Gyro Compass (La Bàn Con Quay)

Chương 1. Lý thuyết cơ bản về la bàn con quay

1.1. Khái niệm về con quay

Nói chung con quay là một cấu trúc gồm có thành phần quay hoặc dao ñộng, và nó cho phép ta ño ñạc và phát hiện sự quay trong không gian quán tính của nền tảng mà trên ñó ta ñặt con quay.

Trong các dụng cụ con quay có hình dạng ñối xứng quay quanh một ñiểm cố ñịnh và sự quay của nó có thể chuyển ñộng tự do trong không gian. Với ñiểm tức thời ñó gọi là ñiểm treo của vật.

- Trong trường hợp ñiểm treo của con quay trùng với trọng tâm của con quay gọi là con quay cân bằng.

- ðối với con quay trong chế tạo la bàn con quay là một con quay có hình dạng là một hình trụ dẹt.

Con quay tự do: Là con quay có tổng mô men ngoại lực tác dụng lên nó bằng 0.

Nếu gọi L là tổng mô men ngoại lực thì: L = 0 1.2. Hệ toạ ñộ sử dụng trong la bàn con quay 1.2.1 Hệ toạ ñộ vuông góc.

- ðiểm 0 trùng với tâm của con quay.

- OX là trục chính của con quay.

- OY, OZ nằm trong mặt phẳng quỹ ñạo chuyển ñộng của con quay.

Trục 0X trùng với trục chính của con quay và con quay quay quanh trục này với vận tốc góc là Ω.

1.2.2 Hệ tọa ñộ oX0Y₀Z₀ cố ñịnh trong không gian.

Có trục 0X trùng với ñường N, S (chân trời), trục 0Z vuông góc với mặt Hình vẽ 1-1

www.hanghaikythuat.tk

α nằm trong mặt phẳng X00Y₀ tính từ 0X0 ñến hình chiếu của trục 0X trên mặt phẳng X00Y₀ theo chiều ngược kim ñồng hồ.

β gọi là góc trương ñộng: là góc nằm giữa mặt phẳng X00Y₀ và trục 0X với chiều sao cho ta ñứng từ ñầu dương của trục Y, véc tơ góc β sẽ quay ngược chiều kim ñồng hồ.

Các trục Y và Z ñược gắn chặt với con quay và quay cùng với con quay nhưng không tham gia vào chuyển ñộng quay riêng của con quay.

1.2.3 Hệ tọa ñộ OX1Y₁Z₁.

Hệ toạ ñộ chuyển ñộng trong không gian có trục Z1, Y1nằm trong mặt phẳng quỹ ñạo chuyển ñộng của con quay và quay với con quay quanh trục X.

Hình vẽ 1-2

Giả sử con quay quay một góc ϕ quanh trục X khi ñó góc ϕ xác ñịnh bởi ZZ1

hay YY₁ và nằm trong mặt phẳng Y0Z. Khi ñó góc ϕ gọi là góc quay riêng của con quay.

Với các góc α, β lập nên bởi 3 hệ toạ ñộ ta có thể xác ñịnh vị trí tức thời của con quay trong không gian.

Trục X₀ Y₀ Z₀

X

Cos β cos α Cos β sin α

Cos (90⁰ - α) -Sinβ Y

Cos (90⁰ + α) - sinα

cos α

0 Z

Sin β cos α Sin β Cos (90⁰ + α)

sinα cos β

1.3. Mô men ñộng lượng

Trong phần cơ lý thuyết ta ñã biết:

v m q = .

Nếu lấy một ñiểm I có trọng khối là m thì khi ñó:

q

i

= m . v

i

Hình vẽ 1-3

Hình vẽ 1-4

www.hanghaikythuat.tk

v

ilà tốc ñộ dài tại ñiểm ñó.

Giả sử con quay quay với vận tốc góc làΩ thì khi ñó tại ñiểm I cách trọng tâm O một khoảng cách là r thì vận tốc dài tại ñiểm ñó sẽ là:

v

i⁼r∧Ω

m.V : là véc tơ ñộng lượng theo chiều tiếp tuyến của ñường tròn quỹ ñạo ñiểm ñó vẽ lên.

Mô men ñộng lượng kí hiệu là hi

i i

i

r m v

h = ∧ .

(1.1) Ta lấy ñạo hàm bậc 1 của (1) theo thời gian

dt

v m d r v dt m

r d dt

h

d _i

i i i i

i × + ×

=

Trong ñó ñại lượng : ⁱ

v

_i

dt

r

d =

^;

ta có : ⁱ

× m

_i

v

_i

= 0 dt

r

d

;

J m dt r

v m d

r

_i

×

_i ⁱ

=

_i

∧

_i (1.2) (Trong ñó J là gia tốc của chất ñiểm) Từ công thức (2) suy ra

L i L

dt H

d = ∑ =

(Trong ñó L là tổng mô men ngoại lực)

Vậy ñạo hàm của véc tơ mô men ñộng lượng theo thời gian sẽ bằng tổng véc tơ mô men ngoại lực tác dụng vào con quay.

Véc tơ h nằm trên trục XX và có chiều sao cho từ ñó ta nhìn thấy ñiểm A quay ngược chiều kim ñồng hồ.

Mô men ñộng lượng của toàn bộ vật sẽ là:

H

⁼

h

₁

+ h

₂

+ ... + h

_n

h

n

h ..

₁

,

là mô men ñộng lượng của từng phần tử.

H là mô men ñộng lượng toàn bộ.

Khi ñó ñộ lớn:

h₁= m₁.v₁.r₁ h₂= m₂.v₂.r₂ +...

hn= mnvn.rn

Do ñó H = ^∑

= n

i mivir i 1

(1.3) Mà v_i = r_i.Ω

Vậy: ^∑

=

Ω

=

ⁿ

i ^mi^ri

H

1 2

Mà Ω tại mọi ñiểm của vật ñều bằng nhau:

Nên H = Ω.^∑n i i

r m

1

.

2

∑n i i

r

m .

² là mô men quán tính của vật kí hiệu là j.

Hình vẽ 1-5

www.hanghaikythuat.tk Từ (1.4) suy ra véc tơ

H

_icùng chiều với tốc ñộ góc Ω Từ công thức mô men quán tính của vật ta thấy:

J =^∑n i i

r m

1

.

2

Mô men quán tính của vật phụ thuộc vào r và m. Muốn tăng mô men quán tính của vật lên ta phải tăng trọng lượng lên do vậy làm tăng kích thước của vật. ðiều này hoàn toàn không có lợi trong chế tạo.

Ta thấy nếu tập trung khối lượng càng xa trục thì càng tăng j lên do ñó người ta cấu tạo con quay như một ñĩa dẹt có khối lượng tập trung ở vành ñĩa

Một ñại lượng khác cũng phụ thuộc vào H ñó là tốc ñộ quay, do ñó ñể tăng Ω bằng cách tăng tần số nguồn ñiện cung cấp cho mô tơ con quay.

