Lý thuyết và phương pháp giải bài tập phép quay - Lê Bá Bảo

(1)

Lớp Toỏn thầy Lấ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tõm KM10 Hương Trà 0935.785.115 1

(+)

 M'

O M

A B A' B'

O 

(+)

O



d'

d B'

A'

B A

(+)

R = R' R'

R I'

I

O 

ABC = A'B'C'

 C' B'

A'

C

B

A

(+)

O

Chủ đề 2: PHẫP QUAY

I- Lí THUYẾT:

1. Định nghĩa: Cho điểm O và gúc lượng giỏc  .

Phộp biến hỡnh biến O thành chớnh nú, biến mỗi điểm M khỏc O thành điểm M’ sao cho OM  OM ' và gúc lượng giỏc  OM OM ; '    .

Ký hiệu: Q

__O;__

2. Nhận xột:

 

a) Phép quay tâm O góc quay 2 , là phép đồng nhất.

b) Phép quay tâm O góc quay 2 1 , là phép đối xứng tâm O.



 

  

a k k

3. Tớnh chất:

Tớnh chất 1:

 

;

'

, : ' '

'

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ Phép dời hình



 

    

 



O

Q A A

A B A B AB

Q B B

Tớnh chất 2: Phộp quay:

1. Bảo toàn tớnh thẳng hàng và thứ tự của cỏc điểm tương ứng.

2. Biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nú.

3. Biến đường thẳng thành đường thẳng.

4. Biến tam giỏc thành tam giỏc bằng nú.( trực tõm   trực tõm, trọng tõm   trọng tõm). Gúc thành gúc bằng nú.

5. Biến đường trũn thành đường trũn cú cựng bỏn kớnh ( ' '

I I

R R

  

 

 ).

4. Một số kết quả và dấu hiệu sử dụng phộp quay để giải toỏn

 

0

90

60

;

( ) a. ABC cân tại A: ( ) . Đặc biệt: ABC vuông cân tại A:

( ) ( )

b. Chứng minh ABC đều:

( )

c. Chứng minh ABCD với O là gđiểm 2 đường chéo là hình vu





 

      

 



 

  

 



A A

A

B

Q B C

Q C A

 

0

45

;

( )

ông:

( )

 

    

O

Q A B

Q B C

(2)

* MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý:

1) Ảnh của điểm qua phép quay Q 

^O^;90⁰

 , Q 

^O^{; 90}^ ⁰

 :

Điểm M x 

M

; y

M

 :

 

0

;90

; 90

( ) '( '; ') : ' ' ( ) '( '; ') : '

'

M O

M

M O

M

x y

Q M M x y

y x

x y

Q M M x y

y x



   

 

  

   

    

 



2) Giả sử phép quay Q

__I_;__

biến đường thẳng d thành d’:

Khi đó:  

 

0

0 0 0

0 90 ; '

90 180 ; ' 180

d d

 

    

     



3) Các phương pháp xác định ảnh của đường thẳng d qua Q

__I_;__

: Phương pháp 1: Chọn 2 điểm bất kì. Đường thẳng ảnh đi qua 2 ảnh tương ứng.

 

   

;

( ) '

, : ( ) ' ' '

( ) '

^I _I

I

Q A A

A B d Q d d A B

Q B B



 

      

Phương pháp 2: Chọn 1 điểm A thuộc đường thẳng. Xác định ảnh A’.

Đường thẳng ảnh d’ đi qua A’ và hợp với d một góc  . Phương pháp 3:

Gồm 2 bước:

Bước 1: Chọn H  d với IH  d . Xác định Q

_{ }_I_;_

( H )  H ' . Bước 2: Đường thẳng d’ cần tìm đi qua H’ và vuông góc với IH’.

II- LUYỆN TẬP :

Bài tập 1: Cho điểm M (1;2), :     x y 1 0, (C): x

²

 y

²

 2 x  4 y   1 0 . Xác định tọa độ điểm A’,

/ /

, ( C )

 lần lượt là ảnh của M,  , (C) qua:

a) Phép quay tâm O, góc quay   90

⁰

. b) Phép quay tâm O, góc quay    90

⁰

.

Gợi ý:

a) Ta có: Q 

^O^;90⁰

 ( M )  M

^/

( 2;1)  . Dễ thấy :

Qua phép quay Q 

^O^;90⁰

 , hình chữ nhật OAMB có ảnh Là hình chữ nhật OA’M’B’.

Ta có:  

   

0

0 0

/

;90 /

;90

( ) (0;1)

( ) ( 2;1) ( ) ( 2;0)

 

   

  



O

O O

Q A A

Q M M

Q B B

* Kỷ năng xác định ảnh của đường thẳng qua phép quay tâm O, góc quay   90

⁰

.

