[PTMH TOAN 2021] DẠNG-16-TÍNH-TÍCH-PHÂN-DỰA-VÀO-TÍNH-CHẤT-GV.docx

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Định nghĩa:

Cho hàm số ^f liên tục trên K và ^{a b,} là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu Flà một nguyên hàm của ^f trên

K thì hiệu số ^{F b( )F a( )} được gọi là tích phân của ^f từ ^a đến bvà kí hiệu là ( )

b

a

f x dx



. Trong trường

hợp a b _{, ta gọi} ^{( )}

b

a

f x dx



là tích phân của ^f trên đoạn

 

^{a b;} _.

Người ta dùng kí hiệu F x( )^b_a

để chỉ hiệu số ^{F b( )F a( )}. Như vậy Nếu ^{F x}

 

là một nguyên hàm của

 

f x trên K thì

( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

f x dx F x F b F a



.

 Tính chất:

Giả sử ^{f g,} liên tục trên K và ^{a b c, ,} là ba số bất kì thuộc K. Khi đó ta có 1) ( ) 0

a

a

f x dx



;

2) ( ) ( )

b a

a b

f x dx  f x dx

 

;

3) ( ) ( ) ( )

b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx

  

 

4) ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

;

5) ( ) ( )

b b

a a

kf x dx k f x dx

 

với k R _.

Chú ý là nếu ^{F x( ) f x( )} với mọi x K _thì ^{F x( )}



^{f x dx( )}

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2020-2021) Nếu ²

 

1

d 5

f x x



và ³

 

2

d 2

f x x 



thì ³

 

1

d f x x



bằng

A.³. B.⁷. C.^10. D.^7.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính giá trị của tích phân dựa vào tính chất.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Nhận xét mối quan hệ giữa các tích phân đã cho và tích phân cần tìm: hàm, cận.

B2: Áp dụng tính chất 3 để tính

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

DẠNG TOÁN 16: TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT

Chọn A

       

3 2 3

1 1 2

d d d 5 2 3

f x x f x x f x x   

  

.

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Biết ²

 

1

d 2

f x x



và ²

 

1

d 6

g x x



, khi đó ²

   

1

d f x g x x

 

 



bằng

A. 8 . B. 4. C. 4 . D. 8.

Lời giải Chọn B

Ta có: ²

   

²

 

²

 

1 1 1

d d d 2 6 4

f x g x x f x x g x x   

 

 

  

. Câu 2. Biết tích phân

1

 

0

3



^{f x dx}

và

1

 

0

 4



^{g x dx}

. Khi đó

   

1

0



 

 



^{f x g x dx}

bằng

A. 7. B. 7_{. C. 1. D. 1.}

Lời giải Chọn C

Ta có

         

1 1 1

0 0 0

3 4 1

f x g x dx f x dx g x dx    

 

 

  

. Câu 3. Cho

1

 

0

d 2

f x x



và

1

 

0

d 5

g x x



, khi

   

1

0

2 d

f x  g x x

 

 



bằng

A. 8 B. 1 C. 3 D. 12

Lời giải Chọn A

Có

       

1 1 1

0 0 0

2 d d 2 d

  

 

 



^{f x g x x}



^{f x x}



^{g x x} _{ 2 2.5 8}

. Câu 4. Cho ²

 

2

d 1

f x x







, ⁴

 

2

d 4

f t t





 

. Tính ⁴

 

2

d f y y



.

A. ^{I 5}. B. ^{I  3}. C. ^{I 3}. D. ^{I  5}. Lời giải

Chọn D

Ta có: ⁴

 

⁴

 

2 2

d d

f t t f x x

 







, ⁴

 

⁴

 

2 2

d d

f y y f x x

 

. Khi đó: ²

 

⁴

 

⁴

 

2 2 2

d d d

f x x f x x f x x

 

 

  

.

     

4 4 2

2 2 2

d d d 4 1 5

f x x f x x f x x

 













    

. Vậy ⁴

 

2

d 5

f y y 



.

