Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi môn Toán tỉnh Nghệ An từ năm 2009 đến năm 2019

(1)



Sưu tầm và tổng hợp

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN L ỚP 9 NGHỆ AN

Thanh Hóa, ngày 11 tháng 3 năm 2020

(2)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 9 TỈNH LỚP NGHỆ AN LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện thi học sinh giỏi

toán lớp 9 của tỉnh Nghệ An. Đây là bộ đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp 9 có một tài liệu bám sát đề thi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề gồm nhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp các em phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học này, tạo được nền tảng để có những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn.

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Nghệ An này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Bộ đề này được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi và hướng dẫn giải đề ngay dưới đề thi đó dựa trên các đề thi chính thức đã từng được sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi toán lớp 9 ở các tỉnh trên cả nước.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này!

môn toán lớp 9, website thuvientoan.net giới thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi học sinh giỏi

(3)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

Đề số 1 (Đề thi có một trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: TOÁN - BẢNG A

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (3,0 điểm)

a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .

b. Chứng minh rằng chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Câu 2. (6,5 điểm)

a. Giải phương trình:

b. Giải hệ phương trình:

Câu 3. (2,5 điểm)

Cho là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 4. (6,0 điểm)

1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C của tam giác. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ nhất M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF tại N. Chứng minh rằng:

a. EF OA.

b. AM = AN.

2. Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trong tam giác đó sao cho và AC.BD = AD.BC. Chứng minh .

Câu 5. (2,0 điểm)

Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho.

___________________Hết_________________

2y xy x 2y 5 02− + − + =

2n n

A 2= +4 16+ 8x 4x3

2x 3 2x 5

+ = + ⋅ +

( ) ( )

( )( )

2 2

x 1 y 3 1 x 1 y 3 x y 3.

 − + − =



− − − − = −



, , a b c

4 4 4

a b c

P .

a b b c c a

     

= +  + +  + + 

⊥

  ⁰ ADB = ACB 90+ AB.CD

AC.BD = 2

1 91

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(4)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018

Câu 1 (3 điểm).

a. Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố và căn bậc hai của số cần tìm có tổng các chữ số là một số chính phương.

b. Chứng minh rằng số

A = 2

²²ⁿ⁺¹

+31

là hợp số với mọi số tự nhiên n.

Câu 2 (7 điểm).

a. Giải hệ phương trình:

2 2

2 3 6

2 3 6.

x y x

y x y

 = + −

 

= + −



b. Giải phương trình: 8 ² 18 11

1 2 3

2 2 3

x x

x + +

+ + + = ⋅

+ Câu 3 (2 điểm).

Cho

x y z , ,

là các số thực dương thoả mãn

xyz = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 1

P = (3 x 1)( y z ) x + (3 y 1)( x z ) y + (3 z 1)( x y ) z ⋅

+ + + + + + + + +

Câu 4 (6 điểm) Cho AB là một đường kính cố định của đường tròn (O). Qua điểm A vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Từ một điểm E bất kì trên đường thẳng d vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) (C là tiếp điểm, C khác A). Vẽ đường tròn (K) đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng d tại E, vẽ đường kính EF của đường tròn (K). Gọi M là trung điểm của OE.

Chứng minh rằng:

a. Điểm M thuộc đường tròn (K).

b. Đường thẳng đi qua F và vuông góc với BE luôn đi qua một điểm cố định khi E thay đổi trên đường thẳng d.

Câu 5 (2 điểm). Ở miền trong đa giác lồi 2018 cạnh có diện tích bằng 1 lấy 2017 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 4035 điểm trên (bao gồm 2018 đỉnh của đa giác và 2017 điểm trong đa giác đó) có diện tích không vượt quá

1

6050 ⋅

___________________Hết_________________

(5)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017

Câu 1. (4 điểm)

a) Tìm hệ số a, b, c của đa thức P(x) x= ²+bx c+ biết P (x) có giá trị nhỏ nhất bằng – 1 tại x = 2.

b) Giải hệ phương trình

( ) ( )

2 2 3

2

x xy xy y 0

2 x 1 3 x y 1 y 0

 + − − =



+ − + − =



Câu 2. (4 điểm)

a) Giải phương trình x 2 3 1 x+ = − ² + 1 x+

b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1.+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

2a b c

P= 1 a + 1 b + 1 c

+ + +

Câu 3. (3 điểm)

Cho tam giác ABC có BAC 135 ,BC 5cm = ⁰ = và đường cao AH = 1 cm. Tìm độ dài các cạnh AB và AC

Câu 4. (5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), D là một điểm trên cung BC không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và ACE. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của K trên BC và AB, gọi I là giao điểm của EK với AC

a) Chứng min rằng ba điểm P, I, Q thẳng hàng b) Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của KH Câu 5. (4 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m, n, p, q thỏa mãn 1 1 1 1 1

m+ + + +n p q mnpq =1

b) Trên một bảng có ghi hai số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo quy tắc sau:

Nếu có hai số phân biệt trên bảng thi ghi thêm số z xy x y= + + . Chứng minh rằng các số trên bảng (trừ số 1) có dạng ^{3k 2}⁺ với số k là tự nhiên

___________________Hết_________________

(6)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016

Câu 1. (3,0 điểm)

a. Chia 18 vật có khối lượng 2016²; 2015²; 2014²; ...; 1999² gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó).

b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3^x + 171 = y² Câu 2. (6,0 điểm)

x

²

+ 6 x + = 1 ( 2 x + 1 ) x

²

+ 2 x + 3

2 2

4 1 4

1

x y x

x xy y

 + = −

 

+ + =



Câu 3. (3,0 điểm) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

1 1 1 3

a b c

b c a

+ + +

+ + ≥

+ + +

Câu 4. (6,0 điểm) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q).

