ;A A}

) (

^{,B x y zB; ;B B}

)

^{,C x y z}

(

^{C; ;C C}

)

^{, D x y z}

(

^{D; ;D D}

) (

^{B A; B A; B A}

)

AB= x −x y −y z −z

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k k ( ≠ ⇔1) MA=k MB

Khi đó: ; ;

1 1 1

A B A B A B

x kx y ky z kz

M k k k

 − − − 

 

− − −

 

M trung điểm đoạn thẳng AB:

2 ; 2 ; 2

A B A B A B

x x y y z z

M + + + 

 

 

z

y

x H

M(x;y;z)

i k

j O

x

y z

Glà trọng tâm của tam giác ABC:

3 ; 3 ; 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G + + + + + + 

 

 

Glà trọng tâm của tứ diệnABCD:

4 4 4

A B C D A B C D A B C C

x x x x y y y y z z z z

G + + + ; + + + ; + + + 

 

 

Cho ∆ABC^{, gọi I} là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh.

Khi đó ta có a IA b IB c IC. + . + . =0

5. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và các ứng dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ^a=

(

^{a a a1; ;2 3}

) (

^{,b= b b b1; ;2 3}

)

^{. Ta có:}

1 1 2 2 3 3

.

a b=a b +a b +a b a² =a₁²+a₂²+a₃² a = a₁²+ +a²₂ a₃²

1 1 2 2 3 3

. 0 0

a⊥ ⇔b a b= ⇔a b +a b +a b = acùng phương với b, b≠ ⇔ =0 a kb

1 1

3

1 2

2 2 1 2 3

1 2 3

3 3

, ( , , 0) a kb

a a a

a kb b b b

b b b

a kb

 =

⇔ = ⇔ = = ≠

 =



Khoảng cách giữa hai điểm A và B: ^{AB= AB =}

(

^xB−xA

) (

^{2+ yB−yA}

) (

^{2+ zB−zA}

)

²

Góc giữa hai vectơ a và b:

( )

^{2 1 12 22 2 2 3 32 2}

( )

1 2 3 1 2 3

cos , . , , 0

. .

a b a b a b

a b a b a b

a b a a a b b b

+ +

= = ≠

+ + + +

6. Phương trình mặt cầu a) Phương trình chính tắc

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

^{bán kính r}có phương trình là:

(

^{x a−}

) (

^{2+ −y b}

) ( )

^{2+ −z c 2=r2}

Đặc biệt phương trình mặt cầu tâm ^{0 0;0;0}

( )

^{bán kính r: x2+y2+ =z2 r2}

b) Phương trình tổng quát

Trong không gian Oxyz, phương trình x²+y²+ −z² 2ax−2by−2cz d+ =0 với a²+ + − >b² c² d 0 là phương trình mặt cầu tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

^{bán kính r= a2+ + −b2 c2 d}

Ngược lại: Phương trình dạng: x²+y²+ +z² 2Ax+2By+2Cz D+ =0 với A²+B²+C²− >D 0^{là phương} trình mặt cầu tâm ^I

(

^{− − −A B C; ;}

)

^{bán kính r= A2+B2+C2−D}

B. BÀI TẬP

Vấn đề 1. Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và khái niệm có liên quan đến vectơ: Tọa độ các vectơ; độ dài của vectơ; tổng hiệu của hai vectơ; tính các tọa độ trung điểm của đoạn thẳng; trọng tâm của tam giác; . . . Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ ^a=

(

^{5;7;2 ,}

) (

^{b= 3;0;4 ,}

) (

^{c= −6;1; 1−}

)

. Hãy tìm tọa độ các vectơ sau:

a) m=3a−2b c+ ^b) n=5a+6b+4c HD Giải

a) Ta có:

( )

( )

( ) ( )

3 15;21;6

2 6;0; 8 3 2 3;22; 3

6;1; 1 a

b m a b c

c

 =



− = − − ⇒ = − + = −



= − −



b) Tương tự: ^n=5a+6b+4c=

(

^19;39;30

)

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ ^a=

(

^{2; 5;3 ,−}

) (

^{b= 0;2; 1 ,−}

) (

^{c= 1;7;2}

)

. Hãy tìm tọa độ các vectơ sau:

a) 4 1 3

d = a−3b+ c b) e= −a 4b−2c HD Giải

a) 4 1 3 11; ;1 55

3 3 3

d a b c  

= − + = 

  b) ^{e a= −4b−2c=}

(

^{0; 27;3−}

)

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A

(

1;0; 2 , 2;1; 1 , 1; 2;2−

) (

B −

) (

C −

)

. a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

HD Giải

a) Ta có: ^AB=

( )

^{1;1;1 ,BC= − −}

(

^{1; 3;3 ,}

)

^CA=

(

^{0;2; 4−}

)

