Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 cấp huyện | Học thật tốt

ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x³ – 5x² + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết

A = 10x² – 7x – 5 và B = 2x – 3 .

c) Cho x + y = 1 và x y ^0 . Chứng minh rằng

 

3 3 2 2

2 0

1 1 3

x y x y

y x x y

   

  

Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:

a) (x² + x)² + 4(x² + x) = 12

b) 2003

6 2004

5 2005

4 2006

3 2007

2 2008

1         

 x x x x x

x

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minhEDF vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:

a/ DE có độ dài nhỏ nhất

b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

HD CHẤM Bài 1: (3 điểm)

a) ( 0,75đ) x³- 5x²+ 8x - 4 = x³- 4x² + 4x – x² + 4x – 4 (0,25đ)

= x( x² – 4x + 4) – ( x²– 4x + 4) (0,25đ)

= ( x – 1 ) ( x – 2 ) ² (0,25đ)

b) (0,75đ) Xét ^{A 1 0 x2 7 x 5} _{5 x 4} ⁷

B 2 x 3 2 x 3

 

   

  (0,25đ)

Với x ^ Z thì A  B khi ⁷

2x3 ^ Z ^ 7  ( 2x – 3) (0,25đ) Mà Ư(7) = ^{1;1; 7;7}  ^ x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B (0,25đ) c) (1,5đ) Biến đổi ₃^x ₃^y

y 1 x 1

  = ^{4 4}

3 3

x x y y (y 1)(x 1)

  

 

=





2 2

x y (x y)

xy(y y 1)(x x 1)

  

    ( do x + y = 1^ y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)

=   





2 2 2 2 2 2

x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1)

    

        (0,25đ)

=   ^{2 2}

2 2 2 2

x y (x y 1)

xy x y xy(x y) x y xy 2

  

     

 

  (0,25đ)

=   ^{2 2}

2 2 2

x y (x x y y) xy x y (x y) 2

   

  

 

  =^{ } 

2 2

x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3)

   

 (0,25đ)

=   

2 2

x y x( y) y( x) xy(x y 3)

   

 =  

2 2

x y ( 2xy) xy(x y 3)

 

 (0,25đ)

= ^{2(x y)}_{2 2}

x y 3

 

 Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)

Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)

(x² + x )² + 4(x² + x) = 12 đặt y = x² + x

y² + 4y - 12 = 0 ^y² + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)

(y + 6)(y - 2) = 0 ^y = - 6; y = 2 (0,25đ)

* x² + x = - 6 vô nghiệm vì x² + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)

* x² + x = 2 ^x² + x - 2 = 0 ^ x² + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)

x(x + 2) – (x + 2) = 0 ^(x + 2)(x - 1) = 0 ^x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1

b) (1,75đ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2008 2007 2006 2005 2004 2003

            (^{x 1} 1) (^{x 2} 1) (^{x 3} 1) (^{x 4} 1) (^{x 5} 1) (^{x 6} 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003

                

 20032009

20042009 20052009

20062009 20072009

20082009         

 x x x x x

x  x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0

2008 2007 2006 2005 2004 2003

           

(0,25đ)

 _{) 0}

2003 1 2004

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008 )( 1 2009

(x       (0,5đ) Vì ^{1 1}

2008 2005 ; _{2007 2004}^{1  1} ; _{2006 2003}^{1  1}

Do đó : 0

2003 1 2004

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1       (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ^x = -2009 Bài 3: (2 điểm)

a) (1đ)

Chứng minh EDF vuông cân

Ta có ADE =CDF (c.g.c)^ EDF cân tại D Mặt khác: _{ADE =}CDF (c.g.c) ^E F^ˆ₁ ^ˆ₂

Mà E E^ˆ₁^ˆ₂F^ˆ₁ = 90^{0 } F E^ˆ₂ ^ˆ₂F^ˆ₁= 90⁰

 EDF= 90⁰. VậyEDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng

Theo tính chất đường chéo hình vuông ^ CO là trung trực BD MàEDF vuông cân ^ DI =¹

2EF Tương tự BI =¹

2EF ^ DI = BI

 I thuộc dường trung trực của DB ^ I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng

Bài 4: (2 điểm) a) (1đ)

DE có độ dài nhỏ nhất

Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có:

DE² = AD² + AE² = (a – x)² + x² = 2x² – 2ax + a² = 2(x² – ax) – a² (0,25đ)

A B

E I

D C

O

F

1 2

1 2

A D

B

C E

= 2(x –^a2

4 )² + ^a2

2  a²

2 (0,25đ)

Ta có DE nhỏ nhất ^ DE² nhỏ nhất ^ x =^a

2 (0,25đ)

 BD = AE =^a

2  D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)

b) (1đ)

Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Ta có: SADE =¹

2AD.AE =¹

2AD.BD =¹

2AD(AB – AD)=¹

2(AD² – AB.AD) (0,25đ)

= –¹

2(AD² – 2^AB

2 .AD + ^AB2

4 ) + ^AB2

8 = –¹

2(AD – ^AB

4 )² + ^AB2

2 ^ AB2

8 (0,25đ) Vậy SBDEC= SABC– SADE AB²

2 – ^AB2

8 = ³

8AB²không đổi (0,25đ) Do đó min SBDEC =³

8AB² khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)

ĐỀ 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x² – y² – 5x + 5y b) 2x²– 5x – 7

Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng:

Bài 3: Cho phân thức: ₂⁵_x^x_{2 }^₂⁵_x

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định.

b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1.

Bài 4: a) Giải phơng trình : _x^x_^₂^21_x ^ _x(x²_2)

b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)² + 3

Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:

Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trớc kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.

Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đờng cao AH và trung tuyến AM.

a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ?

BIỂU ĐIỂM - ĐÁP ÁN

Đáp án Biểu

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: điểm

a) x² – y² – 5x + 5y = (x² – y²) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y)

= (x - y) (x + y – 5) (1 điểm)

b) 2x² – 5x – 7 = 2x² + 2x – 7x – 7 = (2x² + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1)

= (x + 1)(2x – 7). (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A =

8 4 ) 2 ( ) 4

2 (

) 2 ( 2 ).

2 ( 2 . )

2 (

) 4 2 )(

4 2 ( 2

4 ) 2 [(

2 16 4

(

2

2 2 2

2    





 





 



 



 x x

x x

x x

x x

x x x

x x x

x x x x

x x

Bài 3: (2 điểm)

a) 2x² + 2x = 2x(x + 1) ^ 0

 2x ^ 0 và x + 1 ^ 0

 x ^ 0 và x ^ -1 (1 điểm) b) Rút gọn:

x x

x x x

x x

2 5 ) 1 ( 2

) 1 ( 5 2 2

5 5

2 



 



 (0,5 điểm)

2 2 5

5 2 1

5    x x

x (0,25 điểm)

Vì 2

5 thoả mãn điều kiện của hai tam giác nên

2

5

x (0,25 điểm)

Bài 4: a) Điều kiện xác định: x^0; x ^2 - Giải:

) 2 (

2 )

2 (

2) - (x - 2) x(x

 





x x x

x x² + 2x – x +2 = 2;

 x= 0 (loại) hoặc x = - 1. Vậy S =  1

b) ^x² – 9 < x² + 4x + 7

 x² – x² – 4x < 7 + 9 ^- 4x < 16 ^x> - 4 Vậy nghiệm của phơng trình là x > - 4

1 đ

1đ Bài 5:– Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày

Điều kiện: x nguyên dơng và x > 1

Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày)

- Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực hiện là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề bài ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13

57x – 57 – 50x = 13

7x = 70

x = 10 (thoả mãn điều kiện)

Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày.

Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 . 10 = 500 (sản phẩm)

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1 đ Bài 6: a) Xét ∆ ABC và ∆ HBA, có:

Góc A = góc H = 90⁰; có góc B chung

∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc. góc)

b) áp dụng pitago trong ∆ vuông ABC

ta có : BC = AB² AC² = 15² 20² = 625= 25 (cm) vì ∆ ABC ~ ∆ HBA nên

15 25 20 15  



 hayHB HA

BA BC HA AC HB AB

AH = 12 25

05 .