Câu 5. Cho

1

0

( )



f x

dx 1;

3

0

( )



f x

dx5_{. Tính}

3

1

( )



f x dx

A. 1. B. 4. C. 6. D. 5.

Lời giải Chọn C

Ta có

3

0

( )



f x

dx =

1

0

( )



f x

dx +

3

1

( )



f x dx

3

1

( )





f x

dx =

3

0

( )



f x dx

1

0

( )





f x

dx = 5+ 1= 6 Vậy

3

1

( )



f x

dx = 6 Câu 6. Cho ²

 

1

d 3

f x x 



và ³

 

2

d 4

f x x



. Khi đó ³

 

1

d f x x



bằng

A. 12. B. 7. C. 1. D. 12.

Lời giải Chọn C

3

 

1

d f x x



²

 

³

 

1 2

d d

f x x f x x









_{  3 4}

1.

Câu 7. Cho

   

0 3

1 0

3 3.

f x dx f x dx



 

 

Tích phân ³

 

1

f x dx



bằng

A. 6 . B. 4 . C. 2 . D. 0 .

Lời giải Chọn B

Có

         

0 3 3 0 3

1 0 1 1 0

3; 1; 3 1 4

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

  

      

    

Câu 8. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  và

4

 

0

d 10 f x x



,

4

 

3

d 4

f x x



. Tích phân

3

 

0

d f x x



bằng

A. 4 . B. 7 . C. 3 . D. 6 .

Lời giải Chọn D

Theo tính chất của tích phân, ta có:

     

3 4 4

0 3 0

d d d

f x x f x x f x x

  

. Suy ra:

3

 

0

d f x x



⁴

 

⁴

 

0 3

d d

f x x f x x









10 4 6.

Vậy

3

 

0

d 6

f x x



.

Câu 9. Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên  thoả mãn ⁸

 

1

d 9

f x x



, ¹²

 

4

d 3

f x x



, ⁸

 

4

d 5

f x x



. Tính

12

 

1

d I 



f x x

.

A. ^I=17. B. I =1. C. I=11. D. ^{I =7}. Lời giải

Chọn D Ta có:

     

12 8 12

1 1 8

d d d

I 



f x x



f x x



f x x

. ⁸

 

¹²

 

⁸

 

1 4 4

d d d 9 3 5 7

f x x f x x f x x













   

Câu 10. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên



^0;10



thỏa mãn

10

 

0

7 f x dx



, ⁶

 

2

3 f x dx



. Tính

   

2 10

0 6

P



f x dx



f x dx .

A. P10. B. P4. C. P7. D. P 6. Lời giải

Chọn B Ta có

       

10 2 6 10

0 0 2 6

f x dx f x dx f x dx f x dx

   

Suy ra

       

2 10 10 6

0 6 0 2

7 3 4 f x dx f x dx f x dx f x dx  

   

.

 Mức độ 2

Câu 1. Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn

 

^1;3 _thoả:

   

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 



,

   

3

1

2f x g x dx6

 

 



. Tính ³

   

1

d f x g x x

 

 



.

A. 7. B. 6. C. 8. D. 9.

Lời giải Chọn B

   

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 



_ ³

 

³

 

1 1

d 3 d 10

f x x g x x

   

₁

.

   

3

1

2f x g x dx6

 

 



_ ³

 

³

 

1 1

2



f x xd 



g x xd 6

 

₂ . Đặt ³

 

1

d X 



f x x

, ³

 

1

d Y 



g x x

. Từ

 

¹ _và

 

² ta có hệ phương trình:

3 10

2 6

X Y

X Y

 

  

 

4 2 X Y

 

  . Do đó ta được:³

 

1

d 4

f x x



và³

 

1

d 2

g x x



.

Vậy ³

   

1

d 4 2 6

f x g x x  

 

 



.

Câu 2. Cho

2

 

0

d 5

f x x







. Tính

2

 

0

2sin d 5

I f x x x







    .

A. ^{I 7}. B. ^{I 5 2}

 

. C. ^{I 3}. D. ^I  ⁵ .

Lời giải Chọn A

Ta có:

   

²

2 2

0 0 0

2sin d d +2 sin d

I f x x x f x x x x

  





   

 

   

2

02 0

d 2cos 5 2 0 1 7

f x x x







     

. Câu 3. Cho ²

 

1

d 2

f x x







và ²

 

1

d 1

g x x





 

. Tính ²

   

1

2 3 d

I x f x g x x







    . A.

17 I  2

. B.

5 I 2

. C.

7 I 2

. D.