^{. Do đó: AB= AB = 1 1 12+ + =2 2 3;}

2 2 2

( 1) ( 3) 3 19

BC= BC = − + − + = CA= CA = 0²+ + −2² ( 4)² =2 5 b) Gọi D E F, , lần lượt là trung điểm các cạnh AB BC CA, , . Ta có:

1

2 2

3

2 2

3

2 2

A B

D

A B

D

A B

D

x x x

y y y

z z z

 +

= =



 +

 = = −



+

 = =



. Vậy 3 1; ; 3 2 2 2

D 

 − 

 . Tương tư: ^E_³₂^{;−1 1}_{2 2}^{; }_^{, 1; 1;0F}

(

⁻

)

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có:

4

3 3

1

3 3

1

3 3

A B C

G

A B C

G

A B C

D

x x x

x

y y y y

z z z z

 + +

= =



 + +

 = = −



 + +

 = = −



. Vậy 4; 1 1;

3 3 3

G 

 − − 

 

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' ', biết A

(

1;0;1 , 2;1;2 ,

) (

B

) (

D 1; 1;1−

)

( )

, ' 4;5; 5C − . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

HD Giải Ta có: ^AB=

( )

^{1;1;1 ,AD=}

(

^{0; 1;0−}

)

^{. AC= AB AD+ =}

( )

^1;0;1

Suy ra: ^C

(

^2;0;2

)

^{và CC'=}

(

^{2;5; 7−}

)

Ta lại có: ^{AA'=BB'=CC'=DD'=}

(

^{2;5; 7−}

)

Vì: ^AA'=

(

^{2;5; 7−}

)

^{⇒A' 3;5; 6}

(

⁻

)

^BB'=

(

^{2;5; 7−}

)

^{⇒B' 4;6; 5}

(

⁻

)

^DD'=

(

^{2;5; 7−}

)

^{⇒D' 3;4; 6}

(

⁻

)

Vấn đề 2. Tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng Phương pháp:

- Sử dụng định nghĩa tích vô hướng : ^{a b. = a b. .cos ,}

( )

^{a b} và biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Cho hai vectơ ^a=

(

^{a a a1; ;2 3}

) (

^{,b= b b b1; ;2 3}

)

^.

Ta có: a b. =a b_{1 1}+a b_{2 2}+a b_{3 3} a²=a₁²+a₂²+a₃²

a = a₁²+ +a₂² a₃² a⊥ ⇔b a b. = ⇔0 a b_{1 1}+a b_{2 2} +a b_{3 3}=0 - Sử dụng các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ

Khoảng cách giữa hai điểm: ^{AB= AB =}

(

^xB−xA

) (

^{2+ yB−yA}

) (

^{2+ zB−zA}

)

²

Góc giữa hai vectơ:

( )

^{2 1 12 22 2 2 3 32 2}

( )

1 2 3 1 2 3

cos , . , , 0

. .

a b a b a b

a b a b a b

a b a a a b b b

+ +

= = ≠

+ + + +

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ avà b tạo với nhau một góc 120⁰ . Tìm a b+ và a b− ^{, biết} a =3, b =5

HD Giải

a) Ta có: ^{a b+ 2 = a2+ b2+2 . .cos ,a b}

( )

^{a b = +9 25 2.3.5+ }_⁻¹₂^_^{=19. Vậy a b+ = 19}

b) Ta có: ^{a b− 2= a2+ b2−2 . .cos ,a b}

( )

^{a b = +9 25 2.3.5− }_⁻¹₂^_^{=49. Vậy a b− =7}

Bài 6. Trong không gian Oxyz. Tính:

a) a b. với ^a=

(

^{3;0; 6 ,−}

) (

^{b= 2; 4;0−}

)

^{b) c d. với c= −}

(

^{1; 5;2 ,}

) (

^{d= 4;3; 5−}

)

HD Giải

a) a b. =3.2 0.( 4) ( 6).0 6+ − + − = b) c d. =1.4 ( 5).3 2( 5)+ − + − = −21 Bài 7. Trong không gian Oxyz. Cho ba điểm ^A

(

^{− −1; 2;3 ,}

) (

^{B 0;3;1 ,}

) (

^{C 4;2;2}

)

a) Tính tích vô hướng AB AC. b) Tính côsin của góc BAC HD Giải

a) Ta có: ^AB=

(

^{1;5; 2 ,−}

)

^AC=

(

^{5;4; 1−}

)

^{. Do đó:} AB AC^. =1.5 5.4 ( 2)( 1) 27+ + − − =

D'

A' B'

C'(4;5;-5) D(1;-1;1)

C

B(2;12;2) A(1;0;1)

b) cos = . = 27 = 9 ⇒ ≃40 28'46''⁰ 30. 42 2 35

. AB AC

BAC BAC

AB AC

Bài 8. Trong không gian Oxyz. Cho ba điểm A

(

1;2;1 , 5;3;4 ,

) (

B

) (

C 8; 3;2−

)

a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC HD Giải

a) Ta có: ^AB=

(

^4;1;3

)