Ta có ñịnh lý về mô men ñộng lượng ñược phát biểu như sau:

“ðạo hàm theo thời gian của véc tơ mô men ñộng lượng ñối với một ñiểm nào ñó của vật bằng mô men ngoại lực chính tác dụng lên vật ”.

Từ (1.2) ta có : i i i

i

l

dt v r dm

dt h

d = × =

l

i là mô men ngoại lực tác dụng lên ñiểm i

dt L h

d =

,trong ñó

H =

^∑n

h

_i

1

L là tổng mô men ngoại lực tác dụng lên vật.

ðịnh lý có thể phát biểu một cách khác:

“ðạo hàm theo thời gian của véc tơ mô men ñộng lượng bằng tốc ñộ dài chuyển ñộng của véc tơ ñó”.

Từ (1.5) có:

U dt

H d r r

=

^(Urlà véc tơ ñộ dài) Suy ra:

L U

r

r =

1.4. Các tính chất của con quay 1.4.1 Tính bền vững của con quay.

Con quay ñược gọi là con quay tự do khi mà có tổng mô men các ngoại lực (L) tác dụng lên nó bằng không. Theo ñịnh lý về mô men ñộng lượng của con quay ta có:

= 0

L

suy ra

Const

dt H

d =

(Tức là ñại lượng hướng không ñổi).

Nếu con quay không bị một ngoại lực nào tác dụng lên con quay thì trục chính của con quay giữ nguyên hướng trong không gian.

1.4.2 Tính tiến ñộng của con quay.

Cũng như ñịnh lý về véc tơ mô men ñộng lượng ta có:

U L dt U

H d

y dt L

H d

y

r r

r

=

⇒

 



 



=

=

Nếu có một mô men ngoại lực F tác dụng vào trục chính con quay (như hình 1- 7) gây mô men ñối với trục y có thành phần véc tơ nằm về chiều dương của trục y.

Hình vẽ 1-6

www.hanghaikythuat.tk

H L H U

t= =

ω

^(1.6)

Từ công thức (1.6) ta có:

- Tốc ñộ góc tiến ñộng của con quay tỷ lệ thuận với mô men ngoại lực và tỷ lệ nghịch với mô men ñộng lượng.

- Với chiều tiến ñộng sao cho ta ñứng theo véc tơ góc tiến ñộng ωñ nhìn thấy véc tơ mô men ñộng lượng H

r

tiến tới véc tơ mô men ngoại lực L r

theo con ñường ngắn nhất ngược chiều kim ñồng hồ.

Phân tích trường hợp lực tác dụng như hình vẽ (1-8) tìm vận tốc góc tiến ñộng.

Hình vẽ 1-7

Hình vẽ 1-8

1.5. Mô men kháng con quay

Giả sử con quay có một lực F tác dụng thì theo ñịnh luật của Niu tơn, con quay xuất hiện một lực

F

^'cùng ñộ lớn nhưng ngược chiều, '

F

F = −

. Ta nhân cả hai vế

r

.

F r F

r ∧ = − ∧ ′

Ở bên phải phương trình là mô men kháng

R

y, bên trái là mô men con quay với ngoại lực là

L

y. Xét chuyển ñộng của một con quay ñồng nhất và ñang quay xung quanh trục X với vận tốc góc

Ω = const

. Với lực F = const tác ñộng gây mô men theo chiều dương (+) của trục Y, ta thấy trục chính con quay chuyển ñộng quay quanh trục OZ về trùng với mô men ngoại lực ngược chiều kim ñồng hồ một góc bé nhất;

vận tốc góc tiến ñộng là ñều, có giá trị là:

H L

_y

t

=

ω

, vì Ly là mô men ngoại lực

const ω =

Hình vẽ 1-9

www.hanghaikythuat.tk

Ta xét một chất ñiểm thứ i có khối lượng

m

itrong con quay, theo cơ lý thuyết ta coi chất ñiểm này chuyển ñộng phức hợp có gia tốc:

c e r

a

J J J

J = + +

Trong ñó,

J

alà gia tốc tuyệt ñối ,

J

r là gia tốc tương ñối,

J

clà gia tốc Cliolit.

Ta xét từng thành phần gia tốc riêng biệt:

+

J

r

= J

_τ

+ J

n ^;

J

_τ là gia tốc tiếp tuyến, trong chuyển ñộng ñều có giá trị bằng không;

J

nlà gia tốc pháp tuyến hướng tâm, nó cân bằng với gia tốc quán tính ly tâm. Vậy lực quán tính ly tâm trong chuyển ñộng tương ñối là:

f

r

= − m

i

. J

n^{dấu trừ} (-) trong công thức nó biểu thị ngược chiều với gia tốc pháp tuyến mặt trong mặt phẳng chính con quay ñi qua tâm, không gây mô men bỏ qua không xét

+ Xét thành phần

J

e:

Trong chuyển ñộng theo thì trục chính con quay, quay quanh trục OZ ta có:

en e

r

J J

J =

_τ

+

. Trong ñó

J

eτ là gia tốc tiếp tuyến trong chuyển ñộng theo bằng không (vì

ω

_t

= const

), lúc này còn lại gia tốc pháp tuyến

J

enhướng tâm sinh ra lực quán tính ly tâm theo:

i en

e

m J

f = − .

, nó nằm trong mặt phẳng chính con quay song song với trục X gây mô men với trục X chỉ làm tăng hoặc giảm vận tốc quay riêng của con quay, không gây tiến ñộng nên bỏ qua.

- Xét gia tốc

J

c:

Ta có:

J

c

= 2 . ω

t

∧ V

r^{; ñộ lớn}

J

_c

= 2 . ω

_t

. Ω . cos ϕ

(1.7)

Hướng của gia tốc theo chiều dương của trục X nó sinh ra lực quán tính Cliolit:

c

m J

c

f = − .

; dấu trừ (-) trong công thức ngược chiều với gia tốc

J

c, ñộ lớn :

ϕ ω . . . cos .

2

. r

m

f

_c

=

_t

Ω

ðể tính khối lượng m, ta xét một phần tử vi phân khối lượng

m = V . γ

^{, trong}

ñó V là thể tích của phần tử vi phân,

γ

là khối lượng riêng.

γ ϕ . . . . dr d h r

m =

Trong ñó h là ñộ dày của hình trụ dẹt con quay Ta thấy

f

cgây mô men với hai trục:

ϕ ϕ γ

ω ϕ

ω γ

ϕ dr h r h r dr d

d r

f

_c

= . . . . . 2

_t

. Ω . . cos = 2 .

_t

. Ω . . .

²

. . cos .

Mô men gây với trục Y có ñộ lớn là:

ϕ ϕ γ

ω

ϕ h dr d

r f a

dR

_y

= .

_c

=

³

. cos . 2

_t

. Ω . . . . cos .

(1.8) (

a = r . cos ϕ

là khoảng cách từ chất ñiểm ñến trục Y)

ðể xét toàn bộ mô men kháng trên trục Y con quay ta tích phân hai vế phương trình (8), vì con quay là ñồng chất nên

γ

cố ñịnh và các số là hằng số ta ñưa ra ngoài tích phân, ta có:

Ω

= Ω

=

^{∫ ∫}

( . . ). .