Gọi H là giao điểm của OM và AB.

a. Chứng minh: HPO =HQO

b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng

1 1

EA + EB

có giá trị nhỏ nhất.

Câu 5. (2,0 điểm) Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn bất kì nào trong chúng có điểm trong chung.

___________________Hết_________________

(7)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015

Câu 1. (4 điểm):

a. Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điểu kiện: a² + a = 2b² + b.

Chứng minh rằng a – b và a + b + 1 đều là các sô chính phương.

b. Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của n hợp số nhưng không thể viết được thành tổng của n + 1 hợp số.

Câu 2. (5 điểm):

a. Giải phương trình: 6x− +1 9x²− =1 6x−9x² b. Giải hệ phương trình:

2 2

2

2 4

x y xy

x y x y

 + + =



+ = +



Câu 3. (3 điểm):

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: abc = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 1 1

2 3 2 3 2 3

a b +b c +c a + + + + + + . Câu 4. (6 điểm):

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

a. Ba điểm D, E, F thẳng hàng .

b. AB AC BC

MF +ME = MD Câu 5. (2 điểm):

Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6 cm. Chứng mỉnhằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng 3cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.

___________________Hết_________________

(8)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: TOÁN - BẢNG B

Câu 1. (4 điểm):

a. Tìm số tự nhiên n sao cho

n

²

+ 119

là số chính phương.

b. Cho các số nguyên dương

a b c d , , ,

thỏa mãn:

a

²

+ b

²

= + c

²

d

²

Chứng minh

a + + + b c d

là hợp số . Câu 2.(5 điểm):

a. Giải phương trình: ³

x − + 1 x + = 2 3

.

2 2

3 3

2

2 4

x y xy

x y x y

+ + =



+ = +

 Câu 3. (3 điểm):

Cho

a b c , ,

là các số thực dương thỏa mãn:

abc = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1 1

P = a 2 b 3 + b 2 c 3 + c 2 a 3 + + + + + +

^.

Câu 4. (6 điểm):

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn.

Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định (H không trùng với A, O). Gọi M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MH, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C, D.

a. Chứng minh AC.BD = AH.BH

b. Xác định vị trí của điểm M để tam giác CHD có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5. (2 điểm):

Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng 3cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.

___________________Hết_________________

(9)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014

Câu 1 (4.0 điểm).

a. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 2013^k-1 chia hết cho 10⁵

b. Tìm mọi số nguyên x sao cho x²+28 là số chính phương Câu 2 (6.0 điểm).

a. Giải phương trình: 4x²+5x+ −1 2 x²− + =x 1 9x−3 b. Giải hệ phương trình: 2 2₂ 3 2₂

2 2

x y x y

x xy y

 + = − −



− − =



Câu 3 (3.0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=1.

Tìm min của P = x² y² z² x y+ y z+ z x

+ + +

Câu 4 (5.0 điểm). Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm M là điểm ngoài đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến MA; MB (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến đi qua M cắt đường tròn tại C, D (C nằm giữa M và D) cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Gọi E là giao điểm của AB với OM.

a. Chứng minh DEC=2DBC

b. Từ O kẻ tia Ot vuông góc với CD cắt tia BA ở K. Chứng minh KC và KD là tiếp tuyến của đường tròn O

Câu 5 (2.0 điểm). Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài bằng 1.Chứng minh rằng luôn tồn tại một hình tròn có bán kính R =1

4 chứa toàn bộ đường gấp khúc đó

___________________Hết_________________

(10)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013

Câu 1. (4.0 điểm)

1. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = a³ + b³ + c³ = 0 . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 0.

2. Cho các số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn a > b > c > d và ac + bd = (b + d + a – c)(b+ d – a+ c) Chứng minh rằng ab + cd là hợp số.

Câu 2. (6.0 điểm)

1. Giải phương trình: ²^x² ⁺⁷^x⁺¹⁰⁺ ²^x² ^{+ + =}^x ⁴ ³

(

^x⁺^{1 .}

)

2. Giải hệ phương trình:

( )

2 2

3 1 1

3 3 13 2

 − + = −

 − + =



x xy y x xy y Câu 3. (3.0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a³ +b³ +c³ −3abc=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=a² +b² +c².

Câu 4. (7.0 điểm)

Từ điểm D nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến DA, DB với đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến DEC (E nằm giữa D và C). OD cắt AB tại M, AB cắt EC tại N. Chứng minh rằng:

1. MA là phân giác góc ∠EMC. 2. MB DC². =MC DE². .

3. 2 1 1

= + . EC DC NC

___________________Hết_________________

(11)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 – 2012

Câu 1 (5 điểm):

a) Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: a²+b²7. Chứng minh rằng a và b đều chia hết cho 7.

b) Cho A = n²⁰¹² + n²⁰¹¹ + 1

Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên tố.