^{⇒AB= 26,AC=}

(

^{7; 5;1−}

)

^{⇒AC=5 3,BC=}

(

^{3; 6; 2− −}

)

^⇒BC=7

Nhận xét: AB BC. =4.3 1.( 6) 3.( 2) 0+ − + − = ⇒AB⊥BC. Hay tam giác ABC vuông tại B b) Gọi S là diện tích tam giác ABC, ta có: 1 . 1. 26.7 7 26

2 2 2

S= AB BC= = c) Gọi p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có:

( ) ( )

1 1 26 5 3 7

2 2

p= AB AC BC+ + = + + ^{. Từ} 7 26

26 5 3 7 S pr r S

= ⇒ = =p

+ +

Vấn đề 3. Lập phương trình mặt cầu – Xác định tâm và bán kính mặt cầu có phương trình cho trước Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm và bán kính mặt cầu.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

^{bán kính r}có phương trình là:

(

^{x a−}

) (

^{2+ −y b}

) ( )

^{2+ −z c 2 =r2}

Đặc biệt phương trình mặt cầu tâm ^{0 0;0;0}

( )

bán kính r: x²+y²+ =z² r²

Trong không gian Oxyz, phương trình x²+y²+ −z² 2ax−2by−2cz d+ =0 với a²+ + − >b² c² d 0 là phương trình mặt cầu tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

^{bán kính r= a2+ + −b2 c2 d}

Bài 9. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:

a) x²+y²+ +z² 4x−2y+6z+ =5 0 b) x²+y²+ −z² 8x−2y+ =1 0

c) 3x²+3y²+3z²−6x+8y+15z− =3 0 d) 3x²+3y²+3z²−6x−3y+15z− =2 0 HD Giải

a) Ta có: ^{x2+ + +y2 z2 4x−2y+ + = ⇔6z 5 0}

(

^x+2

) ( ) ( )

^{2+ −y 12+ +z 3 2 =9}

Vậy mặt cầu đã cho có tâm ^I

(

^{−2;1; 3−}

)

và bán kính r=3^.

b) x²+y²+ −z² 8x−2y+ =1 0. Phương trình mặt cầu có dạng: x²+y²+ −z² 2ax−2by−2cz d+ =0

Ta có: 8 4; 2 1, 0 0, 1

2 2 2

a= − = b= − = c= = d=

− − −

Vậy mặt cầu đã cho có tâm ^I

(

^4;1;0

)

và bán kính r= 4 1 0 1 4²+ + − =^{1 2} . c) 3 ² 3 ² 3 ² 6 8 15 3 0 ^{2 2 2} 2 8 5 1 0

x + y + z − x+ y+ z− = ⇔x + + −y z x+3y+ − =z

( )

^{2 2 2} 2²

4 5 361 19

1 3 2 36 6

x y  z 

⇔ − + +  + +  = =

   

Vậy mặt cầu đã cho có tâm 1; 4; 5 3 2

I 

 − − 

  và bán kính 19

r= 6 . d) Mặt cầu đã cho có tâm 1; ;1 5

2 2

I 

 − 

  và bán kính 7 6

r= 6 .

Bài 10. Trong không gian Oxyz. Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Có tâm ^I

(

^{5; 3;7−}

)

và có bán kính r=2 b) Đi qua điểm ^M

(

^{5; 2;1−}

)

và có tâm

(

^{3; 3;1}

)

J −

c) Có tâm là điểm ^C

(

^{4; 4;2−}

)

và đi qua gốc tọa độ d) Có đường kính AB với

(

^{4; 3;7 ,}

) (

^2;1;3

)

A − B

HD Giải

Phương trình mặt cầu (S) có dạng:

(

^{x a−}

) (

^{2+ −y b}

) ( )

^{2+ −z c 2=r2, có tâm I a b c}

(

^{; ;}

)

và có bán kính r.

a) Mặt cầu (S) tâm ^I

(

^{5; 3;7−}

)

và bán kính r=2có phương trình:

(

^x−5

) ( ) ( )

^{2+ +y 3 2+ −z 7 2 =4}

b) Mặt cầu (S) tâm ^J

(

^{3; 3;1−}

)

và đi qua điềm ^M

(

^{5; 2;1−}

)

nên có bán kính r=JM= 5 Vậy mặt cầu (S) có phương trình:

(

^x−3

) ( ) ( )

^{2+ +y 3 2+ −z 12 =5}

c) Mặt cầu (S) tâm ^C

(

^{4; 4;2−}

)

và đi qua điềm ^O

(

^0;0;0

)

nên có bán kính r=OC=6 Vậy mặt cầu (S) có phương trình:

(

^x−4

) (

^{2+ +y 4}

) ( )