2 . 1

cos .

. . . .

2

^{2 2}

0

2 0

2

3 t

R t

y

h r dr d R h R

R γ ω

^π

ϕ ϕ π γ ω

Trong ñó:

π . R

²

. h . γ = M

; M là khối lượng toàn bộ con quay.

Vậy

R

y

M . R . ω

t

. J . . ω

t

H . ω

t

2

1

₂

= Ω

= Ω

=

Hình vẽ 1-10

www.hanghaikythuat.tk Trong ñó:

2 . R

²

J = M

là mô men quán tính của hình trụ dẹt ñối với trục chính con quay.

Tính mô men kháng Rz của con quay:

c z

b f

dR = .

; trong ñó b là khoảng cách từ chất ñiểm thứ i ñến trục Z và có giá trị là:

b = r . sin ϕ

thay các giá trị trên và tích phân 2 vế ta có:

∫ ∫

=

Ω

=

_t ^R

z

h r dr d

R

0

2 0

3

. . sin . cos . 0 .

. . . .

2 γ ω

^π

ϕ ϕ ϕ

Vì ²∫^π

ϕ ϕ ϕ =

0

0 .

cos .

sin d

Xét trường hợp tổng quát xuất hiện mô men ngoại lực Ly và Lz trên hai trục thì

≠ 0

R

z ta có thể viết dạng cụ thể như sau:

z

y

H

R = ∧ ω

^{, ñộ lớn}

R

_y

= H . ω

_z

sin( H , ω

_z

)

^;

y

z

H

R = ∧ ω

^{, ñộ lớn}

R

_z

= H . ω

_y

sin( H , ω

_y

)

Trong la bàn con quay sin(

H , ω

y) = 1 và sin(

H , ω

z) = 1, do ñó:

z

y

H

R = . ω

^và

R

_z

= H . ω

_y

Nhận xét:

- Mô men kháng chỉ tồn tại trong con quay, khi ñặt con quay trên trái ñất thì thành phần vận tốc góc do trái ñất tác ñộng vào con quay gây ra.

- Mô men kháng trong con quay là do lực Cliolit sinh ra.

- Mô men kháng là một ñại lượng véc tơ có hướng ñược xác ñịnh sao cho, khi ñứng theo chiều của nó, nhìn xuống chân thấy véc tơ mô men ñộng lượng chuyển ñộng ngược chiều kim ñồng hồ ñến trùng với vận tốc góc tiến ñộng của con quay một góc bé nhất.

1.6. Ảnh hưởng của ngoại lực tác dụng liên tục và xung lực tới con quay Ứng dụng phương pháp Kudrevit:

1- Lập hệ toạ ñộ OX0Y₀Z₀ cố ñịnh.

2- Không tính ñến tốc ñộ góc của quả ñất chuyển ñộng.

3- Lập hệ toạ ñộ OXYZ gắn liền với con quay.

4- Cho con quay lệch sang chiều dương một góc α và chếch lên một góc β.

5- Lập các véc tơ tốc ñộ góc

α & , β &

6- Xác ñịnh các hình chiếu trên trục Y là q và trên trục Z là R.

Ta có:

q = β & ; R = α & . cos β

7- Tìm mô men kháng con quay.

Ry = Hα&.cosβ và Rz = H. β^& (1.9) 8- Tìm gia tốc góc

α & &

^và

β & &

^.

9- Xác ñịnh mô men quán tính.

I

α & & cos β

^{và I}

β & &

(I mô men quán tính ñối với trục Y và Z).

10- Ta giả thiết rằng: Có một lực F tác dụng lên con quay và gây lên mô men ñối với trục OY, véc tơ mô men nằm trên trục Y hướng về chiều dương và cho rằng ngoài mô men ngoại lực ñó không còn mô men nào khác nữa.

11- Tích mô men quán tính ở ñây mô men quán tính bằng 0 vì ñiểm O ñứng yên hoặc chuyển ñộng ñều.

12- Ta cộng các mô men theo các trục Y và Z:

Hình vẽ 1-11

www.hanghaikythuat.tk

 



−

= +

z y y

R I

L R I

β α

β cos

&

&

&

&

từ công thức (1.9) ta có

 



=

−

= +

0 cos

cos β β

α

β α β

&

&

&

&

&

&

H I

L H

I

_y

(1.10) Giả sử góc lệch quay khỏi vị trí cho trước bé, có nghĩa là cos

β

^=1.

Từ (1.10) ta có:

 



=

−

= +

β 0 α

α β

&

&

&

&

&

&

H I

L H

I

_y

(1.11)

(1.11) là hệ phương trình vi phân tuyến tính ñặc trưng cho chuyển ñộng con quay dưới tác dụng của mô men ngoại lực.

ðưa biến số mới X =

α &

^{và Y =}

β &

vào (1.11) ta có:

I Y & + HX = L

_{y (A)}

I X & − HY = 0

(B)

Nhân (B) với i sau ñó cộng (A) với (B) chuyển sang biến số phức Z=Y + i.X Ta có:

L

y

iHZ Z

I & − =

_(1.12)

Tìm phương trình tương ñương.

IP – iH = 0 trong ñó P là một nghiệm âm

P i

_o

I

i H = = ω

^{ta ñược:}

ei t

Z

r

N

Z = .

^ωo

+

Trong ñó: N là hằng số phức bất kỳ; ở ñây cho N = C₁ + iC₂

C₁ & C₂ là những số thực thuộc nghiệm của phương trình (1.12).

Z_r là nghiệm riêng của phương trình (1.12) Zr= -

H i L iH

L

_{y y}

=

ứng dụng công thức ơle ta có thể tính ñược Z:

H i L t i

t Cos iC

C

Z = (

₁

+

₂

)( ω

_o

+ . sin ω

_o

) +

^{y .}

Ta phân tích nó thành phần thực và phần ảo.

H t L t

Cos i

t t

Cos

Z =

C1 ω0

−

C2

sin

ω0

+ (

C2 ω0

+

C1

sin

ω0

+

^{y ) (C)}

Suy từ (A) ta có các Y và X tương ứng kết hợp với (B) và (C) ta có:



 

 + +

=

=

−

=

=

H t L t

Cos X

t t

Cos

C y C

C ω ω

ω ω

α β

0 1

0 2

0 2

C1 0

sin sin Y

&

&

(1.13)

ðể xác ñịnh hằng số C1 và C₂ ta có ñiều kiện ban ñầu sau:

Khi t = 0 thì trục chính con quay có toạ ñộ:

α^&t = 0 ;

α

_o

= 0

^{; β}_{t =}0

=

^β0

Thay vào (1.12) ta có: C₁ = β0 và C₂=-

H L

_y

Thay C₁ và C₂ vào (13) ta có:

 



 



+ +

−

=

+

=

H t L H t

L

H t t L

y y

y

β ω ω

ω β ω

α β

0 0 0

0 0 0

sin cos

sin . cos

&

&

(1.14)

Lấy tích phân theo t (14) tìm ñược α và β:

 



 



+ +

−

−

=

+

−

=

y C y

y C

H t t L H t

L

H t t L

4 0

0 0 0

0

3 0

0 0

0 0

cos . sin

.

cos . sin

.