Câu 2 (4.5 điểm)

a) Giải phương trình: 4 1 5

2

x x x

x+ − = +x −x

b) Cho x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn: xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức: yz₂ zx₂ xy₂

M = x + y + z Câu 3 (4.5 điểm)

a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6.

2 2 2

3 x +y +z ≥

b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

₂a³ ₂ ₂b³ ₂ ₂c³ ₂ P= a b +b c +c a

+ + +

Câu 4 (6.0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một dây BC cố định không đi qua O. Từ một điểm A bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM. AN với đường tròn ( M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC). Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P.

a) Chứng minh rằng: NP song song với BC.

b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng OI là K. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn nhất.

___________________Hết_________________

(12)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011

Câu 1 (4,0 điểm).

a) Cho các số nguyên a¹, a², a³, ... , aⁿ. Đặt S =

a

₁³

+ a

³₂

+ + ... a

³_n

và

P a

= ₁ +

a

₂ + +

... a

_n. Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.

b) Cho A =

n

⁶

− n

⁴

+ 2n

³

+ 2n

² (với

n N, ∈

n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.

Câu 2 (4,5 điểm). a) Giải phương trình: 10 x3 + =1 3x2 +6

b) Giải hệ phương trình:

x 1 3 y y 1 3

z z 1 3

x

 + =



 + =



 + =



Câu 3 (4,5 điểm). a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

1 1 1 x + + = y z 4

.

+ + ≤

+ + + +

1 1 1

2x + y + z x 2y z x y 2z 1

b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn

x

²⁰¹¹

+ y

²⁰¹¹

+ z

²⁰¹¹

= 3

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M x =

²

+ y

²

+ z

²

Câu 4 (4,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.

a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.

b) Khi

BOC 120

= ⁰, xác định vị trí của điểm M để

1 1

MB + MC

đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (2,5 điểm).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F.

Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

(13)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì

n

²

+ + n 2

không chia hết cho 3.

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho

n

²

+ 17

là một số chính phương.

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình:

x

²

+ 4x+5 = 2 2x+3

2 2

2x+y = x 2y+x = y

 



Câu 3 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4x+3

₂

A = x 1

+

Câu 4 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF =

BC

²

b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K

∈

(O).

Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

___________________Hết_________________

(14)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010

Câu 1. (4,5 điểm):

a) Cho hàm số f (x)=(x³+12x 31)− ²⁰¹⁰ Tính f (a)tại a = ³16 8 5− + ³16 8 5+

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5(x²+xy+y )² =7(x+2y) Câu 2. (4,5 điểm):

x

²

= x

³

− x

²

+ x

²

− x

2

1 1 1

x y z 2

2 1

xy z 4

 + + =

 

 − =



Câu 3. (3,0 điểm): Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 3

1 1 1

A = x y 1 + y z 1 + z x 1

+ + + + + +

Câu 4. (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:

a)

MI.BE = BI.AE

b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5. (2,5 điểm):

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ NH ⊥PD tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

(15)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008 – 2009

Câu 1 (4,5 điểm).

a) Cho A = k⁴ + 2k³

−

16k²

−

2k + 15 với k∈Z. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16.

b) Cho 2 số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho a² + b² + c² là số chính phương.

Câu 2 (5,5 điểm).

a) Giải phương trình: x² − −x 2 1 16x+ =2 b) Cho x, y thoả mãn:

3 2

2 2 2

x 2y 4y 3 0

x x y 2y 0

 + − + =

 

+ − =



Tính Q = x² + y². Câu 3 (3,0 điểm).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1

P 3 3 3

a b b c c a

   

= + +  + +  + + 

   

Trong đó các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện

3 a + b + c

≤ 2

Câu 4 (5,5 điểm).

Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là một điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N.

a) Chứng minh rằng: AM.ED =

2

OM.EA.

b) Xác định vị trí điểm E để tổng OM ON

AM+DN đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (1,5 điểm).

Cho tam giác ABC, lấy điểm C¹ thuộc cạnh AB, A¹ thuộc cạnh BC, B¹ thuộc cạnh CA. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA¹, BB¹, CC¹ không lớn hơn 1.

Chứng minh rằng: _ABC

1 S

≤ 3

(S^ABC là diện tích tam giác ABC).

- - - Hết- - - ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(16)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008 – 2009

Câu 1 (4,5 điểm).

a) Cho A = k⁴ + 2k³

−

16k²

−

2k + 15 với k ∈ Z. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16.

b) Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có ba chữ số, còn mẫu số là tổng các chữ số của tử số.

Câu 2 (5,5 điểm).

x

²

− − x 2 1 16x + = 2

2 2

x y xy 9

x y xy 3

 + + =

 + + =



Câu 3 (3,0 điểm). Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

= + + +

+ +

2 2 2

1 1 1 1

P x y z xy yz xz

Câu 4 (5,5 điểm). Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau.

E là một điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N.

a) Chứng minh rằng: AM.ED =

2

OM.EA b) Xác định vị trí điểm E để tổng OM ON

AM+DN đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC, lấy điểm C¹ thuộc cạnh AB, A¹ thuộc cạnh BC, B¹ thuộc cạnh CA. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA¹, BB¹, CC¹ không lớn hơn 1.