11 I  2

. Lời giải

Chọn A

Ta có: ²

   

1

2 3 d

I x f x g x x







    _

   

2 2 2

2

1 1

1

2 d 3 d

2

x f x x g x x

 











 ^{3 2.2 3 1}

 

2  

 17

2 .

Câu 4. Cho hai tích phân ⁵

 

2

d 8





^{f x x}

và

2

 

5

d 3





^{g x x}

. Tính ⁵

   

2

4 1 d







   

I f x g x x

A. 13 . B. 27 . C. 11. D. 3 .

Lời giải Chọn A

   

5

2

4 1 d







   

I f x g x x ⁵

 

⁵

 

⁵

2 2 2

d 4 d d

  





^{f x x}



^{g x x}



^{x 5}

 

⁵

 

⁵

2 2 2

d 4 d d

  





^{f x x}



^{g x x}



^x

   

5 2 5

2 5 2

d 4 d d



 





^{f x x}



^{g x x}



^{x 8 4.3x5}_{2 8 4.3 7 13}

. Câu 5. Cho ²

 

1

4f x 2x dx1

 

 



. Khi đó ²

 

1

f x dx



bằng:

A. 1. B. 3. C. 3 . D. 1.

Lời giải Chọn A

     

   

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2

1 1

4 2 1 4 2 1 4 2. 1

2

4 4 1

f x x dx f x dx xdx f x dx x

f x dx f x dx

       

 

 

   

   

 

Câu 6. Cho

6

0

( )d 12



^{f x x}

. Tính

2

0

(3 )d





I f x x .

A. I 5. B. I 36. C. I 4. D. I 6. Lời giải

Chọn C

Ta có: ^{0 0}

6

2 2

0

1 1 1

(3 )d (3 )d3 ( )d .12 4.

3 3 3













 

I f x x f x x f t t

Câu 7. Cho biết ⁵

 

1

d 15 f x x







. Tính giá trị của

 

2

0

5 3 7 d P



f  x   x

.

A. ^P15. B. ^P37. C. ^P27. D. ^P19. Lời giải

Chọn D

Đặt ^{t 5 3xdt 3dx}

d = 1d x 3 t

 

. Đổi cận: ^x0thì ^t5; ^x2thì ^{t 1}. Ta có:

 

2

0

5 3 7 d

P



f  x   x ²

 

²

0 0

5 3 d + 7d

f x x x









¹

 

²⁰

5

d 7 3 f t t x



 



 ⁵

 

1

1 d 14

3 f t t









1.15 14 19

3   . Câu 8. Cho

4

 

0

2020 d 



^{f x x}

. Tính tích phân

   

2

0

2 4 2 d

I 



f x  f  x  x .

A. I 0. B. I 2020. C. I 4040. D. I 1010. Lời giải

Chọn B Ta có

   

2 2

0 0

2 d 4 2 d

I 



f x x



f  x x H K 

Tính

2

 

0

2 K 



f x dx

.

Đặt t2xdt 2dx; đổi cận: x  0 t 2;x  2 t 4. Nên

4

 

0

1 1010

2 d







K f t t

Tính

 

2

0

d 4 2 H 



f  x x

,

Đặt t 4 2xdt  2dx; đổi cận: x  0 t 4;x  2 t 0. Nên

4

 

0

1 1010

2 d







H f t t

Suy ra I  K H 2020.

Câu 9. Cho ^{y f x}

 

là hàm số chẵn, liên tục trên



^6;6



. Biết rằng ²

 

1

d 8

f x x







; ³

 

1

2 d 3

f  x x



.

Giá trị của ⁶

 

1

d I f x x







là

A. I 5. B. I 2. C. I 14. D. I 11. Lời giải

Chọn C

Ta có ^{y f x}

 

là hàm số chẵn, suy ra ^f



^2x



^{ f}

 

^2x _{. Khi đó:}

   

3 3

1 1

2 d 2 d 3

f  x x f x x

 

. Xét tích phân: 1 ³

 

1

2 d I 



f x x

. Đặt

2 d 2d 1d d

t x t x2 t x

. Đổi cận: x  1 t 2; x  3 t 6.

 1 ⁶

 

⁶

 

⁶

 

2 2 2

1 1

. d d 3 d 6

2 2

I 



f t t



f t t 



f t t ⁶

 

2

d 6

f x x







.