ω ω ω β

ω

ω ω ω ω

α

β β &

(1.15)

Dựa vào ñiều kiện ban ñầu ñể tìm C3 và C₄. ðiều kiện như ở trên: t = 0

α

α_{t =}0

=

0^, β_{t =0}

=

β₀ Thay vào (15) ta có:

 



 



+

= +

=

ω α β β ω

0 0 0 4

0 3 0

C C y

H L

(1.16)

Thay C₃ và C₄ ở (16) vào (15) ta có:

www.hanghaikythuat.tk

 



 



+

−

− +

=

+

− +

=

H t t L H

t L

t H t

L

y y

y

ω ω ω ω

α β

ω ω ω β

ω

α

β β

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0

sin . )

cos 1 (

sin )

cos 1

& (

(1.17)

Biểu thức (1.17) biểu thị quy luật chuyển ñộng của con quay dưới tác ñộng của ngoại lực liên tục nếu phân tích α và β ta rút ra kết luận:

Dưới tác dụng của ngoại lực con quay sẽ hoàn thành chuyển ñộng phức hợp gồm góc tiến ñộng với tốc ñộ góc tiến ñộng

H L

_y

t

=

ω

. Ngoài ra còn những dao ñộng

ñiều hoà với tần số là

= = Ω I J I H

ω

0 ^{(H = JΩ).}

Khi tốc ñộ góc quay của con quay lớn thì ω0 có trị số xấp xỉ bằng Ω, biên ñộ dao ñộng ñiều hoà bé. Quỹ ñạo chuyển ñộng của nó hay trương ñộng. Với dao ñộng bé do ta không thể xác ñịnh ñược nó. Trong kỹ thuật người ta không ñể ý tới dao ñộng ñiều hoà ñó mà ta coi như dưới tác dụng của ngoại lực thì con quay sẽ tiến ñộng với tốc ñộ góc ωt =

H LY

*Kết luận: Tiến ñộng của con quay không có quán tính nghĩa là khi mô men ngoại lực thôi tác dụng thì con quay thôi tiến ñộng ngay. Quán tính của con quay sinh ra trong trường ñộng chứ không sinh ra trong tiến ñộng, do ñó khi có một mô men ngoại lực tác dụng tức thời. Xung lực thì sẽ làm cho con quay có tốc ñộ góc ban ñầu β’₀. Khi ñó:











− +

=

+

=

) cos 1 ( '

sin

0 0

0 0

0 0

0 0

'

t t

ω ω α β

ω β ω β

α β

(1.18)

(1.18) là biểu thức xác ñịnh chuyển ñộng của con quay khi có xung lực tác dụng nghĩa là khi LY = 0 còn tốc ñộ β0≠ 0 ta thấy con quay sẽ quay xung quanh vị trí ban ñầu của nó theo chiều thẳng ñứng.

1.7. Phương trình rút gọn của chuyển ñộng con quay

 



=

−

= +

β 0 α

α β

&

&

&

&

&

&

H I

Ly H

I

(1.19)

Từ phương trình (19) là phương trình ñầy ñủ của chuyển ñộng con quay dưới tác dụng của ngoại lực: Nếu ta không tính ñến trương ñộng thì (18) trở thành:

 



=

−

=

z y

L H

L H

β α

&

&

(1.20)

(20) là phương trình rút gọn với nghiệm của nó là:

 

 



+

−

=

+

=

=

z C y C

H t L H t L

2 1

β α

(1.21)

Với ñiều kiện ban ñầu t = 0,

α

t₌₀

= α

₀

,

^βt₌₀

= β

₀

Thay vào (21) ta tính ñược:







=

=

α β

2 0 0 1

C

C

_(1.22)

Thay vào (21) ta có:

 

 



−

= +

=

H t L H t L

z y

β α

β α

0 0

(1.23)

So sánh với (1.16), nếu bỏ trương ñộng, ta có:

 



 



− +

=

+

=

) cos 1 (

sin

0 0

0 0

0 0

0 0

t t

ω ω α β

ω ω β β

α β

Như vậy nghiệm của nó giống nhau.

Tóm lại: Khi có ngoại lực tác dụng vào con quay thì con quay sẽ chuyển ñộng có cả tiến ñộng và trương ñộng. Khi có xung lực tác dụng thì nó quay trong mặt phẳng cân bằng của nó, nghĩa là không lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến.

1.8. Chuyển ñộng quay của trái ñất

Giả sử tốc ñộ góc quay của quả ñất là ωñ ñược phân thành hai phần:

ω nói lên sự quay của quả ñất quanh ñường NS.

www.hanghaikythuat.tk

ðường NS gọi là ñường tý ngọ. Nếu ta nhìn từ ñầu mút véc tơ ω1 ta thấy phần E luôn ñi xuống, phần W luôn ñi lên. Tại xích ñạo ω1= ωñ có trị số lớn nhất, thành phần ω2 ñặc trưng cho chuyển ñộng của quả ñất quanh trục thẳng ñứng Z,n.

ω2 thay ñổi theo vĩ ñộ người quan sát.

Tốc ñộ góc ωñ =

h h 12 24

2 Π = Π

1.9. Khảo sát chuyển ñộng nhìn thấy của con quay tự do ñối với mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời

Giả sử ta có một con quay tự do mà trục chính của nó hướng lên một ñịnh tinh nào ñó trong không gian có chiều hướng không ñổi. Ngôi sao chuyển ñộng trong vĩ tuyến của thiên thể α≈ A (α là góc tiến ñộng của con quay A là phương vị của thiên thể).

∆≈90⁰ - δ với ñại lượng β và α luôn luôn thay ñổi. Ta có công thức tính ñộ cao thiên thể trong thiên văn:

Sin h = sinϕ . sinδ + cosδ. Cost.

Tương tự ta có: Sin β = sinϕ . sinδ + cosϕ. Cosδ.cost.

Ta lại có công thức tính phương vị trong thiên văn:

CotgA= cosϕ. tgδ. Cost - sinϕ. tgt

Tương tự ta sẽ có: Cotgα = cosϕ. tgδ. Cost - sinϕ. tgt

Nếu ñặt trục chính con quay song song với trục PNP_S thì nó chỉ cho ta vĩ ñộ người quan sát:

Hình vẽ 1-12

sinβ = sinϕ (24)

∆≈ 90⁰ - δ khi δ = 90⁰ thì ∆ = 0

ðiều này có nghĩa là nó nằm trong mặt phẳng kinh tuyến người quan sát và lệch khỏi mặt phẳng chân trời bằng vĩ ñộ người quan sát, còn tất cả các trường hợp khác thì ta ñều thấy trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến và chân trời.

1.10. Thí nghiệm Fucô 10.1 Thí nghiệm 1.

Fucô ñã dùng con quay và hạn chế chiều quay của nó quanh trục Y.

ðầu tiên ông ñặt nó nằm trong mặt phẳng chân trời và lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc α.