Chứng minh rằng: _ABC

1 S

≤ 3

(S^ABClà diện tích tam giác ABC).

(17)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008 – 2009

Môn thi: TOÁN – Đề dự bị

Câu 1 (5 điểm).

a) Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó là số là số chính phương và là bội của 126.

b) Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:

x²⁰⁰⁸ - 4y²⁰⁰⁹ = 2007.

Câu 2 (5 điểm).

a) Giải phương trình: 16x² -24x +

4x 2 4

+ + =0 b) Tìm a,b,c biết: 4a - b² = 4b - c² = 4c - a² = 1.

Câu 3 (4điểm).

a) Cho a,b,c là các số thực dương. Chưng minh rằng:

+ + ≤

+ + +

2 2 2

bc ca ab

a 2bc b 2ca c 2ab 1

b) Cho đa thức f(x) bậc 2007 và f(k) =

k

2

k 1

+ với k = 1; 2; 3; ...2008.

Tính f(2009).

Câu 4 (6 điểm). Cho đoạn thẳng AB cố định, độ dài bằng a. O là trung điểm của AB. Gọi d

1d₂là các đường thẳng vuông góc với AB tương ứng tại Avà B. Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh cắt d₁,d₂ lần lượt tại Mvà N.

a) Chứng minh rằng: AM.BN =

a

2

4

và AM +BN =MN.

b) Kẻ OH vuông góc với MN đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB cắt d₁ ở điểm thứ hai là E (khác M). MB cắt NA ở I, đường thẳng HI cắt EB ở K. Chứng minh rằng:K nằm trên đường tròn cố định khi góc vuông quay quanh đỉnh O.

(18)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2007– 2008

Môn thi: TOÁN – Bảng A

Bài 1: (4,0 điểm)

a. Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11 và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11.

b. Chứng tỏ rằng: ³ 7− 50 + ³ 7+ 50 là số tự nhiên.

Bài 2: (4,0 điểm)

4x

²

+ 5x 1 3 + + = 2 x

²

− + + x 1 9x

2 2 2

x y z 29

xyz 24 xy 2x 3y 6

y 2 + + =

  = −

 − − = −

 >



Bài 3: (4,0 điểm) Cho a, b là các số thực không âm thoả mãn: a² + b² = 1.

a. Chứng minh : 1 ≤ a + b ≤ 2

b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

1 2a + + 1 2b +

Bài 4: (3,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn xyz = 1.

Chứng minh rằng: Nếu x + y + z >

1 1 1

x + + y z

thì trong ba số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1.

Bài 5: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD (C, D không trùng với A, B). Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đường tròn tại C, D; N là giao điểm các dây cung AC, BD. Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lượt tại E, F. Chứng minh:

a. MN vuông góc với AB.

b. NE = NF.

(19)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đề số 1 Câu 1.

a. Ta có:

(y =1 không thỏa mãn PT)

Vì x, y là các số nguyên nên y -1 là ước của 5.

Vậy PT có các nghiệm nguyên (x;y) là: (9;2), (-5;0), (13;6), (-9;-4).

b. Ta có

Đặt suy ra

Do đó với mọi n nguyên dương ta có:

Câu 2.

a. Điều kiện:

Đặt Ta có:

Suy ra:

2 2

2y −xy+ −x 2y+ = ⇔5 0 x y( − =1) 2y −2y+5

2 5

x y 1

⇔ = + y

−

1: 1 1 2 9.

TH y − = ⇒ = ⇒ = y x

2 : 1 1 0 5.

TH y − = − ⇒ = ⇒ = − y x

3 : 1 5 6 13.

TH y − = ⇒ = ⇒ = y x

4 : 1 5 4 9.

TH y − = − ⇒ = − ⇒ = − y x 2

2ⁿ

4

ⁿ

16

A = + + = ( 2

²ⁿ

− + 1 ) ( 4

ⁿ

− + 1 ) 18

2 2

2 ⁿ =2 ^k

(

^k^∈^^*

) 2

²ⁿ

− = 1 2

²^k

− = 1 4

^k

− 1 3 

2

2ⁿ

− 1 3; 4 

ⁿ

− 1 3; 18 3   2

2ⁿ

4

ⁿ

16 3

⇒ = A + + 

3 x − 2

≥

3

8 4 3

2 3 (2 5) 2 3 8 4

2 5

x x

x x x x x

x

+ = + ⇔ + + = +

+

3 3

( 2x 3) 2 2x 3 (2 )x 2(2 )x

⇔ + + + = +

2 3 0, 2

a = x + ≥ b = x

( )

²

3 3 2

3

2 2 (a ) 2 0

2 4

b b

a a b b a b   a b

+ = + ⇔ −  + + +  = ⇔ =

 

2

2 0

2 3 2

2 3 4

x x x

x x

 ≥ + = ⇔ 

 + = 1 13

x + 4

⇔ =

(20)

b. Hệ phương trình đã cho tương đương với

Đặt Ta được hệ phương trình

Đặt điều kiện . Hệ trên trở thành

(thỏa mãn) hoặc (loại)

+) +)

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (0;3), (1;2) Câu 3.