^{2+ −z 2 2=36}

d) Mặt cầu (S) có tâm là trung điểm K của đoạn AB Ta có: ^K

(

^{3; 1;5−}

)

và bán kính

2 2 2

( 2) 4 ( 4) 36 3

2 2 2

AB

r= = − + + − = = ^(hay r=IA=IB) Vậy mặt cầu (S) có phương trình:

(

^x−3

) ( ) ( )

^{2+ +y 12+ −z 52 =9}

Bài 10. Trong không gian Oxyz. Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Đi qua bốn điểm ^A

(

^{1;0;0 ,}

) (

^{B 0; 2;0 ,−}

) (

^{C 0;0;4}

)

và gốc tọa độ O b) Đi qua bốn điểm A

( ) (

1;1;1 , 1;2;1 , 1;1;2 ,B

) (

C

) (

D 2;2;1

)

c) Đi qua ba điểm A

(

1;2; 4 , 1; 3;1 ,−

) (

B −

) (

C 2;2;3

)

và có tâm nằm trên mặt phẳng

( )

^Oxy

d) Đi qua hai điểm A

(

3; 1;2 , 1;1; 2−

) (

B −

)

và có tâm nằm trên trục Oz HD Giải

a) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x²+y²+ −z² 2ax−2by−2cz d+ =0 Vì A∈( )S nên ta có: 1 2− a d+ =0 (1)

( )

B∈ S nên ta có: 4 4+ b d+ =0 (2) ( )

C∈ S nên ta có: 16 8− + =c d 0 (3) O∈( )S nên ta có: d=0 (4) Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: 1, 1, 2, 0

a=2 b= − c= d= Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x²+y²+ − +z² x 2y−4z=0

b) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x²+y²+ −z² 2ax−2by−2cz d+ =0 Vì A∈( )S nên ta có: 3 2− a−2b− + =2c d 0 ⁽¹⁾

( )

B∈ S nên ta có: 6 2− a−4b− + =2c d 0 ⁽²⁾ ( )

C∈ S nên ta có: 6 2− a−2b− + =4c d 0 ⁽³⁾ ( )

D∈ S nên ta có: 9 4− a−4b− + =2c d 0 ⁽⁴⁾ Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: 3, 6

a= = =b c 2 d=

Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x²+y²+ −z² 3x−3y− + =3z 6 0

c) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x²+y²+ −z² 2ax−2by−2cz d+ =0

Vì A∈( )S nên ta có: 21 2− a−4b+ + =8c d 0 (1) B∈( )S nên ta có: 11 2− a+6b− + =2c d 0 (2) C∈( )S nên ta có: 17 4− a−4b− + =6c d 0 (3) Tâm ^I∈

( )

^Oxy nên ta có: c=0 ⁽⁴⁾ Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: a= −2,b=1,c=0,d = −21 Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x²+y²+ +z² 4x−2y−21 0=

d) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x²+y²+ −z² 2ax−2by−2cz d+ =0 Vì A∈( )S nên ta có: 14 6− a+2b− + =4c d 0 (1)

( )

B∈ S nên ta có: 6 2− a−2b+ + =4c d 0 (2) Tâm I Oz∈ nên ta có: 0

0 a b

 =

 =

 ⁽³⁾

Giải hệ 3 phương trình trên, ta có: a=0,b=0,c=1,d= −10 Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x²+y²+ − −z² 2 10 0z =

Bài 11. Trong không gian Oxyz. Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Đi qua ba điểm ^A

(

^{0;8;0 ,}

) (

^{B 4;6;2 ,}

) (

^{C 0;12;4}

)

và có tâm nằm trên mặt phẳng

( )

^Oyz

b) Có bán kính r=2, tiếp xúc với mặt phẳng

( )

^Oyz và có tâm nằm trên trục Ox c) Có tâm ^I

(

^1;2;3

)

và tiếp xúc với mp

( )

^Oyz

HD Giải

a) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x²+y²+ −z² 2ax−2by−2cz d+ =0. Tâm ^I∈

( ) (

^{Oyz ⇒I 0; ;b c}

)

Vì A∈( )S nên ta có: 64 16− b d+ =0 (1) B∈( )S nên ta có: 56 8 12− −a b− + =4c d 0 (2) C∈( )S nên ta có: 160 24− b− + =8c d 0 (3) Tâm ^I∈

( )

^Oyz nên ta có: a=0 ⁽⁴⁾ Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: a=0,b=7,c=5,d=48 Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x²+y²+ −z² 14y−10z+48 0=

b) Tâm ^{I∈Ox⇒I a}

(

^;0;0

)

.Vì tâm I nằm trên trục Ox và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

( )

^{Oyz nên điểm}

tiếp xúc phải là O.