Ta có:

ωx= ωñ. cosϕ. cosα ωY = ωñ. cosϕ. sinα

ωY là thành phần hữu ích do chuyển ñộng quay của quả ñất gây nên con quay sẽ chuyển ñộng xung quanh trục Y với một tốc ñộ góc ωY. Như vậy con quay ngoài chuyển ñộng với tốc ñộ góc Ω còn quay quanh trục Y một tốc ñộ góc ωY.

Do hạn chế chiều quay quanh trục Y sẽ sinh ra một mô men kháng Ry. Dưới tác dụng của mô men kháng Ry con quay sẽ chuyển ñộng quanh trục Z và ñi về mặt phẳng kinh tuyến với vận tốc góc

ω

= ^Ry

Hình vẽ 1-13

www.hanghaikythuat.tk ω ϕ

ω

₀²

2

^{. .cos}

2

j t

T = Π = Π

I _Ω

Nếu không có ma sát thì nó là dao ñộng không tắt.

Nếu có ma sát thì nó là dao ñộng tắt dần.

1.10.2 Thí nghiệm 2.

Hạn chế chiều quay của nó quanh trục Z.

ðặt con quay có vị trí ban ñầu nằm trong mặt phẳng kinh tuyến trục chính lệch với P_NP_S một góc θ. Như vậy con quay có thể quay quanh trục X và Y.

Ta phân tích ωñ ra làm hai thành phần ωX và ωY

- Thành phần ωX làm cho con quay quay quanh trục X trục chính con quay không biến ñộng.

- Thành phần ωZ làm cho con quay, quay quanh trục Z.

Như vậy thành phần ωX làm cho con quay quay chậm ñi với tốc ñộ góc ωX = ωñ cosθ, thành phần ωZ = ωñ sinθ là thành phần do chuyển ñộng trái ñất gây nên.

Trong trường hợp này con quay ngoài chuyển ñộng tự quay với tốc ñộ góc Ω còn tiến ñộng quay trục Z với ωZ = ωñ sinθ.

Do hạn chế chiều quay của con quay quanh trục Z nên sinh ra một mô men kháng R_Z làm cho trục chính con quay quanh trục Y trở về trục P_NP_S.

Qua thí nghiệm thứ 2 của Fucô này cho chúng ta thấy nếu ta hạn chế chiều quay của con quay quanh trục Z thì trục chính con quay chỉ vĩ ñộ nơi ñặt máy.

Chu kỳ dao ñộng của con quay ñến trục và trụ là:

Hình vẽ 1-14

ωd

j T I

2 . Π Ω

=

Chu kỳ này không phụ thuộc vào vĩ ñộ người quan sát.

1.11. Các phương pháp biến con quay thành la bàn con quay.

1.11.1.Phương pháp hạ thấp trọng tâm con quay.

Hạ thấp trọng tâm của con quay bằng cách hạ thấp trọng tâm ở phần vỏ của nó.

ðầu tiên ñặt trục con quay song song với mặt phẳng chân trời và lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc 90⁰.

ðoạn OG = a

- Xét trường hợp I: Trọng lượng P ñi qua gốc toạ ñộ nên không gây mô men với trục nào cả.

- Xét trường hợp II: Do quả ñất quay ñi một góc β do ñó P ñược phân làm 2 thành phần.

P₁ = P. sinβ P₂ = P. cosβ

Thành phần P2 ñi qua gốc toạ ñộ không gây mô men với trục nào cả. Thành phần P1

gây mô men với trục Y. Thành phần véc tơ mô men này có chiều hướng theo chiều dương trục Y, trên hình vẽ có hướng từ trong ra ngoài. Thành phần Ly làm cho con quay tiến ñộng quanh trục Z với vận tốc góc ωt .

Hình vẽ 1-15

www.hanghaikythuat.tk L = P.l = P.a sinβ ⇒ ωt =

H mga . sin β

(1.25)

ðặt mga = B là mô men trọng lực lớn nhất thay vào (1.25) ta có:

H B

t

β

ω

= . sin

^(1.26)

Trong trường hợp góc lệch bé thì: sinβ≈β

Thay vào (26) ta có góc tiến ñộng con quay là ω

β H

B

t

=

Như vậy trục chính

H r

luôn chỉ về N (ñối với con quay có trọng tâm thấp).

Nếu ñặt vị trí trục chính con quay ban ñầu lệch với mặt phẳng kinh tuyến một góc α về phía E và song song với mặt phẳng chân trời. Trong chuyển ñộng quay của trái ñất thì phía E mặt phẳng chân trời luôn luôn ñi xuống; Do ñó trục chính con quay vừa về hướng N vừa ñi lên có nghĩa là tồn tại ωt, β. Những thành phần trên làm cho trục con quay vừa ñi lên lại vừa sang N ñến khi gặp mặt phẳng kinh tuyến thì β lớn nhất, nghĩa là ω

β

H B

t

=

lớn nhất. Thành phần ωt lớn nhất ở kinh tuyến do ñó trục chính con quay không thể dừng lại ở ñó ñược mà vẫn tiếp tục sang (W).

Mặt phẳng chân trời ở W ñi lên, trục chính con quay ñi xuống cho ñến khi trục chính con quay gặp mặt phẳng chân trời phía W thì β = 0, ỏ = -ỏ max. Trục chính con quay chuyển ñộng về hướng N và ñi xuống cho ñến khi gặp mặt phẳng kinh tuyến thì ỏ = 0, õ = -õ max. ðiều này cũng có nghĩa là vẫn tồn tại mô men Ly làm cho trục chính con quay không dừng lại mà tiếp tục chuyển ñộng sang phía E ñể hoàn thành một chu kỳ dao ñộng không tắt của nó.

Nếu ñem trải ra mặt phẳng, quỹ ñạo chuyển ñộng của ñầu nút trục chính con quay chuyển ñộng trên thì nó là một hình elíp dẹt.

Tóm lại con quay có trọng tâm thấp hoàn toàn thành một chu kỳ dao ñộng không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến, quỹ ñạo ñầu mút trục chính con quay là một hình elíp dẹt.

1.11.2 Phương pháp dựng bình thuỷ ngân thông nhau.

ðể biến con quay thành la bàn con quay người ta sử dụng bình thuỷ ngân N, S thông nhau ( hiện nay chất lỏng thuỷ ngân có thể thay thế bằng một chất lỏng khác có tính chất tương ñương)

Giả sử tại vị trí 1: ðặt trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc 90⁰ và song song với mặt phẳng chân trời do vậy không có lượng thuỷ ngân dư sinh ra.

Khi quả ñất quay làm lệch mặt phẳng chân trời với trục chính con quay một góc β. Tại vị trí 2, làm cho thuỷ ngân dịch chuyển từ bình nọ sang bình kia sinh ra một lượng thuỷ ngân dư có trọng lượng là P.

Hình vẽ 1-16

www.hanghaikythuat.tk

Từ hình vẽ ta thấy mức nước Hg ở bình N cao hơn bình S do ñó Hg chảy từ bình N ñến S sinh ra lượng thuỷ ngân dư có khối lượng là P gây mô men ñối với trục Y.