Phương pháp 1: Chọn 2 điểm bất kì trên



, xác định ảnh tương ứng. Đường thẳng 

^/

cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh.

Chọn M (1; 2), B (0;1)  



d' d

H' H

I

-2

1 2

1 x

y

A'

B' M'

B M

O A

(3)

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 3

Ta có:  

 

0

/ /

;90 / / /

/ /

;90

( ) ( 2;1)

( ) ( 1;0)

O

Q M M

Q N N M N

    

   

    

 .

Đường thẳng 

^/

đi qua điểm M '( 2;1)  và có 1 vtcp M N ' '  (1; 1) 

Vậy

^/

: 2  

1

x t

y t t

  

      

Phương pháp 2: Sử dụng mối quan hệ về góc giữa d và d’

Gọi 

^/

là ảnh của đường thẳng



qua Q 

^O^;90⁰

 . Suy ra:     

^/ ^/

: x    y m 0 Chọn M (1; 2)    Q 

^O^;90⁰

 ( M )  M

^/

( 2;1)   

^/

Ta có: 2 1      m 0 m  1 . Vậy 

^/

: x    y 1 0

Phương pháp 3: Sử dụng quỹ tích:     M Q 

^O^;90⁰

 ( M )  M '   ' Gọi M x y ( ; ) Q 

^O^;90⁰

 ( M ) M x y

^/

( '; ') : x y ' ' x y x y y ' x '

  

 

          

Lúc đó: M y  ';  x '         y '   x '       1 0 x ' y ' 1 0 Vậy 

^/

: x    y 1 0

Nhận xét: Trong 3 phương pháp trên,

- Phương pháp 1 tỏ ra hiệu quả cho tất cả các phép biến hình (dù dài dòng).

* Xác định ảnh của đường tròn:

Phương pháp 1: Theo tính chất của phép quay: Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Ta có    ;  (1; 2)

:  2

   

C M R M R



^O^;90⁰

 ( )

^/

( 2;1)

Q M  M  là tâm của đường tròn ảnh   C

^/

.

Vậy đường tròn   C

^/

:  x  2  

²

 y  1 

²

 4

Phương pháp 2: Sử dụng quỹ tích.

Gọi   

0



/

;90

' '

( ; ) ( ) ( '; ') :

' '

O

x y x y

M x y C Q M M x y

y x y x

  

 

          

Lúc đó: M y  ';  x '         C  y '

²

  x '

²

 2     y '   4 x '   1 0

 ( ') x

²

 ( ') y

²

 4 ' 2 ' 1 x  y   0 Vậy   C

^/

: x

²

 y

²

 4 x  2 y   1 0

Hoàn toàn tương tự, giải quyết yêu cầu b.

PHẦN KIẾN THỨC ĐỌC THÊM:

CÔNG THỨC TỌA ĐỘ VỚI PHÉP QUAY VỚI TÂM VÀ GÓC QUAY BẤT KÌ

Đặt vấn đề:

Trong Hình học 10, Đai số 10 và 11, lý thuyết về lượng giác một cách cơ bản thì chúng ta đã

thừa nhận:

(4)

Với mỗi góc lượng giác  bất kì.

 Xác định trên (C) điểm M sao cho: xOM  

 Lúc đó: M x 

M

; y

M

 , ta thừa nhận:

sin ; ; ;

_M

cos

_M

tan =

^M

cot =

^M

M M

y x

x y

     

Hay: M  cos  ;sin   (*)

Sở dĩ có cách biễu diễn (*) vì đường tròn lượng giác có bán kính

R1

.

Và thực chất đây là cách biểu diễn đơn giản nhất đối với hệ tọa độ cực gốc O, có góc và bán kính R

bất kì.

TỔNG QUÁT: Đối với hệ tọa độ cực: gốc O có góc  và bán kính R bất kì.

Điểm M với góc lượng giác xOM   , thì ta có: M R  cos  ; sin R  

Bài tập 2: Cho điểm M (1;2), :     x y 1 0, (C): x

²

 y

²

 2 x  4 y   1 0 . Xác định tọa độ điểm M’,

/ /

, ( C )

 lần lượt là ảnh của M,  , (C) qua phép quay tâm O, góc quay 

k2

 .

Gợi ý:

Giả sử góc lượng giác  Ox OM ;   

0

. Khi đó, góc lượng giác  Ox OM ;

^/

   

⁰



Vậy điểm M  5cos 

⁰

; 5 sin 

⁰



Do đó:

0 0

1

1 5

sin 2 sin 2

5 5cos cos

5

 

 

  

  

 

  

 



và điểm M

^/

 5cos(  0 ); 5 sin(  0 ) 

nên:  

 

0 0 0

) . sin .sin 2sin

sin( ) sin . .sin 2 sin

5cos( 5 cos cos cos

5 5 cos cos cos

       

     

 

    



Vậy điểm M

^/

 cos   2sin ; 2  cos   sin   (y.c.b.t) Hoàn toàn tương tự như yêu cầu trên, độc giả tự giải quyết.