Do đó bán kính mặt cầu là r=IO=2 ^{và I}

(

^2;0;0

)

Vậy mặt cầu có phương trình:

(

^x−2

)

^{2+y2+ =z2 4}

c) Vì mặt cầu có tâm ^I

(

^1;2;3

)

và tiếp xúc với mp

( )

^Oyz nên bán kính r của mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến mp

( )

^{Oyz . Do đó: r=1}. Vậy mặt cầu có phương trình:

( ) (

^{x−12+ −y 2}

) ( )

^{2+ −z 32 =1}

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ ^a=

(

^{2; 1;2 ,−}

) (

^{b= 3;0;1 ,}

) (

^{c= −4;1; 1−}

)

. Hãy tìm tọa độ các vectơ sau: a) m=3a−2b c+ b) n=2a b+ +4c

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A

(

^{1; 1;1 ,}−

) (

B 0;1;2 , 1;0;1

) (

C

)

. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ^A

(

^{2;1; 1 ,−}

) (

^{B 4;1; 3 ,−}

) (

^{C 3;7;0}

)

^.

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnhBC b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c) Tìm tọa độ điềm A' đối xứng của A qua M

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ avà b tạo với nhau một góc 60⁰ . Tìm a b+ và a b− ^{, biết} a =5, b =8

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ^A

(

^{− −4; 2;0 ,}

) (

^{B − −1; 2;4 ,}

) (

^{C 3; 2;1−}

)

. Tìm góc giữa hai vectơ AB và AC

Bài 6. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:

a) x²+y²+ +z² 6x− + =2 1 0z b) x²+y²+ −z² 8x+4y+6z+ =4 0 c) 2x²+2y²+2z²−4x+8y−12z+27 0= c) 2x²+2y²+2z²+8x−4y−12 100 0z− = Bài 7. Trong không gian Oxyz. Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Đi qua điểm ^A

(

^{2; 1; 3− −}

)

và có tâm ^C

(

^{3; 2;1−}

)

b) Có đường kính AB với ^A

(

^{−1;2;1 ,}

) (

^{B 0;2;3}

)

c) Có tâm là điểm ^I

(

^{2; 1;3−}

)

và tiếp xúc với mp

( )

^Oxy

d) Có tâm là điểm ^I

(

^{2; 1;3−}

)

và tiếp xúc với mp

( )

^Oxz

e) Có tâm là điểm ^I

(

^{2; 1;3−}

)

và tiếp xúc với mp

( )

^Oyz

Kết quả:

Bài 1. a) ^{m=3a−2b c+ = − −}

(

^{4; 2;3}

)

^{, b) n=2a b+ +4c= −}

(

^9;2;1

)

Bài 2. 2;0;4

3 3

G 

 

  Bài 3. a) 7;4; 3

2 2

M 

 − 

  ^{, b)}

3;3; 4 G 3

 − 

  ^{, c) A' 5;7; 2}

(

⁻

)

Bài 4. a b+ = 129^, a b− =7 Bài 5. AB AC,  45⁰

=

 

 

Bài 6. a) ^I

(

^{−3;0;1 ,}

)

^{r=3, b) I}

(

^{4; 2; 3 ,− −}

)

^{r=5, c) I}

(

^{1; 2;3 ,−}

)

^r= ₂^{2 , d) I}

(

^{−2;1;3 ,}

)

^r=8

Bài 7. a)

(

^x−3

) (

^{2+ +y 2}

) ( )

^{2+ −z 12 =18 b) }_^x+1₂^_^{2+ −}

(

^{y 2}

) ( )

^{2+ −z 2 2 = 5}₄

c)

(

^x−2

) ( ) ( )

^{2+ +y 12+ −z 3 2=9 d)}

(

^x−2

) ( ) ( )

^{2+ +y 12+ −z 3 2 =1}

e)

(

^x−2

) ( ) ( )

^{2+ +y 12+ −z 3 2=4}

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Tích có hướng của hai vectơ

a. Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ^a=

(

^{a a a1; ;2 3}

) (

^{,b= b b b1; ;2 3}

)

. Tích có hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu là a b, 

  ^{hoặc a b∧} , được xác định bởi:

( )

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

; ; ; ;

a a a a a a

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 

∧ = = − − −

 

Chú ý: ^{a b∧ = − ∧}

( )

^{b a}

b. Tính chất

Nếu c= ∧a b thì c a c b

 ⊥



 ⊥ ^{a b∧ = a b. sin ,}

( )

^{a b}

a và b cùng phương ⇔ ∧ =a b 0 a, b, c đồng phẳng ^{⇔c a b.}

( )

^{∧ =0}

c. Ứng dụng của tích có hướng

Diện tích hình bình hành ABCD là S_ABCD= AB∧AD Diện tích tam giác ABC là 1

2

SABC = AB∧AC

Thể tích khối hộp ABCD A B C D. ' ' ' ' là VABCD A B C D^{. ' ' ' '}=

(

AB∧AD AA

)

^{. '}

Thể tích khối tứ diện ABCD là ^{VABCD =1}₆

(

^{AB∧AC AD}

)

^.