Vậy ⁶

 

²

 

⁶

 

1 1 2

d d d 8 6 14

I f x x f x x f x x

 













  

.

Câu 10. Cho ^{f x}

 

_, ^{g x}

 

là hai hàm số liên tục trên đoạn



^1;1



_và ^{f x}

 

là hàm số chẵn, ^{g x}

 

_là

hàm số lẻ. Biết

1

 

0

d 5

f x x



;

1

 

0

d 7

g x x



. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. ¹

 

1

d 10 f x x







. B. ¹

   

1

d 10 f x g x x



   

 



.

C. ¹

   

1

d 10 f x g x x



   

 



. D. ¹

 

1

d 14 g x x







. Lời giải

Chọn D

Vì ^{f x}

 

là hàm số chẵn nên

   

1 1

1 0

d 2 d 2.5 10

f x x f x x



  

 

. Vì ^{g x}

 

là hàm số lẻ nên ¹

 

1

d 0

g x x







.

 ¹

   

1

d 10 f x g x x



   

 



và ¹

   

1

d 10 f x g x x



   

 



.

 Mức độ 3

Câu 1. Cho hàm số y  f x

 

liên tục trên đoạn



^1;3



thỏa mãn

1

 

0

d 2

f x x



và ³

 

1

d 4

f x x



.

Tính ³

 

1

d f x x





.

A. 6. B. 4. C. 8. D. 2.

Lời giải Chọn C

Vì ^{f x}

 

là hàm chẵn nên ¹

 

¹

 

¹

 

1 0 0

d 2 d 2 d 4

f x x f x x f x x



  

  

.

Ta có: ³

 

¹

 

³

 

1 1 1

d d d

f x x f x x f x x

 

 

  

¹

 

³

 

0 1

2 f x xd f x xd 4 4 8









  

. Câu 2. Biết

2

 

0

d 6 f x x x

 

 



và

   

2

0

3f x g x dx10

 

 



. Tính

   

2

0

2 +3 d

I  



 f x g x  x . A. I 12. B. ^{I 16}. C. ^{I 10}. D. I 14.

Lời giải Chọn D

Ta có

   

²

 

2 2 2 2

0 0 0 0

d 6 d 6 d 4

2

f x x x  f x x x   f x x

 

 

  

.

           

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

3f x g x dx10 3f x xd  g x xd 10 g x xd  3f x xd 10 2

 

 

    

.

   

2

0

2 +3 d 2.4 3.2 14

I 



 f x g x  x   . Vậy ^{I 14}.

Câu 3. Cho ,f g là hai hàm số liên tục trên

 

^1;3 thỏa mãn điều kiện ³

   

1

3 dx=10

f x  g x

 

 



đồng

thời ³

   

1

2f x g x dx=6

 

 



. Tính ³

 

1

4 dx

f x



+2²

 

1

2 1 dx g x



A. ⁹. B. ⁶. C. ⁷. D. ⁸.

Lời giải Chọn B

Ta có: ³

   

1

3 dx=10

f x  g x

 

 



³

 

³

 

1 1

dx+3 dx=10

f x g x



 

.

   

3

1

2f x g x dx=6

 

 



³

 

³

 

1 1

2 f x dx- g x dx=6



 

.

Đặt ³

 

³

 

1 1

dx; v = dx u



f x



g x

.

Ta được hệ phương trình:

3 10

2 6

u v u v

 

  



4 2 u v

 

  

 

 

3

1 3

1

dx=4 dx=2 f x g x



 







+ Tính ³

 

1

4 dx

f x



Đặt t    4 x dt dx;x  1 t 3;x  3 t 1.

         

3 1 3 3

1 3 1 1

4 d dt dt dx 4

f x x f t   f t  f x 

   

. + Tính ²

 

1

2 1 dx g x



Đặt z2x 1 dz 2dx; x  1 z 1;x  2 z 3.

     

2 3 3

1 1 1

1 1

2 1 d dz dx 1.

2 2

g x x g z  g x 

  

Vậy ³

 

1

4 dx

f x



+2²

 

1

2 1 dx = 6 g x



.