Ta có:

Đặt:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

Tương tự:

Từ 2 BĐT trên ta có:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )





+

− +

−

=

−

=

− +

−

1 3 1

3 1

1 3

1² ²

y x

⋅

−

=

−

= x 1;b y 3 a

( )





+ +

=

−

⇔ +





+ +

=

= +

1 1 2 1

1 ²

2 2

b a ab

ab b

a b

a ab

b a

; ,

S = + a b P = ab

S² ≥4P





=

−

⇔ =





+

=

−

0 1 1

1

2 2

P S S

P P S





=

= 4 3 P S













−

=





=

−

=

 ⇔



=

−

=

⇔ +





=

−

=

1 0 0 1

0 1 0

1

b a b a

ab b a P

S





=

⇔ =





=

−

=

⇔ −





=

−

=

3 0 0

3 1 1 0

1

y x y

x b

a





=

⇔ =





−

=

−

=

⇔ −





−

=

2 1 1

3 0 1 1

0

y x y

x b

a

4 4 4

1 1 1

(1 ) (1 ) (1 )

P b c a

a b c

= + +

+ + +

, , , , 0, 1.

b c a

x y z x y z xyz

a b c

= = = ⇒ > =

4 4 4

1 1 1

(1 ) (1 ) (1 )

P x y z

⇒ = + +

+ + +

2

2 2 2

1 1 1 1

3 (1 ) (1 ) (1 )

P x y z

 

≥  + + + + + 

( )

² ²

( )

²

(

¹

) (

²

)( )

1 1 1

1 1

x y

xy x

y x xy x y

   

 +   +  ≥ + ⇒ ≥

 

     + + +

2

1

(1 ) (1 )( )

x y ≥ xy x y

+ + +

2 2

1 1 1

(1 x) +(1 y) ≥1 xy

+ + +

(21)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 Tương tự:

Ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:

Câu 4.

1.

a) Qua điểm A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) suy ra OA xy

Xét tứ giác BCEF có (GT); (GT) do đó tứ giác BCEF là tứ

giác nội tiếp suy ra (1)

Mặt khác (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) (góc nội tiếp) do đó ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ở vị trí so le trong nên EF // xy hay EF . b) Đường thẳng EF cắt (O) tại điểm thứ 2 là P, BP cắt DF tại Q.

AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên BCEF, ACDF nội tiếp, do đó

Mặt khác

2 2 2

1 1 1 1 1 1

(1 z) +(1 1) ≥1 z ⇒ (1 z) ≥1 z −4

+ + + + +

2 2 2

1 1 1

(1 x) (1 y) (1 z)

⇒ + + ≥

+ + +

1 1 1 1 1 3

1 1 4 1 1 4 4

z

xy + z − = z+ z − =

+ + + +

3 3

, 1

16 16

P ≥ P = ⇔ = = = ⇔ = = x y z a b c 3

16 ⋅

y

x

N

A

Q

P

M F

E

D O

B C

⊥

 90

⁰

BEC = BFC  = 90

⁰

  ACB = AFE

 1  BAx = 2 Sd AB

 1 

ACB = 2 Sd AB BAx   = ACB

  AFE = BAx ⊥ OA

  ACB = AFP

 1 2  1 2 (   )

ACB = Sd AB = Sd BM + MA

 AFP = 1 2 Sd BM (   + AP )

(22)

Do đó suy ra BA là tia phân giác của và (1)

Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra , tứ giác ACDF nội tiếp nên

do đó , suy ra FB là tia phân giác của .

Do đó nên AN = AP (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM = AN.

2.

Dựng tam giác vuông cân BDE tại D sao cho E thuộc nửa mặt phẳng có bờ BD không chứa C.

Ta có và DE = DB

Từ giả thiết AC.BD = AD.BC

Suy ra , từ đó

Mặt khác , suy ra . Do đó

Câu 5.

Chia hình vuông đã cho thành 2025 hình vuông nhỏ có cạnh bằng nhau và bằng . Gọi là các hình tròn nội tiếp các hình vuông nhỏ ở trên, chúng có bán kính bằng nhau và bằng

Gọi lần lượt là các hình tròn đồng tâm với các hình tròn ở

trên có bán kính là: Khi đó các hình tròn này nằm trong hình vuông và đôi một không có điểm chung (rời nhau).

 

Sd AM = Sd AP MBQ  ⇒ AM = AP

 ACB=BFM  ACB=BFQ

  

BFQ = BFM = ACB

MFQ^

MFB QFB MB QB BMP BQN BP BN

∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ∆ = ∆ ⇒ =

ABN ABP

∆ = ∆

E

A

B

D

C

  ADE = ACB

AD BD DE

AC = BC = BC ⇒ ∆ ADE ~ ∆ ACB AB AC AE = AD BAC   = EAD CAD   = BAE ∆ CAD ~ ∆ BAE

. 2

2 .

AC CD CD AB CD

AB = BE = BD ⇒ AC BD =

1 45

1 2 2025

(C ), (C ),..., (C )

1 . 90

' ' '

1 2 2025

(C ), (C ),..., (C )

1 .

91

(23)

Trong hình vuông đã cho có các hình tròn rời nhau và có 2019 điểm nên tồn tại một hình tròn trong các hình tròn này không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho.

Đề số 2 Câu 1.

a. (1,5 điểm)Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố và căn bậc hai của số cần tìm có tổng các chữ số là một số chính phương

Gọi số cần tìm có dạng abcd => abcd =n² (n∈N )^*

=>

d = 0,1, 4,5,6,9

mà d là số nguyên tố =>

d = 5

Mặt khác 100<abcd<10000⇒31< <n 100 Do d = 5 => n có tận cùng là 5 hay n=e5 Mà e +5 là số chính phương => e = 4.