2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng a. Định nghĩa:

Vectơ n≠0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α nếu giá của nó vuông góc với ( )α , viết tắt là: n⊥ α( )

Nếu hai vectơ ^a=

(

^{a a a1; ;2 3}

) (

^{,b= b b b1; ;2 3}

)

không cùng phương và giá của chúng song song với một mp ( )α (hoặc nằm trên ( )α ) thì n= ∧a blà một vectơ pháp tuyến của mp( )α .

b. Chú ý:

Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn k, ≠0cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó Mặt phẳng

(

^ABC

)

có vectơ pháp tuyến n= AB∧AC

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a. Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax By Cz D+ + + =0, trong đó A B C D, , , không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng hay còn gọi là phương trình mặt phẳng.

b. Nhận xét:

Nấu mặt phẳng( )α có phương trình tổng quát là Ax By Cz D+ + + =0thì nó có một vectơ pháp tuyến

(

^{; ;}

)

n= A B C

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ^M0

(

^{x y z0; ;0 0}

)

nhận vectơ ⁿ⁼

(

^{A B C; ;}

)

^{khác 0}làm vectơ pháp tuyến có phương trình: ^{A x}

(

^−x0

) (

^{+B y y− 0}

) (

^{+C z z− 0}

)

⁼⁰

c. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát

Các hệ số Phương trình mặt phẳng (α) Đặc điểm của mặt phẳng (α) D = 0 Ax By Cz+ + =0 (α) đi qua gốc tọa độ O

A = 0 By Cz D+ + =0 (α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox B = 0 Ax Cz D+ + =0 (α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy C = 0 Ax By D+ + =0 (α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz A = B = 0 Cz D+ =0 (α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy) A = C = 0 By D+ =0 (α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz) B = C = 0 Ax D+ =0 (α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz) Chú ý:

Mặt phẳng

( )

^Oxy có phương trình: z=0 và có vectơ pháp tuyến ^k=

(

^0;0;1

)

Mặt phẳng

( )

^Oxz có phương trình: y=0 và có vectơ pháp tuyến ^j=

(

^0;1;0

)

Mặt phẳng

( )

^Oyz có phương trình: x=0 và có vectơ pháp tuyến ⁱ⁼

(

^1;0;0

)

4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng ( )α không đi qua gốc O, cắt trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm

(

^{;0;0 ,}

) (

^{0; ;0 ,}

) (

^0;0;

)

A a B b C c (với a b c, , ≠0) thì có phương trình: x y z 1 a+ + =b c Phương trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng ( )α

5. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng

( )

^{α1 và}

( )

^α2 có phương trình:

( )

α^{1 :}A x B y C z D¹ + ¹ + ¹ + ¹=⁰;

( )

α^{2 :}A x B y C z D² + ² + ² + ²=⁰. Khi đó

( )

^{α1 và}

( )

^α2 có hai vectơ pháp tuyến là: ⁿ¹⁼

(

^{A B C1; ;1 1}

)

^{,n2 =}

(

^{A B C2; ;2 2}

)

( ) ( )

^{1 2 1 1 1 1}

2 2 2 2

A B C D

A B C D

α ≡ α ⇔ = = =

( ) ( )

^{1 2 1 1 1 1}

2 2 2 2

/ / A B C D

A B C D

α α ⇔ = = ≠

( )

^{α1 cắt}

( )

^{α2 ⇔ A B C1: 1: 1≠ A2:B C2: 2}

( ) ( )

^{α ⊥ α ⇔ ⊥1 2 n1 n2 ⇔A A1 2+B B1 2+C C1 2 =0}

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )α có phương trình Ax By Cz D+ + + =0 và điểm

( )

0 0; ;0 0

M x y z . Khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng ( )α , kí hiệu ^{d M}

(

^{0,( )α}

)

, được tính bởi công thức:

^{d M}

(

^{0,( )}

)

^Ax0 ₂^By0 ₂^Cz0₂ ^D

A B C

+ + +

α = + +

B. BÀI TẬP

Vấn đề 1. Tích có hướng của hai vectơ và các ứng dụng Phương pháp:

- Sử dụng định nghĩa của tích có hướng của hai vectơ và các tính chất của tích có hướng - Sử dụng các công thức tính diện tích, thể thể.

^{2 3 3 1 1 2}

(

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

)

2 3 3 1 1 2

; ; ; ;

a a a a a a

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 

∧ =^_ ^_= − − −

 

Bài 1. Trong không gian Oxyz. Cho ba điểm A

(

^{1;2;3 ,}

) (

B 0;1;1 , 1;0;0

) (

C

)

. Tính AC∧BC

HD Giải

Ta có: ^AC=

(

^{0; 2; 3 ,− −}

)

^{BC= − −}

(

^{1; 1; 1}

)

^{. AC∧BC=}⁻−²₁ ^{− −}− −³₁^{; 3 0 0}_{1 1 1}^{; −}−²₁^^{= − −}

(

^{1; 3;2}

)

Bài 2. Trong không gian Oxyz. Cho ba điểm ^A

(

^{1; 1;2 ,−}

) (

^{B −1;0;3 ,}

) (

^{C 0;2;1}

)

^.

a) Chứng minh A, B, C tạo thành một tam giác

b) Tính diện tích tam giác ABC. Suy ra chiều cao AH của tam giác ABC.