20  (cm)

BH = 9

25 15 .

15  (cm)

HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)

c) HM = BM – BH = 9 3,5( ) 2

25

2 BH cm

BC    

SAHM =

2

1AH . HM =

2

1. 12. 3,5 = 21 (cm²)

- Vẽ đúng hình: A

1 đ 1 đ 1 đ

1 đ

1đ

B H M C

1 đ

ĐỀ 3 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

a) x² – 4x + 4 = 25

b) ^x₁₉₉₀^{17  x}₁₉₈₆^21₁₀₀₄^{x1  4} c) 4^x– 12.2^x + 32 = 0

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và _x^{1 } _y^{1  1}_z ^0. Tính giá trị của biểu thức: ^{A } _{x2 }^yz_2yz ^ _{y2 }^xz_2xz ^ _{z2 }^xy_2xy

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.

a) Tính tổng _AA^HA_'^' _BB^HB_'^' _CC^HC_'^'

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

c) Chứng minh rằng: _AA^(AB_'2 _BB^BC_'2 ^CA_CC⁾_'2 ⁴ 2 







 .

ĐÁP ÁN

 Bài 1(3 điểm):

a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )

b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )

c) 4^x – 12.2^x +32 = 0 ^2^x.2^x– 4.2^x– 8.2^x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )

2^x(2^x– 4) – 8(2^x – 4) = 0 ^(2^x – 8)(2^x– 4) = 0 ( 0,25điểm )

(2^x – 2³)(2^x–2²) = 0 ^2^x –2³ = 0 hoặc 2^x–2²= 0 ( 0,25điểm )

 2^x = 2³ hoặc 2^x= 2^{2 } x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )

 Bài 2(1,5 điểm):

z 0 1 y 1 x

1    0 xy yz xz 0

xyz xz yz

xy      

 _yz = –xy–xz ( 0,25điểm )

x²+2yz = x²+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y²+2xz = (y–x)(y–z) ; z²+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó:^A _(xy^yz_)(xz) ^ _(yx^xz_)(yz)^ _(zx^xy_)(zy) ( 0,25điểm )

Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

 Bài 3(1,5 điểm):

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d



m2

) 3 d )(

5 c )(

3 b )(

1 a

(     

k2

abcd

m2

1353

abcd  (0,25điểm)

Do đó: m²–k² = 1353

 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33

m = 67 m = 37

k = 56 k = 4 (0,25điểm)

Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

với k, m



(0,25điểm)









hoặc hoặc

 Bài 4 (4 điểm):

Vẽ hình đúng (0,25điểm)

a) _AA^HA_'^'

BC '.

AA 2. 1

BC '.

HA 2. 1 S

S

ABC

HBC   ; (0,25điểm)

Tương tự: CC' ' HC S

S

ABC

HAB  ; _S^S _BB^HB_'^'

ABC

HAC  (0,25điểm)

S 1 S S

S S

S ' CC

' HC '

BB ' HB '

AA ' HA

ABC HAC ABC

HAB ABC

HBC   





 (0,25điểm)

b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

AI IC MA

; CM BI AI NB

; AN AC AB IC

BI    (0,5điểm )

AM . IC . BN CM . AN . BI

BI 1 .IC AC AB AI

.IC BI .AI AC AB MA

.CM NB .AN IC BI











c)Vẽ Cx ^CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)

- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD^ BC + CD (0,25điểm)

-^BAD vuông tại A nên: AB²+AD² = BD²

 AB²+ AD^{2 } (BC+CD)² (0,25điểm)

AB²+ 4CC’^{2 } (BC+AC)²

4CC’^{2 } (BC+AC)²– AB² Tương tự: 4AA’^{2 } (AB+AC)²– BC²

4BB’^{2 } (AB+BC)²– AC² (0,25điểm)

-Chứng minh được : 4(AA’²+ BB’²+ CC’²) ^ (AB+BC+AC)² ' 4

CC '

BB '

AA

) CA BC

AB (

2 2

2

2 







 (0,25điểm)

(Đẳng thức xảy ra ^ BC = AC, AC = AB, AB = BC ^ AB = AC =BC

 ABC đều)

(0,5điểm ) (0,5điểm )



ĐỀ 4 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x² – 7x + 2; b) a(x²+ 1) – x(a² + 1).

Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức :

2 2

2 2 3

2 4 2 3

( ) : ( )

2 4 2 2

x x x x x

A x x x x x

  

  

   

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0?

c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

Câu 3: (5,0 điểm)

a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x² + y² + 2z² – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b) Cho x y z 1

a b c   và a b c 0

x y z   . Chứng minh rằng : x²₂ y₂² z₂² 1 a b c  . Câu 4: (6,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC².

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Nội dung đáp án Điểm

Bài 1

a 2,0

3x² – 7x + 2 = 3x² – 6x – x + 2 = 1,0

= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5

= (x - 2)(3x - 1). 0,5

b 2,0

a(x²+ 1) – x(a²+ 1) = ax² + a – a²x – x = 1,0

= ax(x - a) – (x - a) = 0,5

= (x - a)(ax - 1). 0,5

Bài 2: 5,0

a 3,0

ĐKXĐ :

2

2

2 3

2 0

4 0 0

2 0 2

3 0 3

2 0

x

x x

x x

x x x x x

  

    

     

 

    

  



1,0

2 2 2 2 2 2

2 2 3

2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )

( ) : ( ) .

2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)

x x x x x x x x x x

A x x x x x x x x x

       

    

       1,0

4 2 8 . (2 )

(2 )(2 ) 3

x x x x

x x x

  

   0,5

4 ( 2) (2 ) 4 2

(2 )(2 )( 3) 3

x x x x x

x x x x

 

 

    0,25

Vậy với x0,x 2,x3 thì ^4x2

A 3

 x

 . 0,25

b 1,0

Với 0, 3, 2 : 0 ^{4 2} 0 3

x x x A x

      x 

 0,25

3 0 x

   0,25

3( )

x TMDKXD

  0,25

Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25

c 1,0

7 4 7 4

7 4

x x

x

  

       0,5

11( )

3( )

x TMDKXD x KTMDKXD

 

   0,25

Với x = 11 thì A = ¹²¹

2 0,25

Bài 3 5,0

a 2,5

9x² + y² + 2z² – 18x + 4z - 6y + 20 = 0

(9x² – 18x + 9) + (y² – 6y + 9) + 2(z² + 2z + 1) = 0 1,0

9(x - 1)² + (y - 3)² + 2 (z + 1)² = 0 (*) 0,5 Do : ( 1)x ² 0;(y3)²0;( 1)z ² 0 0,5 Nên : (*)^ x = 1; y = 3; z = -1 0,25

Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25

b 2,5

Từ : a b c 0 ayz+bxz+cxy 0

x  y  z   xyz  0,5

ayz + bxz + cxy = 0 0,25

Ta có : x y z 1 (x y z) 1²

a b c    a b c   0,5

2 2 2

2 2 2 2( ) 1

x y z xy xz yz a b c ab ac bc

       0,5

2 2 2

2 2 2 2 1

x y z cxy bxz ayz

a b c abc

 

     0,5

2 2 2

2 2 2 1( )

x y z dfcm a b c

    0,25

Bài 4 6,0

O F

E

K H

C

A D

B 0,25

a 2,0

Ta có : BE^AC (gt); DF^AC (gt) => BE // DF 0,5

Chứng minh : BEO DFO g c g(   ) 0,5

=> BE = DF 0,25

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25

b 2,0

Ta có: ^{ }ABC ADC HBC KDC^{ } 0,5

Chứng minh : CBH CDK g g(  ) 1,0

. .

CH CK CH CD CK CB CB CD

    0,5

b, 1,75

Chứng minh : AFDAKC g g(  ) 0,25

AF AK AD AK. A .F AC AD AC

    0,25

Chứng minh : CFDAHC g g⁽  ⁾ 0,25

CF AH CD AC

  0,25

Mà : CD = AB CF AH AB AH CF AC. . AB AC

    0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC²

(đfcm). 0,25

ĐỀ 5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1:(4 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (x + y + z)³ – x³ – y³ – z³. b) x⁴ + 2010x² + 2009x + 2010.