Câu 4. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  thỏa

1

 

0

d 2

f x x



và

 

2

0

3 1 d 6

f x x



. Tính

7

 

0

d I 



f x x

A. ^{I 16}. B. ^{I 18}. C. ^{I 8}. D. ^{I 20}. Lời giải

Chọn D

1

 

0

d 2

A



f x x ,

 

2

0

3 1 d 6 B



f x x

đặt ^{t3x 1 dt3dx}. Đổi cận :

0 1

2 7

  

  

x t

x t

Ta có: ⁷

 

⁷

 

⁷

 

1 1 1

1 dt 6 dt 18 d =18

B3



f t  



f t  



f x x . Vậy

     

7 1 7

0 0 1

d d d 20

I 



f x x



f x x



f x x .

Câu 5. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  và thỏa mãn ⁴



²



0

tan .x f cos x xd 2







và

 

2 ln2

d 2

ln

e

e

f x

x x x



.

Tính

 

2

1 4

2 d

f x x x



.

A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 8 .

Lời giải Chọn D

* ⁴



2



⁴



²



1 2

0 0

1 cos

tan . cos d .sin2 d

2 cos

f x

I x f x x x x

x

 









. Đặt cos²x t sin 2 dx x dt.

Đổi cận

x ₀

4



t 1 1

2

Khi đó

1

 

2 1

1

1 d

2

I f t t

 



t

 

1

1 2

d 4

f t t





t  .

*

   

2 2 2 2

e e

2 2

e e

ln 1 ln 2ln

d . d

ln 2 ln

f x f x x

I x x

x x x x









. Đặt ln²x t

2lnxd d x t

 x 

. Đổi cận

x e e²

t 1 4

Khi đó

 

4 2

1

1 d

2

I f t t





t ⁴

 

1

d 4

f t t





t  .

* Tính

 

2

1 4

2 d

f x

I x





x

. Đặt 2x t d 1

x 2dt

  . Đổi cận

x ¹

4 2

t 1

2 4

Khi đó

     

4 1 4

1 1 1

2 2

d d d 4 4 8

f t f t f t

I t t t

t t t













  

.

Câu 6. Cho hàm số f x

 

liên tục trên  và thỏa mãn

 

¹⁶

 

2 2

1 4

cot . sin d f x d 1

x f x x x

x





 

 

. Tính tích

phân

 

1

1 8

4 d

f x x x



.

A. ^{I 3}. B.

3 I 2

. C. I 2. D.

5 I 2

. Lời giải

Chọn D

Đặt

 

2 2

1 4

cot . sin d 1

I x f x x











,

 

16 2

1

d 1

f x

I x





x  .

+ Đặt tsin²x dt2sin .cos dx x x 2sin .cot d² x x x 2 .cot dt x x.

 

2 2

1 4

cot . sin d

I x f x x









¹

 

1 2

. 1 d f t 2 t





t ¹

 

1 2

1 d

2

f t t





t

   

1 4

1 8

1 4 2 4 d 4

f x x x



  

1 4

1 8

1 4 2 d

f x x x





.

Suy ra

1

 

4

1 1

8

4 d 2 2

f x

x I

x  



+ Đặt t x 2 dt t dx.

 

16 2

1

f x d

I x





x ⁴

 

²

1

f t 2 d t t t





⁴

 

1

2 f t d t t



    

1

1 4

2 4 d 4

4 f x

x x





¹

 

1 4

2 f 4x d x x





.

Suy ra

 

1

2 1

4

4 1 1

d 2 2

f x

x I

x  



Khi đó, ta có:

 

¹

   

1 4 1

1 1 1

8 8 4

4 4 4

d d d

f x f x f x

x x x

x  x  x

  

₂ ^{1 5}

2 2

   . Câu 7. Biết ⁴

 

1

d 5



^{f x x}

và ⁵

 

4

d 20



^{f x x}

. Tính

   

2 ln 2

2 2

1 0

4 3 



^{f x dx}



^{f e x e xdx}

. A.

15 I 4

. B. I 15. C.

5 I  2

. D. I 25.

Lời giải Chọn A

Đặt t4x 3 dt 4dx thì

         

2 5 4 5

1 1 1 4

1 1 1 25

4 3 5 20

4 4 4 4

 

       

 



^{f x dx}



^{f t td}



^{f t td}



^{f t td}

. Đặt ^{u e 2xdu2e2xdx} thì

   

ln 2 4

2 2

0 1

1 5

2 2

 



^{f e x e xdx}



^{f u ud}

. Vậy

25 5 15

4 2 4

I    .