Bài tập 3: Cho điểm I (1;2), ( 2;3) M  . Xác định tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép quay tâm I, góc quay 

k2

 .

Gợi ý:

* Trước hết ta tìm điểm N sao cho ON  IM :

Giả sử điểm ( ; ) N x y , khi đó: 2 1

( 3;1) 3 2

ON IM x N

y

  

        

* Gọi N’ là ảnh của ( 3;1) N  qua Q

__I_;__

, khi đó do M’ là ảnh của M qua Q

__I_;__

và ON  IM nên

/ /

ON  IM .

* Bây giờ, ta tính tọa độ của điểm N’. Giả sử, góc lượng giác  Ox ON ;   

0

. Khi đó, góc lượng giác

 Ox OM ;

^/

   

⁰

 .

Vậy điểm M  5cos 

⁰

; 5 sin 

⁰



O K

H

x y

M



(5)

Do đú:

0 0

3

3 10

sin 1 sin 1

10 10cos cos

10

 

  

   

  

 

  

 



và điểm N

^/

 10cos(  0 ); 10 sin(  0 ) 

nờn:  

 

0 0 0

) . sin .sin 3 sin

sin( ) sin . .sin 3sin

10cos( 10 cos cos cos

10 10 cos cos cos

       

      

 

    



Suy ra: điểm N

^/

  3cos   sin ;  cos   3sin  

* Giả sử: M

^/

( '; ') x y thỡ IM

^/

 ( x  1; y  2)

Do

^/ ^/

1 sin

2 3sin .

3cos os

 

   

        ON IM x

y Do đú: M

^/

 1  3cos   sin ; 2   cos   3sin   (y.c.b.t) Bài tập 4: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d.

Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN đều. 

Gợi ý: Biểu diễn điểm N theo M thụng qua phộp quay

60

⁰

Do tam giỏc OMN đều nờn tồn tại hai phộp quay:

 

0

;60

; 60

( ) ( )

O

Q M N

Q

_

M N

 

  



Do M thuộc đường thẳng d nờn N thuộc vào

đường thẳng d’, d’’ lần lượt là ảnh của d qua Q 

^O^;60⁰

 và Q 

^O^{; 60}^ ⁰

 . Vậy quỹ tớch cần tỡm là 2 đường thẳng d’ và d’’.

Tương tự:

Bài tập 5: Cho đtròn (C) và điểm O cố định không thuộc (C), M là điểm di động trên (C).

Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN vuông cân tại O. 

Gợi ý: Biểu diễn điểm N theo M thụng qua phộp quay

90

⁰

Bài tập 6: Cho 2 tam giỏc vuụng cõn ABC và ADE (như hỡnh vẽ). Gọi G và G’ lần lượt là trọng tõm cỏc tam giỏc ABD và ACE. Chứng minh tam giỏc AGG’ vuụng cõn.

Gợi ý: Xõy dựng phộp quay tõm A gúc quay

90

⁰

biến G thành G’.

Xột phộp quay: Q 

^A^;90⁰

 cú :  

 

0

;90

( ) ( )

A

Q B C

Q D E

 

  



Suy ra: Q 

^A^;90⁰

 (  ABD )   ACE . Do G và G’ lần lượt là trọng tõm cỏc tam giỏc ABD và ACE nờn theo tớnh chất của phộp quay: 

^;90⁰



⁰

'

( ) '

' 90

A

AG AG

Q G G

GAG

 

  

  Vậy tam giỏc AGG’ vuụng cõn. (đ.p.c.m)

d'' d d'

N N

O

M

60⁰ 60⁰

A B

C

D

E

G'

G E

D C

A B

(6)

Bài tập 7: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng. Vẽ cùng một phía hai tam giác

đều ABE, BCF. Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm của AF và CE. Chứng minh rằng:

BMN là tam giác đều.

Gợi ý: Xõy dựng phộp quay tõm B gúc quay

60

⁰

biến N thành M.

^B^;60⁰

 cú :  

 

0

;60

( ) ( )

B

Q C F

Q E A

 

  



Suy ra: Q 

^B^;60⁰

 ( CE )  FA .

Do N và M lần lượt là trung điểm cỏc cạnh CE và AF nờn theo tớnh chất của phộp quay: 

^B^;60⁰

 ( ) 60

⁰

BN BM

Q N M

MBN

 

  

  Vậy tam giỏc BMN đều. (đ.p.c.m)

Bài tập 8: Cho tam giỏc ABC. Dựng về phớa ngoài tam giỏc cỏc hỡnh vuụng BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tõm của của chỳng.

a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:  DOP vuụng cõn tại D.

b) Chứng minh rằng: AO  PQ và AO=PQ.