Bài 2:(2 điểm)

Giải phương trình:

x 241 x 220 x 195 x 166 10

17 19 21 23

   

    .

Bài 3:(3 điểm) Tìm x biết:

      

      

2 2

2 2

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49

     

       .

Bài 4:(3 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ^{2010x 2680}₂ x 1

 

 .

Bài 5:(4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6:(4 điểm)

Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF        .

a) Chứng minh rằng: BDF BAC^{ } .

b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

ĐỀ 7 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:

P =

2

2 2 2

2 3 2 8 3 : 21 2 8 1

4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3

x x x x

x x x x x x x

   

    

        

 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi ^{x  1}₂

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

d) Tìm x để P > 0.

Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:

a) ²

15 1 12 1 1

3 4 4 3 3

x

x x x x

 

    

     

b)

148 169 186 199 10

25 23 21 19

x x x x

       

c)

x  2 3   5

Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó.

Bài 4 (7 điểm):

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.

a) Tứ giác AMDB là hình gì?

b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

d) Giả sử CP ^ BD và CP = 2,4 cm, ^PD_PB ^ ₁₆⁹ . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 2009²⁰⁰⁸ + 2011²⁰¹⁰ chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2

1 1 2

1 x  1 y  1 x y

  

Đáp án và biểu điểm Bài 1: Phân tích:

4x² – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x² – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x² = (3 + 2x)(7 – 4x)

4x² + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ

Điều kiện:

1 ; 5 ; 3 ; 7 ; 4

2 2 2 4

x  x  x   x  x 

a) Rút gọn P = ²₂ ^x_{x }^{ 3}₅ 2đ

b) ^{x  1}₂ ^{ x 1}₂ hoặc ^{x  }₂¹ +) ^{x  1}₂ _{… P =} ¹

2 +) ^{x  }₂¹  _{…P =} ²

3 1đ

c) P = ²₂ ^x_{x }^{ 3}₅ = ^1 _x²_5 Ta có:

1  Z

Vậy P

 Z

 _{x – 5}



Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}

x – 5 = -2  x = 3 (TMĐK) x – 5 = -1  x = 4 (KTMĐK) x – 5 = 1  x = 6 (TMĐK) x – 5 = 2  x = 7 (TMĐK)

KL: x



d) P = ²_{2 x}^{x }_ ³₅ = ^1 _x²_5 0,25đ

Ta có: 1 > 0 Để P > 0 thì 2

5

x ^{> 0}  x – 5 > 0



Với x > 5 thì P > 0. 0,25

Bài 2:

a) ²

15 1 12 1 1

3 4 4 3 3

x

x x x x

 

    

     

 x 4 15  x x 1  1 12 x 1 4 3  x 1 1 

 

             

x   4; x  1

 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)

… 3x.(x + 4) = 0

 3x = 0 hoặc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)

S = { 0} 1đ

b)

148 169 186 199 10

25 23 21 19

x x x x

       

 148 1 169 2 186 3 199 4 0

25 23 21 19

x x x x

   

           

       

       

 (123 – x) 25 23 21 19^{1 1 1 1}

    

 

 = 0

Do 25 23 21 19^{1 1 1 1}

    

 

 > 0

Nên 123 – x = 0 => x = 123

S = {123} 1đ

c)

x  2 3   5

Ta có:

x    2 0 x

x   2 3

nên

x  2 3   x  2 3 

PT được viết dưới dạng:

2 3 5 x  

 x2 _{= 5 – 3}

 x2 _{= 2}

+) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0

S = {0;4} 1đ Bài 3(2 đ)

Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

3 ( / ) 31 10

3

x  x km h

(3^h20^’ = 3¹

 

3 h _{) 0,25đ}

Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:

 

3 5 /

10

x  km h _0,25đ

Theo đề bài ta có phơng trình:

3 5 .3 10

x x

   

 

 

 x =150 0,5đ

Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ

Vận tốc dự định là: 3.150 45 /

 

10  km h Bài 4(7đ)

Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD.

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM.

 AM//PO

tứ giác AMDB là hình thang. 1đ

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

A B

D C

M O

P

I E

F

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA.