Câu 8. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  thỏa mãn ^f

 

^{2x 3f x}

 

_{,  x } . Biết rằng

1

 

0

d 1

f x x



.

Tính tích phân

2

 

1

d I 



f x x

.

A. I 5. B. I 6. C. I 3. D. I 2. Lời giải

Chọn A Ta có:

         

1 1 1 1

0 0 0 0

3 3.1 3. d 3 d 2 d 1 2 d 2 ,

f x x f x x f x x 2 f x x x

 















 ^

. Đặt: ^{2x t d 2}

 

^{x dt}_{, với x  0 t 0; x  1 t 2.}

       

1 2 2

0 0 0

1 1 1

3 2 d 2 d d ,

2 f x x 2 f t t 2 f x x x

 











 ^

(do hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  ).

 ²

 

0

d 6, f x x  x



^{ 1}

 

²

 

0 1

d d 6,

f x x f x x x









  ^

.

2

 

1

1 f x xd 6, x

 



  ^ .

2

 

1

d 5,

f x x x





  ^ .

Câu 9. Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ thỏa mãn

3 8 3

2

0 1

( )

tan . (cos )d d 6



 



^{x f x x}



^f _x^{x x}

. Tính tích

phân

2 2

1 2

( )d



^{f x}_x ^x

A. 4 . B. ⁶. C. ⁷. D. ¹⁰.

Lời giải Chọn C

+) Đặt t³ x  t³ x 3 dt t² dx Đổi cận x  1 t 1 và x  8 t 2. Khi đó

8 3 2 2

2 3

1 1 1

( ) (t) (t)

d  3 d 3 d 6



^f _x^{x x}



^f_t ^{t t}



^f_t ^{t 2}

1

(t)d 2





^f_t ^t

+) Đặt

2 2 1

cos d 2 cos sin d d 2cos tan d tan d d

         2

t x t x x x t x x x x x t

t Đổi cận: x  0 t 1 và

1

3 4

  

x t

.

Khi đó

1

3 4 1

2

0 1 1

4

1 (t) (t)

tan . (cos )d d 6 d 12

2



    



^{x f x x}



^f_t ^t



^f_t ^t

+) Đặt

2 2d d 1 d

d 2 d d 2

     x x 2 t

t x t x x t x

x x t

Đổi cận:

1 1

2 4

  

x t

và x 2 t 2 Khi đó

2 2 2 1 2

1 1 1 1

2 4 4

( ) 1 (t) 1 (t) 1 (t) 2 12

d d d d 7

2 2 2 2

     



^{f x}_x ^x



^f_t ^t



^f_t ^t



^f_t ^t

 Mức độ 4

 Mức độ 4

Câu 1. Cho hàm số ^{y  f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{0; 1} , thỏa mãn

   

1 1

0 0

d d 1

f x x xf x x

 

và

1

 

2 0

d 4

f x x

 

 



. Giá trị của tích phân

1

 

3 0

d f x x

 

 



bằng

A. 1_{. B. 8 . C. 10 . D. 80 .}

Lời giải Chọn C

Xét

   

1 2

0

d f x  ax b x

 

 



¹

 

^{2 1}

   

¹

 

²

0 0 0

d 2 . d d

f x x f x ax b x ax b x





  



   





     

¹

1 1

3

0 0 0

4 2 d 2 d 1

a xf x x b f x x 3 ax b

 







 a  ^{4 2}

 

^{2 2}

3

a b a ab b

     

. Cần xác định ^{a b,} để ²



²



^{2 2 4 0}

3

a  b a b   b

Ta có: ^{ b24b 4 4}₃



^b22b4



^{  }



^b₃ ²



^{2 0} _{    b 2 a 6}

. Khi đó:

   

1 2

0

6 2 d 0

f x   x x

 

 



_{ f x}

 

_6x2

Suy ra

   

1 1

3 3

0 0

d 6 2 d

f x x x x

 

 

   

⁴¹

0

1 6 2 10

24 x

  

.

Câu 2. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn ^{f x}

 

^0 _khi ^x

 

^{1, 2} _.