Gợi ý: Xõy dựng phộp quay tõm D gúc quay

90

⁰

biến O thành P, hoặc sử dụng mối quan hệ hỡnh học liờn quan.

a) Xột phộp quay Q 

^C^;90⁰



 

   

0

0 0

;90

( )

C

C C

Q M A

Q MB MI

Q B I

 

  

 

 MB AI (1)

MB AI

 

   

Dễ thấy, DP là đường trung bỡnh của cỏc tamgiỏc ABM nờn:

1 2 //

DP BM DP BM

 

 

 (2)

Tương tự, DO là đường trung bỡnh của tam giỏc ABI nờn:

1 2 //

DO AI DO AI

 

 

 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: DO DP DO DP

 

 

 hay  DOP vuụng cõn tại D. (đ.p.c.m) b) Theo cõu a,  DOP vuụng cõn tại D nờn Q 

^D^;90⁰

 ( ) O  P (*)

Mặt khỏc: Q 

^D^;90⁰

 ( ) A  Q (**)

Từ (*) và (**) suy ra: Q 

^D^;90⁰

 ( AO )  QP     AO AO   QP QP (đ.p.c.m)

M N

F E

A B C

D Q

P

O

J I

B A

C F

N

M

E

(7)

Bài tập 9: Cho tứ giác lồi ABCD. Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác đều ABM, CDP.

Về phía trong tứ giác dựng hai tam giác đều BCN và ADK.CMR: MNPK là hình bình hành.

Gợi ý:

Xột phộp quay Q 

^B^;60⁰

 :  

 

0

;60

( ) ( )

B

Q M A

Q N C

 

  





^;60⁰

 ( ) (1) Q

B

MN AC MN AC

   

Xột phộp quay Q 

^D^;60⁰

 :  

 

0

;60

( ) ( )

D

Q K A

Q P C

 

  





^;60⁰

 ( ) (2) Q

D

KP AC KP AC

   

Từ (1) và (2) suy ra:

MN KP

(*) Tương tự, chứng minh được

MK PN

(**) Từ (*) và (**) suy ra: MKNP là hỡnh bỡnh hành (đ.p.c.m)

Bài tập 10: Cho 2 hỡnh vuụng ABCD và BEFG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AG và CE.

Chứng minh rằng: Tam giỏc BMN vuụng cõn.

Gợi ý: Xõy dựng phộp quay tõm B gúc quay

90

⁰

biến N thành M.

^B^;90⁰

 cú :  

 

0

;90

( ) ( )

B

Q C A

Q E G

 

  



Suy ra: Q 

^B^;90⁰

 ( CE )  AG .

Do N và M lần lượt là trung điểm cỏc cạnh CE và AG nờn theo tớnh chất của phộp quay:



^B^;90⁰

 ( ) 90

⁰

BN BM

Q N M

MBN

 

  

 

Vậy tam giỏc MBN vuụng cõn. (đ.p.c.m)

Bài tập 11: Về phía ngoài tam giác ABC, dựng ba tam giác đều BCA , ACB , ABC .

₁ ₁ ₁

1 1 1

Chứng minh rằng: AA , BB , CC đồng quy.

Gợi ý: Sử dụng tớnh chất phộp quay: Bảo toàn tớnh thẳng hàng và thứ tự của 3 điểm bất kỡ.

Giả sử: AA

₁

 CC

₁

 I . Cần chỉ rừ: I  BB

₁

hay , , B I B

₁

thẳng hàng.

Thật vậy, xột phộp quay Q 

^B^;60⁰

 :  

 

0

;60 1

( ) ( )

B

Q A C

 

  



 

1 1 0

0 1

1 1

60

; 60

AA CC

AIC AA CC

 

   

  (1)

Lấy trờn IC

₁

điểm E sao cho:

AI  EI

(2) Từ (1) và (2) suy ra:

AEI

là tam giỏc đều.

K

N M

P

D A

B C

M N

G

F E

D

B C

A

E I

B1

C₁

A₁ A

B C

(8)

Lỳc đú, xột phộp quay Q 

^A^;60⁰

 :

 

0

;60

;60 1

( ) ( ) ( )

A

Q E I

Q C B

 

  

 

 



Do E C C , ,

₁

thẳng hàng nờn theo tớnh chất của phộp quay: I B B , ,

₁

thẳng hàng. Điều này chứng tỏ

1 1 1

AA , BB , CC đồng quy. (đ.p.c.m)

Bài tập 12: Cho tam giỏc ABC. Trờn cỏc cạnh AB và BC, về phớa ngoài tam giỏc, dựng 2 hỡnh vuụng ABMN và BCPQ. Chứng minh rằng: Cỏc tõm của hỡnh vuụng này cựng với 2 trung điểm của MQ, AC tạo thành 1 hỡnh vuụng.