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ c) MAF DBA g g





FA  AB không đổi. (1đ)

d) Nếu ⁹

16 PD

PB  thì PD PB k PD k PB₉  ₁₆   ^{9 ,} ¹⁶k

Nếu ^{CP BD} thì CBD DCP g g

 

PD CP

      _1đ

do đó CP² = PB.PD

hay (2,4)² = 9.16 k² => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm)

PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d

BD = 5 (cm)

C/m BC²= BP.BD = 16 0,5đ

do đó BC = 4 (cm)

CD = 3 (cm) 0,5đ

Bài 5:

a) Ta có: 2009²⁰⁰⁸+ 2011²⁰¹⁰ = (2009²⁰⁰⁸ + 1) + ( 2011²⁰¹⁰– 1) Vì 2009²⁰⁰⁸ + 1 = (2009 + 1)(2009²⁰⁰⁷- …)

= 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 2011²⁰¹⁰ - 1 = ( 2011 – 1)(2011²⁰⁰⁹ + …)

= 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) 1đ Từ (1) và (2) ta có đpcm.

b)

1

1

2

1 x  1 y  1 x y

  

 

         

   

      

2 2

2 2

2

2 2

1 1 1 1 0

1 1 1 1

1 1 1 1 0

1 0 2

1 1 1

x xy y xy

x y x y x y

x xy y xy

y x xy

x y xy

   

           

 

  

   

 

 

  

Vì x 1;y 1 => xy1 => xy ^{1 0}

=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ

ĐỀ 8 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1:

Cho x = ^{2 2 2}

2 b c a

bc

  ; y = ₍^{a2 (b c}₎₂ ⁾²₂

b c a

 

 

Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2:

Giải phương trình:

a, ¹

a b x  = ¹

a+¹

b+¹

x (x là ẩn số) b, ^{(b c)(1 )}₂ ^{a 2}

x a

 

 + ^{(c a)(1 )}₂ ^{b 2}

x b

 

 + ^{(a b)(1 )}₂ ^{c 2}

x c

 

 = 0

(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Bài 3:

Xác định các số a, b biết:

3

(3 1) ( 1)

x x



 = ₃

( 1) a

x + ₂

( 1) b x

Bài 4: Chứng minh phương trình:

2x² – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.

Bài 5:

Cho ^ABC; AB = 3AC

Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C

ĐỀ 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:





A 1 1 :

x x 2x 1 x x

x 1

     

          a/ Thu gọn A

b/ Tìm các giá trị của x để A<1

c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)

a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):

x²+ 2xy + 7x + 7y + y²+ 10

b/ Biết xy = 11 và x²y + xy²+ x + y = 2010. Hãy tính x²+ y² Bài 3 (1,5 điểm):

Cho đa thức P(x) = x²+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x⁴+ 6x²+25 và 3x⁴+4x²+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.

a/ Tính số đo góc DBK.

b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài 5 (1 điểm):

Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6.

ĐỀ 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (3 điểm)

Cho biểu thức A ¹ ₂ ³ : ^x2 ₂ ¹ 3 x 3x 27 3x x 3

 

 

          a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A < -1.

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:

a) y y

y y

y 1 3

2 1 9

6 3 10 3

1

2

2  

 





b)

6 x 1

x 3 x 1 .

3 2

2 4

x 3

2 2

  

 

  

  

Bài 3: (2 điểm)

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h.

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?

Bài 4: (2 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh:

a) BD // MN.

b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.

Bài 5: (1 điểm)

Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4).

Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.

ĐỀ 11 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1:

Phân tích thành nhân tử:

a, (x² – x +2)² + (x-2)²

b, 6x⁵ +15x⁴ + 20x³ +15x²+ 6x +1 Bài 2:

a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a² + b²+ c²= 14.

Tính giá trị của A = a⁴+ b⁴+ c⁴

b, Cho a, b, c ^0. Tính giá trị của D = x²⁰¹¹ + y²⁰¹¹+ z²⁰¹¹ Biết x,y,z thoả mãn: ^x2₂ ^y2₂ ^z₂²

a b c