Biết ²

 

1

' 10

f x dx



và

   

2

1

' ln 2

f x f x dx



. Tính ^f

 

² _.

A. ^f

 

^{2  10}_{. B.} ^f

 

^{2 20}_{. C.} ^f

 

^{2 10}_{. D.} ^f

 

^{2  20}_.

Lời giải Chọn B

Ta có: ²

   

₁²

   

1

' 2 1 10

f x dx f x  f  f 



(gt)

           

 

2 2

1 1

' 2

ln ln 2 ln 1 ln ln 2

1

f x f

dx f x f f

f x         f 



(gt)

Vậy ta có hệ:

   

   

 

 

2 1 10

2 20

2 2 1 10

1

f f

f f f f

  



 

   

 



Câu 3. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

 

^4;8 _và ^f

 

^{0 0} _với ^{ x}

 

^4;8 _{. Biết}

rằng

 

 

8 2

4 4

f x 1 f x dx

  

  

 

 



và

 

^{4 1,}

 

^{8 1}

4 2

f  f 

. Tính ^f

 

⁶ _.

A.

5

8. B.

2

3 . C.

3

8 . D.

1 3. Lời giải

Chọn D

+) Xét

     

         

8 8

2 2

4 4

1 8 1 1

2 4 2

4 8 4

f x df x

f x dx f x f x f f

 

          

 

.

+) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để

   

8 2 2 4

f x 0 f x k dx

  

 

 

 

 



.

Ta có:

     

 

     

2

8 2 8 8 8

2 2 2

4

2 2

4 4 4 4

2 1 4 4 2 1

f x f x f x

k dx dx k dx k dx k k k

f x f x f x

  

              

 

   

   

   

.

Suy ra:

1 k 2

thì

     

   

 

8 2 6 6

2 2 2

4 4 4

1 1 1

2 0 2 2

f x f x f x

dx dx dx

f x f x f x

    

     

 

 

 

  

             

6 2 4

1 6 1 1 1 1

1 1 1 4 1 6

4 4 6 6 3

df x f

f x f x f f f





           

.

Câu 4. Cho hàm số ^{y  f x}

 

có đạo hàm ^{f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^0;5 và đồ thị hàm số ^{y f x }

 

trên đoạn

 

^0;5 được cho như hình bên.

5

3 5 1

O x y

Tìm mệnh đề đúng

A. ^f

 

^{0  f}

 

^{5  f}

 

³ _{. B.} ^f

 

^{3  f}

 

^{0  f}

 

⁵ _.

C. ^f

 

^{3  f}

 

^{0  f}

 

⁵ _{. D.} ^f

 

^{3  f}

 

^{5  f}

 

⁰ _.

Lời giải Chọn C

Ta có

     

5

3

d 5 3 0

f x x  f  f 



, do đó ^f

 

^{5  f}

 

³ _.

     

3

0

d 3 0 0

f x x  f  f 



, do đó ^f

 

^{3  f}

 

⁰ _.

     

5

0

d 5 0 0

f x x  f  f 



, do đó ^f

 

^{5  f}

 

⁰ _.

Câu 5. Biết rằng hàm số ^{f x}

 

^{a x2  bx c} thỏa mãn

   

1 2

0 0

d 7, d 2,

f x x  2 f x x 

 

3

 

0

d 13 f x x 2

 

_{a b c, , }



. Tính giá trị của biểu thức P a b c   A.

3 P  4

. B.

4 P  3

. C.

3 P  8

. D.

3 P  4

. Lời giải

Chọn B Ta có

 

^{3 2 3 2}

0 3 2 0 3 2

d a b d a b

f x dx x  x cx  d  d cd



.

Do đó:

 

 

 

1

0 2

0 3

0

d 7 2

d 2

d 13 2 f x x

f x x

f x x

  



  



 









7

3 2 2 1

8 2 2 2 3

3 9 13 16

9 2 3 2 3

a b c

a

a b c b

a b c c

     

  

 

       

 

      

 . Vậy

4 P a b c    3

.

Câu 6. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên 0;2

 

 

  _{thỏa mãn} ^{2 2}

   

0

2 2 sin d 2

4 2

f x f x x x



 

      

  

 



. Tích phân

2

 

0

d f x x





bằng

A. ⁴



. B. 0 . C. 1_{. D.} 2

 . Lời giải

Chọn B