=> n = 45 => abcd =2025.

b. (1,5 điểm) Chứng minh rằng số

A=2

²²ⁿ⁺¹

+31

là hợp số với mọi số tự nhiên n.

Ta có

2

²ⁿ⁺¹

=2.2

²ⁿ chia 3 dư 2

∀ ∈ n N

⇒

2

²ⁿ⁺¹

=3k+2,(k ∈ N)

⇒

A=2

²²ⁿ⁺¹

+31=2

^{3k 2}⁺

+ 31 4.(2 ) =

^{3 k}

+ 31 4.8 =

^k

+ 31

Mà

8

^k chia 7 dư 1

∀ ∈ k N

⇒4.

8

^k chia 7 dư 4

∀ ∈ k N

⇒4.

8

^k+31



⁷

∀ ∈ k N

⇒

A=2

²²ⁿ⁺¹

+31 

⁷

∀ ∈ n N

Mà A >7

⇒A là hợp số với mọi số tự nhiên n.

Câu 2. a.(3,5 điểm ) Giải hệ phương trình:

2 2

2 3 6

2 3 6.

x y x

y x y

 = + −

 

= + −



2 2 2

2 3 6 2 3 6 2 3 6

( )( 1) 0

2 3 6

x y x x y x x y x

x y x y

y x y x y x y

 = + −  = + −  = + −

 ⇔  ⇔

  

− + − =

= + − − = −

  

 

TH 1:

2 2

2

2 3 6 5x 6 0

( ; ) (2;2),(3;3) 3

x y x x x

x x y

x y x y

x y

 = 

 = + − ⇔  − + = ⇔  = ⇔ =

 =  = 

   = 

TH 2.

2 2 2

2 3 6 2 3 6 4 0( )

1 0 1 1

x y x x y x x x vn

x y y x y x

 = + −  = + −  − + =

⇔ ⇔

  

+ − = = − = −

  

' ' '

1 2 2025

(C ), (C ),..., (C )

(24)

Vậy hệ phương trình có nghiệm:

( ; ) x y = (2;2),(3;3)

b.(3,5 điểm) Giải phương trình:

8 2 18 11

1 2 3

2 2 3

x x

x + +

+ + + = ⋅

+

ĐK:

3

2x 3 0

x − 2 + > ⇔ > ⋅

đặt

a = + x 1, b = 2 x + > 3 0

, PT trở thành:

2 2

2 2 2 2

8 2 ( ) 8 2 8 0

2 a b

a b b a b a b b ab a

b

+ = + ⇔ + = + ⇔ + − =

( 4 )( 2 ) 0 2

4

b a

b a b a

b a

 =

⇔ + − = ⇔  = −

TH 1. b=2a⇒ 2x+ =3 2(x+ ⇔1) 2x+ =3 4(x+1) (² x≥ −1)

2

3 5

( ) 4 6 1 0 4

3 5

4 ( )

x tm

x x

x l

 = − +



⇔ + + = ⇔

 = − −



TH 2.

4 2x 3 4( 1) 2x 3 16( 1) (2 1) b= − ⇒a + = − x+ ⇔ + = x+ x≤ −

2

15 17 16 ( ) 16x 30x 13 0

15 17 ( ) 16

x l

x tm

 = − +



⇔ + + = ⇔

 = − −



Vậy phương trình có hai nghiệm: 3 5 15 17

4 , 16

x =− + x= − − ⋅

Câu 3. Cho x y z, , là các số thực dương thoả mãn

xyz = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 1

P = (3 x 1)( y z ) x + (3 y 1)( x z ) y + (3 z 1)( x y ) z ⋅

+ + + + + + + + +

Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số ta có :

x + + ≥ y z 3

³

xyz = 3

1 1 1

P = 3 ( x y z ) x y z + 3 ( y x z ) x y z + 3 ( z x y ) x y z ⋅

+ + + + + + + + + + + +

=>

1 1 1

P ≤ 3 ( x y z ) 3 + 3 ( y x z ) 3 + 3 ( z x y ) 3

+ + + + + +

(25)

1 1 1

3P 1 1 1 1 1 1

1 1 1

y z x z x y

⇒ ≤ + +

+ + + + + +

Đặt 3 3 3

1 1 1

, , , , 0, 1

a b c a b c abc

x y z

= = = ⇒ > =

3 3 3 3 3 3

1 1 1

3P a b 1 b c 1 c a 1

⇒ ≤ + +

+ + + + + +

Ta có:

a

³

+ b

³

= ( a + b a )(

²

+ b

²

− ab ) ≥ ( a + b )(2 ab − ab ) = ab a ( + b ) (1)

Thiết lập các BĐT tương tự còn lại ta có:

1 1 1

3P ( ) ( ) ( )

1 P 1 3 ab a b abc bc b c abc ca c a abc

c a b

a b c a b c a b c

≤ + +

+ + + + + +

= + + = ⇒ ≤

+ + + + + +

P=1 1 1.

3 1

a b c

a b c x y z

abc

 = =

⇔ = ⇔ = = = ⇔ = = =

Vậy GTLN của P bằng

1 3 .