Gợi ý:

Gọi O

₁

và O

₃

lần lượt là tõm 2 hỡnh vuụng ABMN và BCPQ, cũn O

₂

và O

₄

lần lượt là trung điểm của AC , MQ.

Xột phộp quay Q 

^B^;90⁰

 :  

   

0

0 0

;90

( )

B

B B

Q M A

MC AQ

Q MC AQ

Q C Q MC AQ

   

   

    

 (1)

Dễ thấy: O O

₁ ₂

, O O O O

₂ ₃

,

₃ ₄

, O O

₄ ₁

lần lượt là đường trung bỡnh của cỏc tam giỏc MAC, ACQ, MCQ, MAQ.

Suy ra:

1 2

//

1 2 O O MC O O MC

 

 

 (2) và

2 3

//

1 2 O O AQ O O AQ

 

 

 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

¹ ² ² ³

1 2 2 3

(*) O O O O O O O O

 

 

 Tương tự, do

3 4

//

1 2 O O MC O O MC

 

 

 (4) và

4 1

//

1 2 O O AQ O O AQ

 

 

 (5)

Từ (1), (4) và (5) suy ra:

³ ⁴ ⁴ ¹

3 4 4 1

(**) O O O O O O O O

 

 



Từ (*), (**) suy ra: O O O O

₁ ₂ ₃ ₄

là hỡnh vuụng. (đ.p.c.m)

Bài tập 13: Cho điểm A và 2 đường trũn (C), (C’) phõn biệt. Dựng theo chiều dương tam giỏc đều ABC, biết đỉnh B, C lần lượt nằm trờn (C) và (C’).

Gợi ý:

Phõn tớch: Do tam giỏc ABC đều nờn:

 ;  60

⁰



^A^;60⁰

 ( )

AB AC

Q B C

AB AC

    

 



Cỏch dựng:

- Dựng đường trũn (C’’) là ảnh của (C) qua Q 

^A^;60⁰

 . - Xỏc định giao điểm C  ( ') C  ( '') C .

- Thực hiện phộp quay Q 

^A^{; 60}^ ⁰

 ( ) C  B

O4

O₃

O₂ O1

N

M

Q

P B

A C

O'

O

(C'') (C')

(C) C'

B'

C B

A

(9)

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 9

Biện luận: Nghiệm bài toán tùy thuộc số giao điểm của (C’’) và (C’).

Bài tập 14: Cho 2 đường thẳng a, b song song và một điểm G không nằm trên chúng. Xác định tam giác đều ABC có A  a B ,  b và G là trọng tâm tam giác ABC.

Gợi ý:

Phân tích: Giả sử đã dựng được  ABC thỏa đk.

Ta có:

120

0

GA GB GC AGB BGC CGA

 

 

  



Suy ra:  Q 

^G^;120⁰

 ( ) A  B Cách dựng:

- Dựng a’ là ảnh của a qua Q 

^G^;120⁰

 . - Xác định

B a' b

.

- Các đỉnh A, C là ảnh của B qua Q 

^G^;120⁰

 , Q 

^G^{; 120}^ ⁰

 Biện luận: Bài toán luôn có 1 nghiệm hình.

Bài tập 15: Cho tam giác ABC và vẽ phía ngoài hai hình vuông ABMN, ACPQ.

a) Chứng minh : BQ  CN và BQ  CN .

b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hình vuông ABMN, ACPQ. Chứng minh rằng: Tam giác OIO’ vuông cân.

Gợi ý:

a) Xét phép quay Q 

^A^{; 90}^ ⁰

 :  

 

0

; 90

( ) ( )

A

Q B N

Q Q C



 

  





^A^{; 90}⁰

 ( ) BQ NC

Q BQ NC

BQ NC



 

      (đ.p.c.m)

b) Ta có: OI và O’I lần lượt là đường trung bình của các tam giác BNC và BCQ nên suy ra:

//

(1) 1

2 OI NC OI NC

 

 

 và

' //

(2) ' 1

2 O I BQ O I BQ

 

 



Theo câu a, và từ (1), (2) suy ra: ' ' OI O I OI O I

 

 

 . Vậy tam giác OIO’ vuông cân. (đ.p.c.m)

Bài tập 16: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Từ điểm I cố định kẻ cát tuyến di động IMN với (O), MB và NB cắt (O’) tại M’, N’.

Chứng minh rằng: Đường thẳng M’N’ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Gợi ý: Gọi

 AO AO ; '    .