Phân tích P làm 2 thành phần

P₁ = P.sinβ: Không gây mô men ñối với một trục nào.

P₂ = P.cosβ: gây mô men ñối với trục Y, mô men Ly có hướng về phía sau con quay dẫn ñến xuất hiện ωt làm cho ñầu N của trục chính con quay tiến về phía S ngược với trường hợp con quay có trọng tâm thấp.

ωt = H

Ly Ly = P₂ρ

P₂ = V.γ.g.cosβ; V=2.s.ρ.tgβ

Ly = 2s.ρ.tgβ.γ.g.ρ.cosβ = 2ρ²s.tgβ.γ.g.cosβ Ly = C.sin β với C = 2ρ².s.γ.g

Trong ñó:

- γ là khối lượng riêng của chất lỏng - s là thiết diện của ống

- ρ là khoảng cách từ tâm con quay ñến tâm của khối chất lỏng dư.

- g gia tốc trọng trường ( 9,8 m/s²) - C gọi là mô men trọng khối lớn nhất.

Trường hợp góc lệch bé sinβ≈β, ta có: Ly = C.β

Thành phần Ly làm cho trục chính con quay tiến ñộng với vận tốc là

β ω H

C

t

=

Tóm lại ta thấy trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc β nào ñó thì nó cũng sẽ trở về mặt phẳng kinh tuyến. Bởi có góc β khi mặt phẳng chân trời quay quanh ñường NS sinh ra vận tốc góc ωt phụ thuộc vào góc lệch β nó cũng như con quay có trọng tâm thấp sẽ dao ñộng không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến.

Quỹ ñạo của ñầu nút trục chính con quay trên mặt phẳng là một hình elíp dẹt.

Chương 2. Lý thuyết về con quay chuyển ñộng trên nền cố ñịnh

2.1. Khảo sát chuyển ñộng của la bàn con quay có bình thuỷ ngân thông nhau Trước tiên ñặt sao cho trục chính của la bàn con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc α và chênh một góc β.

Hq có chiều sao cho H tới q theo chiều ngược chiều kim ñồng hồ với góc bé nhất.

Mô men r hướng về âm và q hướng âm vì thành phần gây mô men ở ñây xét là thành phần do sự quay của quả ñất làm cho sinh cột dầu dư ñể có ñược góc tiến ñộng.

Thành phần:

ωz = ω1 cosα cos(90⁰ - β) = ω1 cosα sinβ ωY = ω1 sinα

α^& là vận tốc góc con quay, quay quanh trục Z

β^& là vận tốc góc con quay, quay quanh trục Y

Với trục Z: - H(β^& - cosϕ sinα) = 0

Trong kỹ thuật người ta thường bỏ qua giá trị a mà vẫn ñảm bảo ñược kỹ thuật vì cosϕ, cosα, cosβ ñều nhỏ hơn 1.

Với góc lệch α và β bé thì ta có:

Sin α≈α Sinβ≈β Cosα≈ 1 Cosβ≈ 1

Hình vẽ 2-1

www.hanghaikythuat.tk

(2.1a, 2.1b) là hệ phương trình vi phân chuyển ñộng của con quay có bình thuỷ ngân thông nhau.

Lấy phương trình (2.1.a) vi phân lần nữa ta có:

H

α & & + C β &

(theo góc) ta có

β = α (− )

C

H

suy ra

β & α & &

C

− H

=

ðưa

β &

vào (1.b) ta sẽ có:

-H (

− α & & −

C

H

ωñcosϕ.α) = 0

Hay

α & & +

C

H 2 Hωñcosϕ.α = 0 (2.2)

Trong phương trình biểu thị dao ñộng của con lắc vật lý ta có:

α & &

I

^{+ mgl}α = 0 (2.3)

Trong ñó:

m:khối lượng con lắc.

l: chiều dài cánh tay ñòn.

g: gia tốc trọng trường

I: Mô men quán tính ñối với trục lắc.

So sánh (2.2) với (2.3) ta thấy:

C

H

²tương ứng với I gọi là mô men quán tính ñộng.

Hωñcosϕ ứng với mgl (là mô men quán tính hồi của con lắc) gọi là mô men ñịnh hướng của con quay.

Trường hợp ñã ñịnh hướng với một góc α nào ñó thì: Hωñcosϕα

Bây giờ ta ñi tìm nghiệm riêng của phương trình (2.2) nó ñặc trưng cho vị trí cân bằng ñộng của trục chính con quay.

ở vị trí cân bằng ñộng thì α^& và _α^&& = 0, α = αr do ñó αr = 0 là nghiệm của phương trình tại vị trí cân bằng ñộng. Vậy trục chính của con quay ở vị trí cân bằng ñộng nằm trong mặt phẳng kinh tuyến.

Ta có thể viết (2.2) dưới dạng khác:

0 . cos

2

=

+ ϕα

α ^H

ω

^d

C

H

_&&

. 0 cos .

. .

.

cos

₂

2

= + = +

0

=

+ ϕ α α ϕ α α α

α & &

ω

& &

ω

& &

ω

H C H C

H

d d

H

Trong ñó:

H C

ωd

ϕ

ω₂

cos

0

=

Giải phương trình trên theo phương pháp ơle ta sẽ có nghiệm:

α =C₁cosω0t+ C₂sinω0t (2.4) Với ñiều kiện ban ñầu:

t = 0, sinω0t = 0 cosω0t = 1

=0

α^& tại t = 0

α = α0 thay vào (4) ta có:

α0 = C₁ + 0 ⇒ C₁ = α0

α0 là góc lệch ban ñầu của con quay.

Lấy vi phân (4) theo thời gian ta có:

α^& = - C₁ω0sinω0t + C₂ω0cosω0t

Thay ñiều kiện ban ñầu ta sẽ có:

0 = 0 + C₂ω0 suy ra C₂ = 0 Vậy nghiệm của phương trình là:

α = α0cosω0t (2.5)

(5) là phương trình biểu thị quy luật chuyển ñộng của con quaycó bình thuỷ ngân thông nhau trong mặt phẳng phương vị.

Kết quả ta thấy con quay sẽ hoàn thành dao ñộng không tắt trong mặt phẳng phương vị với chu kỳ.

T₀ = 2

ω

^dcosϕ C

Π H ; (T₀ = 2

ϕ ω . cos .

_d

H

Π I

⁾

Nếu so sánh chu kỳ dao ñộng không tắt của la bàn con quay có bình thuỷ ngân thông nhau với chu kỳ dao ñộng của con quay (thí nghiệm 1 của Fucô) thì T0 Fucô nhỏ hơn.

Xét trục chính của con quay trong chuyển ñộng theo chiều cao.

Ta gọi vị trí cân bằng ñộng của trục chính con quay theo chiều cao là βr Từ phương trình (1.a)

H(α - ωñsinϕ) + Cβ = 0 (2.6) Tại vị trí cân bằng ñộng thì α = 0 thay vào (6) ta có:

www.hanghaikythuat.tk

Như vậy tại vị trí cân bằng ñộng thì trục chính con quay nằm trong mặt phẳng kinh tuyến và chênh một góc βr =

C H

ωd

sin ϕ

; Như vậy có một cột thuỷ ngân dư có trọng khối P_m nào ñó tạo thành mô men trọng lực là Cβr. Thành phần mô men này làm cho trục chính con quay tiến ñộng với một vận tốc góc:

H r C

t

β

ω

=

Tại vị trí cân bằng ñộng thì α^& = 0 nghĩa là vận tốc góc riêng của con quay ñối với mặt phẳng kinh tuyến do ñó ωt = ω2 = ωñsinϕ. ðiều này có nghĩa là trục chính con quay ở vị trí cân bằng ñộng sẽ tiến ñộng với vận tốc góc bằng vận tốc góc của kinh tuyến con quay quanh trục thẳng ñứng.

Như vậy trục chính con quay sẽ nằm trong mặt phẳng kinh tuyến.

Từ (1.a) ta có:

H (α^&-ωñsinϕ) + Cβ = 0

hay H_α^& + Cβ = H ωñ sinϕ Từ (2.7) ta sẽ có:

H_α^& + Cβ = Cβr (8)

(βr là góc trương ñộng ở vị trí cân bằng ñộng).

Lấy vi phân (2.5) theo thời gian ta có:

α^& = - α0ω0sinω0t (2.9)

Thay (9) vào (8) ta có:

-Hα0ω0sinω0t ± C.β = C.βr Suy ra β - βr = t

C

H

ω α ω

0 0

0 sin (2.10) Tóm lại ta có:

(2.10) là phương trình biểu thị trục chính của con quay chuyển ñộng trong mặt phẳng kinh tuyến theo chiều thẳng ñứng.

(2.5) là phương trình biểu thị trục chính con quay chuyển ñộng trong mặt phẳng nằm ngang.

Nếu tiếp tục phân tích chuyển ñộng của trục chính con quay sẽ rút ra những kết luận sau:

1. Chuyển ñộng của la bàn con quay có bình thuỷ ngân thông nhau theo các toạ ñộ α và β là dao ñộng ñiều hoà ở vị trí cân bằng ñộng thì toạ ñộ của nó ñược xác ñịnh:

αr = 0 βr =

C H

ω

_d^sinϕ

2. Cả hai chuyển ñộng ñiều hoà ñó ñều có chu kỳ là:

T₀ = 2

ω

^dcosϕ C

Π H nhưng lệch pha nhau 90⁰

3. Phương trình quỹ ựạo của ựầu nút trục chắnh con quay là:

Muốn tìm quỹ ựạo của nó ta khử t trong biểu thức (2.5) và (2.10).

Từ (2.5) ta có:

α

α

0

= cosω0t (2.11)

Từ (10) ta có:

( )

H t

C

r

ω

α ω

β β

0 0

0

= sin

−

(2.12)

Bình phương hai vế của (2.11) và (2.12) ta có:

d

t

α ω

α₂ cos²

0

2

=

(2.13)

( )

α ω β β

20 20 2

2 2

H r C

− = sin²ω0t (2.14)

Cộng (13) với (14) ta có:

α

+

α

2 0

2

( )

α ω β β

20 20 2

2 2

H r C

− =1 (2.15)

Biểu thức (15) cho ta thấy quỹ ựạo chuyển ựộng của trục chắnh con quay là một ựường elắp có toạ ựộ O, βr và bán kắnh trục lớn là:

α α

2 0 2

và bán kắnh trục nhỏ là:

( )

α ω β β

2 0 2 0 2

2 2

H r C

−

đó là một hình elắp dẹt mà mắt thường chúng không nhìn thấy ựược.

2.2. Bộ phận tạo dao ựộng tắt dần của la bàn con quay 2.2.1 đối với la bàn có trọng tâm thấp.

www.hanghaikythuat.tk

Trên ñầu của con quay người ta gắn 2 bình dầu thông nhau. Một bình N và một bình S. Khi bình dầu nghiêng ñi một góc nào ñó thì sẽ gây ra một lượng dầu làm cho chu kỳ dao ñộng của con quay tắt dần.

Như vậy người ta cấu tạo 2 bình và thiết diện ống thông nhau sao cho dao ñộng của dầu trong bình với dao ñộng của bình lệch nhau 1/ 4 chu kỳ. Khi ñó nếu bình nghiêng ñi 1/ 4 chu kỳ thì khối lượng dầu ở trong bình vẫn bằng nhau. Khi bình trở lại vị trí ban ñầu thì khối lượng dầu dư ñạt cực ñại. Nghĩa là sự dao ñộng của dầu trong bình lệch 1/ 4 chu kỳ so với sự lắc của con quay.

Khi con quay trở về vị trí ban ñầu thì dầu mới chảy từ bình này sang bình khác ñạt cực ñại.

Lượng dầu dư P1 sẽ gây ra mô men Ly1 gây ra tiến ñộng t H

C

^β

ω

1 ¹

= Còn P gây tiến ñộng

t H

ω

1⁼ β

(β ñối với con quay có trọng tâm thấp).

P₁ sẽ gây tiến ñộng phụ còn P sẽ gây tiến ñộng chính.

Hai thành phần P1 và P gây tiến ñộng có khi cùng chiều nhau và có khi ngược chiều nhau.

Do ñó dao ñộng của trục chính con quay sẽ không phải là hình elíp nữa mà sẽ là dao ñộng tắt dần theo ñường xoắn ốc và cuối cùng sẽ ổn ñịnh ở mặt phẳng kinh tuyến.

Trong các góc 1/4 thứ 1 và thứ 3 thì dao ñộng ngược chiều có lợi và trong 1/4 còn lại dao ñộng cùng chiều sẽ có lợi.

Ta thấy phương pháp này ñược ứng dụng trong la bàn 2 con quay như Kype 4, RFT (ðức), AMYP (Nga), Hukushin (Nhật).

Hình vẽ 2-2

2.2.2 ðối với la bàn có bình thuỷ ngân thông nhau.

ðể biến con quay thành dụng cụ chỉ hướng thì phải triệt tiêu dao ñộng không tắt. Người ta dùng hai phương pháp:

a. Gắn lệch bình thuỷ ngân ñi một góc ε.

Góc ε thường = 1,5⁰÷ 2⁰ và gắn lệch sang W, và người ta chia hai bình thành 4 bình thông nhau.

Khi trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng chân trời một góc β thì sẽ sinh ra một cột thuỷ ngân dư sinh ra Ly và gây lên mô men Lz (Do gắn lệch mô men Ly = D.sinε.β ; Lz = D.cosε.β), ε bé do ñó:

Ly = D.β .ε Lz = D.β

D là mô men trọng khối do khối lượng chất lỏng dư gây ra.

Thành phần Ly làm cho con quay tiến ñộng quanh Z còn Lz làm cho con quay tiến ñộng quanh Y. Lz làm cho góc β nhỏ ñi, dẫn tới ωt nhỏ ñi do ñó dao ñộng này sẽ tắt dần.

Phương pháp này dùng trong GK (Nga) và Spery (Mỹ).

b. Gắn bình thuỷ ngân vào vòng ñứng gắn một vật nặng về phía W.

Giả sử ñầu N của trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng chân trời một góc là β, thì P phân làm 2 thành phần, một thành phần song song với X

( P x) gây mô men với trục Z là Lz và gây mô men với trục Y là Ly. Thành phần song song với trục Z (Pz) gây mô men với trục X không làm tiến ñộng cho con quay bỏ qua không xét thành phần này.

Hình vẽ 2-3

www.hanghaikythuat.tk Ta có mô men trên các trục:

ðộ lớn: Lz = P. a. sinβ

Lx = P. a. cosβ (không xét) Ly = P. a₁. sinβ

a là khoảng cách từ trục Z ñến trọng tâm của vật nặng phía W a₁ là khoảng cách từ trọng tâm vật nặng ñến trục Y

Trong phạm vi góc β bé sinβ≈β.

ðặt P.a = D , P. a1 = D₁ gọi là mô men trọng khối của vật nặng phía Tây

Thành phần Lz kết hợp ñưa trục chính con quay về mặt phẳng chân trời, thành phần Ly cùng với mô men tiến ñộng chính do khối lượng thuỷ ngân dư tạo ra ñưa trục chính con quay về mặt phẳng kinh tuyến N, S của trái ñất.

Như vậy trục con quay ñồng thời tham gia hai tiến ñộng : tiến ñộng về mặt phẳng chân trời và tiến ñộng về mặt phẳng kinh tuyến NS theo một quy luật xoắn trôn ốc tắt dần.

Phương pháp này thường ñược áp dụng trong la bàn con quay MRK của Nga, Tokyo Keiky của Nhật.

2.3. Khảo sát dao ñộng tắt dần của la bàn con quay có bình thuỷ ngân thông nhau ñặt trên nền cố ñịnh

Bây giờ ta thành lập phương trình vi phân chuyển ñộng tắt dần của con quay có bộ phận tạo dao ñộng. Từ một hệ phương trình với chuyển ñộng không tắt của con quay ta cộng thêm một mô men Lz vào trường hợp ñầu N của trục chính con quay lệch khỏi chân trời một góc β ñi lên và mô men trên trục Y . Ta có hệ phương trình sau:

Hình vẽ 2-4

( α −

ω

sin ϕ ) + C β = 0

H &

_d với Ly = Cβ. (2.16 a)

-

H ( β & −

^ωd

cos α ) − D β = 0

với Lz = Dβ (2.16 b)

Xét với con quay có trọng tâm thấp ta cũng có phương trình tương tự.

Nếu ta thay (16 a) và (17 b) H = (- H) ; - Cβ = +Cβ ; - Dβ = Dβ Giải hệ phương trình (16 a, 16 b)

Từ (16 a) ta có:

β α

ω_d

sin ϕ C

H C

H +

−

= &

_(2.17)

ðạo hàm (17) theo α và β ta có:

α

β & & &

C

− H

=

(2.18) thay (18) vào (16 b) ta sẽ có:

- H

cos cos  = 0



 



 − −

−

 

 



 − α −

ωd

ϕ α

ωd

ϕ

C H C

D H C

H & & &

Hay

cos . sin 0

2

α +

ωd

ϕ α + α −

ωd

ϕ =

H

C DH C

H DH C

&

&

&

_(2.19)

Tìm nghiệm riêng của phương trình (19) bằng cách thay ñiều kiện ñầu vào phương trình.

Ta có tại vị trí cân bằng ñộng thì

α & = α & & = 0

Thay

α &

^và

α & &

vào (19) ta có:

ϕ α

ϕ

ω

ω_d

cos .

_d

sin C

H = DH

Tại vị trí cân bằng ñộng α = αr ta sẽ có:

α

tg ϕ C D

r

=

(ðơn vị: Radian) (2.20)

Công thức (20) cho ta vị trí cân bằng ñộng của con quay trong mặt phẳng phương vị. Vậy tại vị trí cân bằng ñộng trục chính con quay không nằm trong mặt phẳng kinh tuyến mà lệch sang ñông một góc αr nếu trục chính chênh lên phía trên ở ñầu N. Tại phía S thì ngược lại.

Ta gọi sai số tắt dần của con quay là αr ñược ký hiệu là;

www.hanghaikythuat.tk

Muốn khử sai số ñó ta dịch chuyển trọng tâm của con quay về phía S của trục chính con quay sao cho mô men trọng lượng con quay sẽ tạo nên tiến ñộng trong mặt phẳng phương vị với tốc ñộ góc bằng ωñsinϕ có hướng từ E ñến W.

Khi ñó phương trình (2.16 a, 2.16 b) có dạng:

( ) α + C β = 0

H &

(a)

-

H β & + H

ω_d

cos ϕ . α − D β = 0

_(b)

Từ (a) ta có:

β α &

C

− H

=

(c)

Từ (c) ta có:

β & α & &

C

− H

=

(d) Thay (c), (d) vào (b) ta có:

0 cos

2

α & & +

ω

ϕα + α & =

C H DH

C

^d

H (e)

Tại vị trí cân bằng ñộng

α & = α & & = 0

^{; α = αr.}

β = βr. Thay vào (e) và (c) suy ra αr = 0 và βr = 0 (2.21)

(2.21) là toạ ñộ vị trí cân bằng ñộng của trục chính con quay.

ðể tìm chu kỳ dao ñộng tắt dần của con quay ta ñi tìm nghiệm riêng của phương trình (e) không có vế phải.

0 cos

2

α & & +

ω

ϕα + α & =

C H DH

C

^d

H

Dạng khác:

0

cos + =

+ ϕα α

α & &

^ω

&

H D H

d

C

ðặt

2h ; H

D =

ω

cos ϕ =

ω²₀

H

d

C

(2.22) Khi ñó ta có:

0

2 +

₀

=

+ α α

α & & h &

ω

và nghiệm sẽ là:

(

^{C ej t C e j t}

)

e ht ₁ h² ω²₀^. ₂ h² ω₀^2.

α =

^{− −}

+

^{− −}

Dùng công thức ơle ñể biến ñổi ta có:

α = e^-ht(C₁cosωñt + C₂sinωñt) (2.23)

Với tần số góc tắt dần: ωñ = _ω²₀

−

h²

Vậy nghiệm của phương trình vi phân tổng quát khi có vế phải

α = e^-ht(C₁cosωñt + C₂sinωñt) + αr (*)

= e^-ht(C₁cosωñt + C₂sinωñt) +

tg ϕ C D

Tương tự ta có:

β

⁼

e

^−ht

( C

₁

cos ω

_d

t + C

₂

sin ω

_d

t )

⁺

C H . ω

_d

. sin ϕ

(**) Trong ñó C1 , C₂ , C₃ , C₄ là hằng số tích phân ñược xác ñịnh theo ñiều kiện ñầu.

Tại t = 0 thì

α = α

_o thay vào phương trình (*) ta có :

C

₁

= α

₀ Tại t = + 0 thì

α & = α &

_o

= 0

thay vào phương trình (*)