Câu 4. Cho AB là một đường kính cố định của đường tròn (O). Qua điểm A vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Từ một điểm E bất kì trên đường thẳng d vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) (C là tiếp điểm, C khác A). Vẽ đường tròn (K) đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng d tại E, vẽ đường kính EF của đường tròn (K). Gọi M là trung điểm của OE. Chứng minh rằng:

Q

N

E K F

C

M

A O

B

(26)

a.(3 điểm) Điểm M thuộc đường tròn (K).

Ta có EC là tiếp tuyến của đường tròn (O)=>

ECO=90 

⁰, mà

( , ) 2 C ∈ K EF

=>

ECF=90 

⁰=> O, C, F thẳng hàng.

Mà EC, EA là hai tiếp tuyến của (O) =>

  AO E = EOF

Mặt khác

FE ⊥ d AB , ⊥ ⇒ d EF / / AB ⇒   AOE = O EF

=>

EOF   = O EF

=> tam giác EFO cân tại F Mà M là trung điểm của EO =>

FM ⊥ EO

=>

FME  = 90

⁰

⇒ M ∈ ( ). K

b.(3 điểm) Đường thẳng đi qua F và vuông góc với BE luôn đi qua một điểm cố định khi E thay đổi trên đường thẳng d.

Gọi N là trung điểm của AO, Q là giao điểm của BE và FN

=> MN là đường trung bình của tam giác EAO => MN//AE

 

  

0 0

MN AO 90

180

NMO MON

NMF MON EOB

⇒ ⊥ ⇒ = −

⇒ = − =

Mặt khác tam giác MOF đồng dạng với tam giác NOM (gg)

MF MO EO

NM = NO = AO

mà AO = BO =>

MF EO NM = BO

=> tam giác MFN đồng dạng với tam giác OEB (cgc).

=>

OEB   = MFN hay MEQ   = MFQ

=> tứ giác MEFQ nội tiếp đường tròn (K)

=>

EQF  = 90

⁰

⇒ NF ⊥ BE

Vậy khi E thay đổi trên d thì đường thẳng đi qua F và vuông góc với BE luôn đi qua điểm cố định là trung điểm của OA.

Câu 5. Ở miền trong đa giác lồi 2018 cạnh có diện tích bằng 1 lấy 2017 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 4035 điểm trên (bao gồm 2018 đỉnh của đa giác và 2017 điểm trong đa giác đó) có diện tích không vượt quá

1 6050 ⋅

Từ 2018 đỉnh và 2017 điểm nằm trong đa giác nối các điểm để tạo thành các tam giác chỉ chung nhiều nhất là một cạnh và đôi một không có điểm trong chung, phủ kín đa giác nói trên.

(27)

Ta có tổng các góc trong của đa giác là:

(2018 2)180 −

⁰

= 2016.180

⁰

tổng các góc trong của các tam giác trên bằng tổng các góc trong của đa giác cộng với

2017.360

⁰

=>tổng các góc trong của các tam giác trên bằng

2017.360

⁰

+ 2016.180

⁰

= 6050.180

⁰

=>có tất cả 6050 tam giác có tổng diện tích là 1.

Vậy phải có ít một tam giác trong 6050 tam giác trên có diện tích không vượt quá

1 6050 ⋅

Đề số 3 Câu 1

a) Do đa thức P(x) x= ²+bx c+ có bậc hai và có giá trị nhỏ nhất là - 1 tại x=2 nên viết được dưới dạng ^P(x)⁼

(

^{x 2}⁻

)

²⁻^1.

Từ đó ta có ^{P(x) x}⁼ ²⁺^{bx c}^{+ =}

(

^{x 2}⁻

)

²⁻¹

Hay ta được x²+bx c x+ = ²−4x 3+ , Đồng nhất hệ số hai vế ta được b= −4;c 3= b) Điều kiện xác định của phương trình là ^{x 0}^≥

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( ) ( )

2 2 2

2

x(x y ) y(x y ) 0 x y x y 0 x y

x y 0

 =

+ − + = ⇔ − + = ⇔  + = Với x+y²=0, kết hợp với điều kiện ta xác định x 0≥ ta được x = y = 0 Thay vào phương trình còn lại ta thấy không thỏa mãn.

Với x=y, thay vào phương trình còn lại ta được:

2 2

2(x + −1) 3 x(x 1) x 0+ − = ⇔2 x −3x x x 3 x 2 0− − + =

Đặt t= x 0≥ , khi đó ta được phương trình 2t⁴ −3t³− − + =t² 3t 2 0

Nhẩm được 1

t 2;t

= =2 nên ta phân tích được

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

3 2

2

2t (t 2) t t 2 t 1 t 2 0 t 2 2t t t 1 0

t 2 2t 1 t t 1 0

− + − + − − =

⇔ − + + − =

⇔ − − + + =

1 x y 2

t 2 2

t 2 x y 2

 = =

 = 

⇔ = ⇒  = = Câu 2.

a) Quan sát phương trình ta chú ý đến biến đổi 1 x− ² = −(1 x)(1 x)+ . Để ý đến điều kiện xác định ta phân tích được ^{1 x}⁻ ² ⁼ ^{1 x. x 1}⁻ ⁺

(28)

Như vậy ta viết lại được phươn trình x 2 3 1 x. x 1+ = − + + 1 x+ Ta có biểu diễn x 3 2(x 1) (1 x)+ = + + −

Đến đây ta đặt ẩn phụ a= x 1;b+ = 1 x− thì ta viết lại phương trình lại thành

2 2

2a +b − =1 3ab a+

Hay b²−3ab 2a+ ²− − =a 1 0

Xem phương trình trên là phương trình ẩn b và a là tham số thì ta có

( )

²

2 2

9a 4(2a a 1) a 2

∆ = − − − = +

Do đó phương trình có hai nghiệm là 3a (a 2)

b a 1

2

= − + = − và 3a (a 2)

b 2a 1

2

= + + = +

Với b = a – 1 ta được ^{1 x} ^{1 x 1} ^... ^x ³

− = + − ⇔ ⇔ = ± 2

Với b = 2a+1 ta được 24

1 x 2 1 x 1 .... x

− = + + ⇔ ⇔ = −25 Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm 3 24

S ;

2 25

 − 

 

=  

 

  b) Từ giả thiết ab+bc+ca=1, ta để ý đến phép biến đổi

( )( )

2 2

a + =1 a +ab bc ca+ + = +a b a c+ Áp dụng tương tự bất đẳng thức trở thành

( )( ) ( )( ) ( )( )

2a b c

P= a b a c + a b b c + a c b c

+ + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được

( )( ) ( )( ) ( )( )

2a b c

P a b a c a b b c a c b c

1 1 1 1 1 1

a b c

a b a c a c 4(b c) 4(b c) a c

a b b c a c 1 9

1 1

a b 4(b c) a c 4 4

= + +

+ + + + + +

   

 

≤  + + + +  + + + +  + + + 

+ + +

= + + = + + =

+ + +

Vậy bất đẳng thức được chứng minh . Đẳng thức xảy ra

(

^a;b;c

)

⁷ ^; ¹ ^; ¹

15 15 15

 

⇔ =  

 

(29)

Câu 3.

Gọi AB = y; AC=x. Dựng CM vuông góc với AB, khi đó ta được AM=CM=^{x 2}

2

Ta có _ABC 1 5

S AH.BC

2 2

= = . Lại có ^S_ABC ¹^{.CM. AB} ¹^y.^{x 2}

2 2 2

= =

Do đó ta được S_ABC ¹CM.AB ¹y.^{x 2} ⁵ xy 2 10

2 2 2 2

= = = ⇔ =

Tam giác BCM vuông tại M nên ta lại có BM² +MC² =BC² . Suy ra

2 2

x 2 x 2 x x

y 5 y xy 2 25

2 2 2 2

   

+ + = ⇔ + + + =

   

   

Từ đó ta được x²+y² =15. Ta có hệ phương trình

( )

²

2 2

x y 15 x y 2xy 15 x 10

...

xy 2 10 xy 5 2 y 5

 

 + = + − = =

 ⇔ ⇔ ⇔

  

= =

  = 

  

Do vai trò của AB và AC như nhau nên ta có kết quả là AB= 10;AC= 5 và AB= 5;AC= 10

I N

M

B H

A

C

(30)

Câu 4.

a) Trước hết, ta chứng minh điểm K thuộc đường tròn (O) Do K là trực tâm của tam giác ACE nên ta có KJEF nội tiếp Từ đó suy ra AKC AEC 180 + = ⁰

Mặt khác do tứ giác ADCE là hình bình hành nên lại có ADC AEC = Từ đó suy ra AKC ADC 180 , + = ⁰ nên tứ giác ADCK nội tiếp hay điểm K nằm trên đường tròn.

+) Chứng minh ba điểm I, P, Q thẳng hàng

Do K là trực tâm tam giác ACE nên ta có KI vuông góc với AC.

Đường thẳng đi qua ba điểm I, P, Q là đường thẳng Simson b) Chứng minh PQ đi qua trung điểm của KH

Gọi N là giao điểm của PQ và AH . Gọi M là giao điểm của AH với đường tròn (O). Khi đó dễ thấy tam giác PHK cân. Do AH // KP nên tứ giác KPMN là hình thang

N Q

P K I

F

J

H

M

E A

B C

D

(31)

Lại có BPKQ nội tiếp nên suy ra được QBK ABK AMK QPK   = = = nên tứ giác KPMN nội tiếp . Do đó KPMN là hình thang cân. Do đó

  

PMH PHM KNM= = nên KN // HP

Do vậy tứ giác HPKN là hình bình hành. Từ đó ta có điều phải chứng minh Câu 5.

a) Do m, n, p, q là các số nguyên tố khác nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử n m p q.> > > Khi đó ta được q 2;p 3;n 5;m 7≥ ≥ ≥ ≥

Dễ thấy 1 1 1 1 1 3.5.7 2.3.7 2.5.7 2.3.5 1 248

2 3 5 7 2.3.5.7 2.3.5.7 210 1

+ + + +

+ + + + = = >

Lại thấy: 1 1 1 1 1 3.5.7 11.3.7 11.5.7 11.3.5 1 887

3 5 7 11 3.5.7.11 3.5.7.11 1155 1

+ + + +

+ + + + = = <

Từ đó suy ra trong các số m, n, p, q có một số là 2. Do q nhỏ n