Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn toán lớp 8 - Năm học 2020 - 2021

(1)

TRƯỜNG THCS VĂN TIẾN

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC: 2019-2020 Môn thi: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng 11¹⁰ 1chia hết cho 100 b) Phân tích đa thức thành nhân tử:

2( ) 2( ) 2( )

     

P x y z y z x z x y Bài 2: (3 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y}^;



thỏa mãn phương trình: ^x² ^²⁵^ ^{y y}



^⁶



b) Cho



^{a b}^

 

² ^ ^{b c}^

 

²^{ }^{c a}



² ^^4.



^a² ^^b² ^^c² ^^{ab ac bc}^ ^



Chứng minh rằng a b c 

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a ⁴2a³3a² 4a5 Bài 3. (2 điểm)

a) Tìm đa thức ( ),f x biết ( )f x chia cho x2dư 10, chia cho x2dư 24, chia cho x² 4được thương là 5 xvà còn dư

b) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: 4n³ n 3chia hết cho 2n²  n 1 Câu 4. (3 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.

a) Tứ giác AMDB là hình gì?

b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.

---HẾT--- Cán bộ không giải thích gì thêm

(2)

ĐÁP ÁN Bài 1a) ( 1đ)

     

10 9 8 9 8

11  1 11 1 11 11 ... 11 1  10. 11 11 ... 11 1  Vì ^{10 10}

Và



¹¹⁹ ^¹¹⁸ ^^{... 11 1}^{ }



có chữ số tận cùng bằng 0 Nên



¹¹⁹ ^¹¹⁸ ^^{.... 11 1}^{ }



chia hết cho 10

Vậy 11¹⁰ 1chia hết cho 100 1b) ( 1đ)

     

 

     

   

     

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

. .

x y z y z x z x y x y z y z y x z x z y x y z yz y z x y z

y z x yz xy xz y z x x y z x y y z x y x z

    

     

    

      

   

Bài 2a. ( 1đ)

 

   

2 2 2

25 6

3 16

4 . 4

3 3 2 . 8

1 . 16

x y y

x y

x y x y

  

   

 



       

  

x y 7 -1 5  1 11 -5 4 2 19 -13

x y 1 -7 5 -11 -1 5 13 -19 -2 -4

Vậy các cặp số nguyên phải tìm là:



4; 3 ; 4; 3 ; 5;0 ; 5; 6 ; 5; 6 ; 5;0

 

 

   

 

 



 





2b) ( 1đ)

Biến đổi đẳng thức để được

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 4 4

a b  ab b c  bc c a  ac a  b  c  ab ac bc

(3)

Biến đổi để có:



^a ^^b ^²^ac

 

^ ^b ^^c ^²^bc

 

^ ^a ^^c ^²^ac



^⁰

Biến đổi để có:



^{a b}^

 

² ^ ^{b c}^

 

² ^ ^{a c}^



² ^^{0 *}

 

Vì



^{a b}^



² ^^0;



^{b c}^



² ^^0;



^{a c}^



² ^⁰với mọi , ,a b c

Nên

 

* xảy ra khi và chỉ khi



^{a b}^



² ^^0;



^{b c}^



² ^^0;



^{a c}^



² ^⁰

Từ đó suy ra a b c 

2c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a ⁴ 2a³3a² 4a5

     

       

2 2 2 2

2 2 2 2 3

2 2 1 3 2 1 3

A a a a a a

a a a a a

      

        

Vì a²   2 0 avà



^a^¹



² ^{ }⁰ ^a_nên



^a² ^²

 a12  0 a

Do đó:



^a² ^²

 a12  3 3 a

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a   1 0 a 1 Bài 3a) ( 1đ)

Giả sử ^{f x}

 

_{chia cho}_x² _₄được thương là 5 xvà dư ax b Khi đó ^{f x}^{( )}^



^x² ^⁴

 5x xa b

Theo đề ta có:

(2) 24 2 24 7

( 2) 10 2 10 172

f a b a

f a b b

    

  

      

   

Do đó ^{f x}^{( )}^



^x² ^⁴

 5x  72x17

Vậy

2 47

( ) 5 17

f x   x  2 x 3b) ( 1đ)

Ta có:

(4)

P M

I F O

3

2 2

4 3 4

2 1

2 1 2 1

n n

n n n n n

    

   

Vì nlà số nguyên nên 2n-1 là số nguyên.

Do đó để 4n³  n 3chia hết cho 2n²  n 1thì 2n²  n 1phải là ước số của 4

Mặt khác:

2

2 2 1 1 1 7

2 1 2 2 0

2 2 4 16

n   n n  n  n   

Do đó: 2n²   n 1 1hoặc 2n²   n 1 2hoặc 2n²   n 1 4 Giải từng trường hợp suy ra:

Câu 4. ( 3đ – mỗi ýa- 1 điểm ysb – 1,5 điểm)

Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ

D C

E A B

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD.

 PO là đường trung bình của tam giác CAM.

 AM//PO

 tứ giác AMDB là hình thang.

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA.

(5)

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1)

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP //

AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng.

(6)