HD Giải

a) Ta có: ^{AB= −}

(

^{2;1;1 ,}

)

^{AC= −}

(

^{1;3; 1−}

)

^{. AB∧AC=}^{1 1 1}₃ − −₁^; ₁ ⁻−²₁^;−−^{2 1}_{1 3}^^{= −}

(

^{4;3; 5− ≠}

)

⁰

Vậy AB và AC không cùng phương ⇒A B C, , không thẳng hàng ⇒A B C, , tạo thành một tam giác.

b) Ta có: Diện tích tam giác ABC là 1 1 16 9 25 5 2

2 2 2

SABC = AB∧AC = + + =

Mặt khác: 1 . 2 5 2 5 2

2 1 4 4 3

ABC ABC

S AH BC AH S

= ^⇒ = BC = =

+ +

Bài 3. Trong không gian Oxyz. Cho bốn điểm ^A

(

^{1;0;1 ,}

) (

^{B −1;1;2 ,}

) (

^{C −1;1;0 ,}

) (

^{D 2; 1; 2− −}

)

^.

a) Chứng minh 4 điểm A B C D, , , tạo thành một tứ diện b) Tính diện tích của tam giác BCD

c) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra chiều cao AH của tứ diện ABCD HD Giải

a) Ta có: ^BA=

(

^{2; 1; 1 ,− −}

)

^BC=

(

^{0;0; 2 ,−}

)

^BD=

(

^{3; 2; 4− −}

)

^.

( )

0 2 2 0 0 0

; ; 4; 6;0

2 4 4 3 3 2

BC∧BD=− −− −− − = − −

(

BC BD BA∧

)

^. = −( 4).2 ( 6).( 1) 0.( 1)+ − − + − = − ≠2 0 Vậy BC BD BA, , không đồng phẳng ⇒A B C D, , , tạo thành một tứ diện.

b) 1 1 16 36 52 13

2 2 2

S_∆BCD= BC∧BD = + = =

c) ^{VABCD =1}₆

(

^{BC∧BD BA}

)

^{. =1}₆ ⁴⁼¹₃. Mặt khác: 1 . 3 13

3 ^ABCD 13

ABCD BCD

BCD

V AH S AH V

∆ S

∆

= ⇒ = =

Bài 4. Trong không gian Oxyz. Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' ' biết điểm ^A

(

^{0;0;1 ,}

) (

^{B 0;2;1}

)

^{,D 3;0;1}

( )

( )

, ' 0;0;0A . Tính thể tích của khối hộp đã cho.

HD Giải Ta có: ^AB=

(

^{0;2;0 ,}

)

^AD=

(

^{3;0;0 ,}

)

^AA'=

(

^{0;0; 1−}

)

( )

2 0 0 0 0 2; ; 0;0; 6 0 0 0 3 3 0

AB AD  

∧ = = −

 

,

(

AB∧AD AA

)

^. ' 0.0 0.0 ( 6).( 1) 6= + + − − = Thể tích khối hộp ABCD A B C D. ' ' ' ' là VABCD A B C D^{. ' ' ' '} =

(

AB∧AD AA

)

^{. ' 6}=

Bài 5. Trong không gian Oxyz. Cho bốn điểm ^A

(

^{0;1;1 ,}

) (

^{B −1;0;2}

)

^{,C 1;1;0}

(

⁻

)

^{,D 2;1; 2}

(

⁻

)

^.

a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.

b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABCkẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó.

c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D.

HD Giải a) Ta có: ^BA=

(

^{1;1; 1 ,−}

)

^BC=

(

^{0;1; 2 ,−}

)

^BD=

(

^{3;1; 4−}

)

( )

1 1 1 1 1 1

; ; 1;2;1

1 2 2 0 0 1

BA BC∧ = −− −− = − ,

(

BA BC BD∧

)

^. = −( 1).3 2.1 1.( 4)+ + − = − ≠5 0 Suy ra: BA BC BD, , không đồng phẳng hay bốn điểm đã cho không đồng phẳng.

b) Ta có: ^{S∆ABC = 1}₂

(

^{BA BC∧}

)

⁼¹₂ ^{( 1)− 2+ + =2 12 2} ₂⁶

Gọi AH là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC, ta có:

( )

²

2 2

2 6 30

0 1 2 5 SABC

AH BC

= ∆ = =

+ + −

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và p là nữa chu vi của tam giác ABC