Xét phép quay Q

__A_;__

:

^ ^; ^ _ ; _

 

( ) '

( ) ( ') '

A

Q O O

R R



   

 



Vì MM’ và NN’ qua B nên:

 AO AO ; '    AM AM ; '    AN AN ; ' 

a'

b a

G 120⁰

C A

B

I C

A

B

P M Q

N

O

O'

I'

I

 N' M'

O' A

B M

N

O

(10)

Lỳc đú:

^ ^

   

;

( ) '

( ) ' '

( ) '

A

A A

Q M M

Q MN M N

Q N N



   

 



Do MN đi qua điểm I cố định nờn M’N’ đi qua điểm cố định I’ là ảnh của I qua Q

__A_;__

.

Bài tập 17: Chứng minh rằng: Cỏc đoạn thẳng nối tõm cỏc hỡnh vuụng dựng trờn cỏc cạnh của một hỡnh bỡnh hành về phớa ngoài, hợp thành một hỡnh vuụng.

Gợi ý:

Gọi I

₁

, , , I

₂

I

₃

I

₄

lần lượt là tõm của cỏc hỡnh vuụng cạnh AB, BC, CD, DA Xột phộp quay Q 

^I²^;90⁰

 : Q 

^I²^;90⁰

 ( ) B  C (1)

Do  I BA

₁

  I CD

₃

nờn I C

₃

 BI

₁

. (2) Mặt khỏc:

0

3 1

45 //

DCI ABI

I C BI DC AB

  

  

  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

²^;90⁰



¹ ³ ^{1 2} ^{2 3}

1 2 2 3

I

( )

I I I I

Q I I

I I I I

 

  

 

Lý luận tương tự ta cú I I

_{1 4}

 I I

_{4 3}

và I I

_{1 4}

 I I

_{4 3}

. Vậy I I I I

_{1 2 3 4}

là hỡnh vuụng. (đ.p.c.m) III- BÀI TẬP TỰ LUẬN - TỰ LUYỆN:

0 0

( ;90 ) ( ;60 )

1) Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của ABC qua các phép quay:

a) a)

2) Cho hình vuông ABCD với O là tâm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm c

A A

Q Q



0 0

(0;90 ) ( ; 90 )

ủa AB, AD. Xác

định ảnh của AMN qua phép quay:

a) a)

Q Q

O_





^;90⁰

 

^{; 90}⁰



3) Trong mặt phẳng cho các điểm (0;3), (-2;0), (1;4). Xác định toạ độ các điểm A',B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua:

a) b) 4) Cho

O O

A B C

Q Q





⁰



2 2

;90 ; 90

đường thẳng : 4 2 0 và đường tròn (C): 4 2 0. Xác định phương trình ', (C') lần lượt là ảnh của và (C) qua phép quay:

a) b)

O O

x y x y x y

Q Q



       

 



⁰



5) Cho nữa đường tròn tâm O và đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường tròn đó.

Dựng về phía ngoài của ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng: E chạy trên nữa đường tròn cố định.

6) Cho đường thẳng d và



điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d. Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN đều.

7) Cho 2 đường tròn (O) và (O') bằng nhau và cắt nhau tại A, B. Từ 1 điểm I cố định kẻ cát tuyến di



động IMN với (O), MB và NB lần lượt cắt (O') tại M', N'. CMR: M'N' luôn đi qua 1 điểm cố định.

I₄

I3 I2

I₁

D B C

A

(11)

8) Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng. Vẽ cùng một phía, dựng hai tam giác

đều ABE, BCF. Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm của AF và CE. Chứng minh rằng:

BMN là tam giác đều.

9) Cho tam giác ABC. Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE và ACF. Gọi M là trung điểm của BC và giả sử AM FE=H. Chứng minh rằng: AH là đường cao của AEF.

10) Cho tứ giác lồi ABCD. Về phía ngoài

 

tứ giác dựng các tam giác đều ABM, CDP. Về phía trong tứ giác dựng hai tam giác đều BCN và ADK. Chứng minh: MNPK là hình bình hành.

11) Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác, dựng ba tam giác đều BC

₁ ₁ ₁

1 1 1

A , ACB , ABC . Chứng minh rằng: AA , BB , CC đồng quy.

12) Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm của chúng.

a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: DOP vuông cân tại D.

b) Chứng minh rằng: AO PQ và AO=PQ.





13) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và BC, về phía ngoài tam giác dựng 2 hình vuông ABMN, BCPQ. Chứng minh rằng: Các tâm của hình vuông này cùng với 2 trung điểm của MQ, AC tạo thành 1 hình vuông.

III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Cõu 1: Cho hai điểm phõn biệt A B, và  là gúc lượng giỏc bất kỡ. Biết Q__O;__

 

A A Q1, __O;__

 

B B1, khẳng định nào sau đõy đỳng?

A. A B₁ ₁AB. B. A B₁ ₁ AB. C. A B₁ ₁AB. D. A B₁ ₁AB.

Cõu 2: Cho tam giỏc đều ^ABC(thứ tự đỉnh theo chiều dương lượng giỏc), khẳng định nào sau đõy sai?

A.