Ta có: . 6

5 3 2

ABC ABC

S p r r S p

∆ = ⇒ = ∆ =

+ + ^{, với}

3 5 2

2 2

AB AC BC

p= + + = + +

c) Ta có: cos cos , . 9 37 52'⁰

. 130 BC BD

CBD BC BD CBD

BC BD

 

=  = = ⇒ ≈

 

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Ta có: ⁰

. 5

cos cos , 36 49'

. 39 AB CD AB CD

AB cD

 

α =   = = ⇒α ≈

 

d) Thể tích tứ diện ABCD là: ^{VABCD= 1}₆

(

^{BA BC BD∧}

)

^{. =5}₆

Nếu DK là đường cao của tứ diện kẻ từ D thì ta có: 3 5 6 6

ABCD ABC

DK V S_∆

= =

Vấn đề 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng Phương pháp: có 4 loại cơ bản

Loại 1. Viết phương trình mặt phẳng

( )

^α khi biết vectơ pháp tuyến ⁿ⁼

(

^{A B C; ;}

)

và một điểm

( )

0 0; ;0 0

M x y z thuộc

( )

^{α .}

Phương trình

( )

^{α có dạng: A x}

(

^−x0

) (

^{+B y y− 0}

) (

^{+C z z− 0}

)

⁼⁰

Khai triển, rút gọn đưa về dạng tổng quát: Ax By Cz D+ + + =0 với ^{D= −}

(

^Ax0+By0+Cz0

)

Lưu ý: Nếu hai vectơ ^a=

(

^{a a a1; ;2 3}

) (

^{,b= b b b1; ;2 3}

)

không cùng phương và giá của chúng song song với một mp( )α (hoặc nằm trên ( )α ) thì n= ∧a blà một vectơ pháp tuyến của mp( )α .

Loại 2. Viết phương trình mặt phẳng

( )

^α chứa ba điểm A B C, , không thẳng hàng (hay đi qua ba điểm , ,

A B C)

Tìm vectơ pháp tuyến n_α = AB∧AC

Mặt phẳng

( )

^α qua điểm A( hay B hay C) và có vectơ pháp tuyến là n_α(loại 1) Lưu ý: Mặt phẳng ( )α không đi qua gốc O, cắt trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm

(

^{;0;0 ,}

) (

^{0; ;0 ,}

) (

^0;0;

)

A a B b C c (với a b c, , ≠0) thì có phương trình: x y z 1 a+ + =b c

Loại 3. Viết phương trình mặt phẳng

( )

^{α chứa điểm M0}

(

^{x y z0; ;0 0}

)

và song song với mặt phẳng ( ) :β Ax By Cz D+ + + =0.

Phương trình

( )

^{α cĩ dạng: Ax By Cz D+ + + ' 0= (1)}

Thay tọa độ điểm M₀ vào (1) tìm được D'

Loại 4. Viết phương trình mặt phẳng

( )

^α chứa hai điểm M N, và vuơng gĩc với mặt phẳng ( ) :β Ax By Cz D+ + + =0

Tìm vectơ pháp tuyến n_α =MN∧n_β

Mặt phẳng

( )

^α qua điểm M( hay N) và cĩ vectơ pháp tuyến là n_α(loại 1)

Bài 6. Trong khơng gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng

( )

^α trong các trường hợp sau:

a) Đi qua điểm ^A

(

^{2;5; 7−}

)

và song song với giá của hai vectơ ^{a= −}

(

^{1; 2;3 ,}

) (

^{b= 3;0;5}

)

b) Đi qua ba điểm ^B

(

^{2; 1;3 ,−}

) (

^{C 4;0;1 ,}

) (

^{D −10;5;3}

)

c) Đi qua điểm ^E

(

^0;2;0

)

và song song với mặt phẳng

( )

^{β : 2x+3y− − =4z 2 0}

d) Đi qua OE và vuơng gĩc với mặt phẳng

( )

^{β : 2x+3y−4z− =2 0}

e) Đi qua ba điểm ^M

(

^{1;0;0 ,}

) (

^{N 0; 2;0 ,−}

) (

^{P 0;0; 3−}

)

HD Giải a) Ta cĩ: ^{a b∧ = −}

(

^10;4;6

)

. Mặt phẳng

( )

^{α :}

( )

( )

qua 2;5; 7

có vectơ pháp tuyến 10;4;6 A

n

 −



 = −

cĩ phương trình: ⁻¹⁰

(

^{x− +2}

) (

^{4 y− +5}

) ( )

^{6 z+7 = ⇔0 5x−2y− −3z 21 0=}

b) Ta cĩ: ^BC=

(

^{2;1; 2 ,−}

)

^{BD= −}

(

^12;6;0

)

^{. BA BC∧ =}

(

^12;24;24

)

Mặt phẳng

( )

^{α :}

( )

( )

qua 2; 1;3

có vectơ pháp tuyến 12;24;24 B<