 

;3

.

A

Q_ __ B C

 

 

 B.

 

; 3

.

A

Q_ __ C B

  

 

 C. ₇

 

;3

.

A

Q_ __ C B

 

 

 D. ₇

 

; 3

.

A

Q_ __ C B

  

 



Cõu 3: Gọi hỡnh vuụng ABCD tõm O (cỏc đỉnh theo thứ tự theo chiều ngược chiều kim đồng hồ).

Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A. ^Q_O;90⁰

 

^B ^^A^. ^B.^Q__O;90⁰_

 

^B ^^C^. ^C.^Q__O;90⁰_

 

^B ^^O^. ^D.^Q__O;90⁰_

 

^B ^^D^.

Cõu 4: Cho hỡnh vuụng MNPQ (thứ tự cỏc đỉnh cựng chiều quay của kim đồng hồ). Phộp quay nào sau đõy biến điểm ^M thành điểm ^P^.

A. Phộp quay tõm Q gúc  90 . B. Phộp quay tõm Q gúc 45 . C. Phộp quay tõm Q gúc ^{ }^{45 .} D. Phộp quay tõm Q gúc ^{90 .}^

Cõu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm ^A

 

^{1; 2 .} Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A. ₃

   

;2

2;1 .

O

Q_ __ A A

 

 

   B. ₃

   

;2

2; 1 .

O

Q_ __ A A

 

 

  

C. ₃

   

;2

1; 2 .

O

Q_ __ A A

 

 

    D. ₃

   

;2

2; 1 .

O

Q_ __ A A

 

 

   

Cõu 6: Cú bao nhiờu phộp quay với gúc quay 



⁰⁰ ^{ }^ ³⁶⁰⁰



biến tam giỏc đều cho trước thành chớnh nú?

A. ^0. B. ^1. C. ^2. D. ^4.

(12)

Câu 7: Biết thực hiện liên tiếp hai phép quay Q_{ }_I_;_ và ^Q_{ }_I_; ^,



 ^k^{2 ,}  ^k^{2 , ,} ^{k k}



ta được phép đồng nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ^{  }^{  }^k^{2 ,}^



^k^



^. ^B.^{ }^{ }^k^{2 ,}^



^k^



^.

C. ^{2 ,}

 

^.

2 k k

      C. ^{2 ,}

 

^.

2 k k

     

Câu 8: Phép biến hình nào sau đây không có tính chất: “Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”?

A. Phép đồng nhất. B. Phép vị tự. C. Phép quay bất kì. D. Phép tịnh tiến.

Câu 9: Cho đường thẳng ^ và điểm ^I^{ }^. Phép quay tâm ^I với góc quay  nào sau đây thì biến đường thẳng thành chính nó?

A.  60 .⁰ B.  90 .⁰ C.  180 .⁰ D.  360 .⁰

Câu 10: Phép quay tâm I góc quay 90^ biến đường thẳng d thành đường thẳng d^. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. d^d^. B. d/ /d^. C. d d^ ^. D.

 

^{d d  }^, ^{45 .}

Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, ảnh của điểm ^B



^{3; 4}^



qua phép quay tâm O, góc quay 90 ,0

 có tọa độ là

A.

 

^{4; 3 .} ^B.



^{ }^{4; 3 .}



^C.



^^{3; 4 .}



^D.



^{4; 3 .}^



Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm ^M

 

^{0; 3} . Xác định tọa độ điểm M là ảnh của điểm ^M qua phép quay tâm ^O

 

^{0; 0} , góc quay ^{ }²⁷⁰^.

A. ^M^{ }



^{3; 0 .}



^B.^M^{ }



^{3; 3 .}



^C.^M^



^{0; 3 .}^



^D.^M^

 

^{3; 0 .}

Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, phép quay tâm ^I

 

^2;1 , góc quay 120⁰, biến điểm ^M

 

^{1; 9}

thành điểm ^M^' có tọa độ là A. ^{1 5 3}; ^{2 3 3}

2 2

M     

 

 

 . B. ^{5 8 3}; ⁶ ³

2 2

M     



 .

C. ^{5 8 3}; ^{2 2 3}

2 2

M     

 

 

 . D. ^{1 5 3}; ⁶ ³ .

2 2

M    

 

 

 

Câu 14: Cho ^M

 

^{3; 4} . Tìm ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc quay 30 . ⁰

A. 3 3 3

' ; 2 3

2 2

M  

  

 

 . B. ^M^'



^^{2; 2 3}



^.

C. 3 3

' ; 2 3

M  2 

 

 . D. 3 3 3

' 2; 2 3

2 2

M  

 

 

 .

Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm^M

 

^1;1 . Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc 45 ?

A. ^M^



^–1;1



. B. ^M^

 

^{1; 0} . C. ^M^



^{2; 0}



^. ^D.^M^



^{0; 2}



^.

Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2x y  1 0. Ảnh của đường thẳng

 qua phép quay tâm ^O^, góc quay 90⁰ là đường thẳng có phương trình

A. x2y 1 0. B. 2x y  2 0. C. 2x y  2 0. D. x2y 1 0.

Câu 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, phép quay tâm O, góc quay 90⁰ biến đường tròn

 

^C ^:^x²^^y²^⁴^x^⁶^y^{ }^{3 0} thành đường tròn

 

^C^ có phương trình nào sau đây?

(13)

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO - Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm KM10 Hương Trà 0935.785.115 13 A.

  

^C^ ^: ^x^³

 

²^ ^y^²



² ^^16. B.

  

^C^ ^: ^x^³

 

²^ ^y^²



² ^^16.

C.

  

^C^ ^: ^x^²

 

²^ ^y^³



² ^^16. ^D.

  

^C^ ^: ^x^²

 

²^ ^y^³



²^^16.

Câu 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

  

^C ^: ^x^¹



²^^y²^^5. Xác định phương trình đường tròn

 

^C^ là ảnh của đường tròn

 

^C qua phép quay tâm O, góc quay 90 .⁰ A. ^x²^



^y^¹



² ^^5. B. ^x²^



^y^¹



² ^^5. C.



^x^¹

 

²^ ^y^¹



²^^5.D.



^x^¹



²^^y²^^5.

Câu 19: Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm (hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Q__G,120__

 

B A. B. Q__G,60__

 

B A.

C. ^Q__G_,120_

 

^A ^B^. D. ^Q__G_,6_

 

^A ^B^. ^G

A

B C

Câu 20: Có bao nhiêu phép quay với góc quay  với    ;  biến hình vuông thành chính nó?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.

Câu 21: Trong mặt phẳng, tìm ảnh của điểm ^A



^{2; 1}^



qua phép quay tâm O, góc quay 90 . A. ^M



^{1; 2 .}^



^B.^N

 

^{1; 2 .} ^C.^P



^^{1; 2 .}



^D.^Q

 

^{2;1 .}

Câu 22: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng :x2y 1 0. Xác định ảnh của ^ qua phép quay tâm O (O là gốc tọa độ), góc quay  90 .

A. x2y 1 0. B. 2x y  1 0. C. 2x y  1 0. D. 2x y  1 0.

Câu 23: Về phía ngoài tam giác ABC, dựng các hình vuông ABMN và ACPQ. Gọi I J, lần lượt là tâm các hình vuông ABMN và ACPQ; E là trung điểm BC (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?

A. EIJ vuông cân. B. BQCN. C. ^AE^^MP^. D. BQ CN .

E J I

Q

P N

M

B C A

Câu 24: Trong mặt phẳng, cho hai điểm ^A



^{1; 3 ,}^

  

^B ^2;1 ^{. Gọi}^{M N}^, lần lượt là ảnh của A B, qua phép dời hình bằng cách thực hiện liếp tiếp phép tịnh tiến theo vectơ ^v^



^{3; 1}^



và phép quay tâm

O, góc quay ^90. Viết phương trình đường thẳng ^MN.

A. x4y20 0. B. x4y20 0. C. 4x y 12 0. D. 4x y  5 0.

Câu 25: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm. Gọi tam giác MNP là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ BC và phép quay tâm ^G, góc quay ^90. Tính độ dài ^GM^.

A. ³. 3

a B. ² ³. 3

a C. ⁷. 2

a D. a 7.

Câu 26: Cho tam giác đều ABC. Hãy xác định góc quay của phép quay tâm ^A biến B thành điểm C. A. 30. B. 90. C.  120. D.  60⁰ hoặc 60⁰. Câu 27: Cho hai hình vuông ABCD và BEFG như hình bên. Tìm

ảnh của tam giác ^ABG qua phép quay tâm B, góc quay

 90 .

A. BCD. B. CBE. C. ABD. D. DCG.

(14)

Câu 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho vectơ ^v^



^{3; 2}^



^{và điểm}^M



^^{1; 4 .}



Xác định tọa độ ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 90⁰ và phép tịnh tiến theo vectơ v.

A.



^{ }^{1; 3 .}



^B.



^{7; 1 .}^



^C.



^{2; 6 .}^



^D.

 

^{4; 2 .}

Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x3y 9 0. Viết phương trình của đường thẳng '

d là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc 90⁰.

A. 2x3y 9 0. B. 3x2y 9 0. C. 3x2y 9 0. D. 2x3y 9 0.

Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: 4x3y 5 0 và d x' : 7y 4 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay ^ với



⁰^{ }^ ¹⁸⁰^



là góc nào sau đây?

A. ^120. B. ^60. C. ^90. D. ^45.

Câu 31: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc với k2 (k là một số nguyên)?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Câu 32: