Tuyển chọn các bài toán về hàm số – Đặng Việt Hùng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM

§ÆNG VIÖT HïNG

TUYỂN CHỌN

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ (P1)

(KHÓA LUYỆN THI 2015 – 2016)

Sách hay, chỉ TẶNG chứ không BÁN!

(2)

CHỦ ĐỀ 1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số ²

2 y x

= x

− , có đồ thị

( )

^C ^{. Vi}^ế^{t ph}^ương trình tiếp tuyến của

( )

^C ^t^ạ^{i các}

giao điểm của

( )

^C ^v^ớⁱ^đườ^{ng th}^ẳ^ng^y⁼³^x⁻³^.

Lời giải:

Phương trình giao đ_iể_{m 2}đồ_thị_là ² ³ ³ ²

(

^{2 3}

)(

³

)

³ ² ¹¹ ⁶ ⁰

2= − ⇔ = − − ⇔ − + =

−

x x x x x x x

x

( )

2 2

3 3; 1

3 3;3

  

= ⇒  − 

⇔  

 = ⇒



x M

.

Với

( )

²

( )

2 9

2 4 '

3 4

2 ' 2

' 3 4

  

 = −

= − ⇒ = − − ⇒  = − x y

y y

x x

y Phương trình tiế_{p tuy}ế_{n t}ạ_iđ_iể_m ²_{; 1}

3

 

 − 

 

M là 9 2 9 1

1 .

4 3 4 2

 

= −  − − = − +

 

y x x

Phương trình tiếp tuyến tại điểm ^M

( )

^3;3 ^là^y^{= −}⁴

(

^x^{− + = − +}³

)

³ ⁴^x ^15.

Câu 2:[ĐVH]. Cho hàm số y=₂x³−₂x²+₅, có đồ_thị

( )

^C ^{. Tìm}^M^∈

( )

^C sao cho tiế_{p tuy}ế_{n v}ớ_i

( )

^C ^t^ại M vuông góc vớ_iđườ_{ng th}ẳ_ng_x₊₂_y_{− =}₆ ₀_. Lời giải:

Gọi ^{M m m}

(

^{; 2} ³⁻²^m²⁺⁵

)

^.

3 2 2

2 2 5 ' 6 4

= − + ⇒ = − ⇒

y x x y x x phương trình tiếp tuyến tại M có hệ số góc k=6m²−4m . Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+2y− =6 0hay 3

= − +2x

y nên

6m2−4m=2

( )

2

1 1;5

6 4 2 0 1 1 127

3 3 ; 27

 = ⇒

⇔ − − = ⇔  = − ⇒ − 

m M

m m

m M

Câu 3:[ĐVH]. Cho hàm số y=x⁴−4x²

( )

^C ^{. Tìm}^M^∈

( )

^C sao cho tiếp tuyến với

( )

^C ^t^ạ^{i M}^đⁱ

qua điểm ^A

( )

^0;1 ^.

Lời giải:

Gọ_i^{M m m}

(

^; ⁴⁻⁴^m²

)

^.

Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :

( )

⁴ ²

(

³

) ( )

⁴ ²

' 4 4 8 4 .

= _m − + − = − − + −

y y x m m m m m x m m m

Tiếp tuyến qua ^A

( )

^0;1 ^nên

( ) ( )

2

3 4 2 4 2

2

1

1 4 8 0 4 3 4 1 0 1

3

 =

= − − + − ⇔ − + = ⇔ = m

m m m m m m m

m

( )

1 1; 3

1 1 11

; 9

3 3

 = ± ⇒ ± −

⇔  

= ± ⇒ ± − 

  



m M

m M là các điểm cần tìm.

(3)

Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số ⁶ ⁵

( )

1

= + +

y x C

x . Tìm M thuộc

( )

^C sao cho tiếp tuyến qua M cắt Ox và Oy lần lượt tại A và B sao cho OA=4OB.

Lời giải:

Ta có

( )

²

6 5 1

' .

1 1

= + ⇒ =

+ +

y x y

x x

Gọi 6 5

; 1

M m m m

+

 

 

+

  là điểm thuộc đồ thị cần tìm.

Phương trình tiếp tuyến tại 6 5

; 1

M m m m

+

 

 + 

  có dạng

( )

2

( )

1 6 5

1 . 1

y x m m

m m

= − + +

+ +

Phương trình giao đ_iể_{m v}ớ_{i Ox:}

( )

2

( )

0

1 6 5

1 0 1

y

x m m m m

=



+

 − + =

 + +



(

²

)

2

0 6 10 5; 0

6 10 5

y A m m

x m m

=

⇔ ⇒ − − −

= − − −



Phương trình giao điểm với Oy:

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

2 2

0

6 10 5

0 6 5 6 10 5 0; .

1 1

x

m m

m m m m B

y m

m m m

=

  + + 

 − + + + ⇒  

 = + =  + 

 + + +  

 Theo bài

( )

2 2

2

6 10 5 0

6 10 5

4 6 10 5 4. 4

1 1

1

m m vo nghiem

m m

OA OB m m

m m

 + + =

+ + 

= ⇔ + + = + ⇔ = +

2

1 1;11 2 3 0 2

3 3;13

2

m M

m m

m M

  

= ⇒  

  

⇔ + − = ⇔

 _ _

= − ⇒ −

  

 



Câu 5:[ĐVH]. Cho hàm số ^y^{= −}^x³ ³

(

^m⁺¹

)

^x²⁺⁴^x^{− +}^m ¹

( )

^C^m ^{. G}^ọⁱ^∆^{là ti}^ế^{p tuy}^ế^{n c}^ủ^a

( )

^C^m

tạ_{i giao}đ_iể_{m c}ủ_a

( )

^C^m ^v^ớ^{i tr}^ụ^{c tung. Vi}^ế^{t ph}^ươ^{ng trình}^∆^bi^ế^{t kho}^ả^{ng cách t}^ừ ^A

(

^{2; 1}⁻

)

^đếⁿ^∆

bằng 34 .

Lời giải:

0 1

x= ⇒ y = −m suy ra ^B

(

^0;1⁻^m

)

^{là giao}^đⁱ^ể^{m c}^ủ^a

( )

^C^m ^v^ớ^{i tr}^ụ^{c tung.}

Ta có: ^y^'⁼³^x² ⁻⁶^{x m}

(

^{+ +}¹

)

⁴^⇒ ^y^{' 0}

( )

⁼⁴^{suy ra ph}^ương trình tiế_{p tuy}ế_{n c}ủ_a

( )

^C^m ^đi qua B là:

( ) ( )

:y 1 m 4 x 0 4x y 1 m 0

∆ − − = − ⇔ − + − =

( ) ( ) ( )

( )

²

2

4. 2 1 1 6 17 2

; 34 6 17 2

6 17 2

4 1

m m

d A m

m

− − − + −  = − +

⇒ ∆ = = ⇒ + = ⇔

= − −

+ − 

Vậ_{y ph}ương trình tiế_{p tuy}ế_{n c}ầ_{n tìm là:}₄_x_{− + −}_y _{7 17 2} ₌₀_hoặ_{c 4}_x_{− + +}_y _{7 17 2} ₌₀_. Câu 6:[ĐVH]. Cho hàm số ³ ¹

1 y x

x

= +

− , có đồ_thị

( )

^C ^{. Vi}^ế^{t ph}^ương trình tiế_{p tuy}ế_{n c}ủ_a

( )

^C ^t^ạⁱ

điểm x bi₀ ết x là nghi₀ ệm của phương trình y′′ + − =y 15 0. Lời giải:

(4)

Ta có

( )

²

( )

³

4 4 8

3 ' ''

1 1 1

y y y

x x x

= + ⇒ = − ⇒ =

− − −

Ta có

( )

³

( )

³

8 4 4 2

'' 15 0 3 15 0 6 0 2

1 1

y y x

x x

+ − = ⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ =

− −

Ta có ^y

( )

² ⁼⁷^,^y^{' 2}

( )

^{= −}⁴^{suy ra ph}^ương trình tiếp tuyến cần tìm là:

( )

7 4 2 4 15

y− = − x− ⇔ = − +y x

Câu 7:[ĐVH]. Cho hàm số ^y ⁼^x⁴ ⁻^{2 2}

(

^m⁺¹

)

^x² ^{− −}^m ¹

( )

^C^m ^{. G}^ọ^{i A là}^đⁱ^ểm có hoành độ dương mà

( )

^C^m ^luôn^đ^{i qua v}^ớ^{i m}^ọⁱ^m^{. Vi}^ế^{t ph}^ương trình tiếp của hàm số tại A khi m=1.

Lời giải:

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

4 2 4 2 4 2 2

2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 4 1

y=x − m+ x − − ⇔ −m y x = m+ x − − ⇔ −m y x + x = m+ x −

Gọ_i^{A x}

(

⁰^,^y⁰

)

^{ta có:} ⁰2 ⁰⁴ ⁰² ⁰ 0

0

1

2 0 2

4 1 0 7

16 y x x x

x y

 =

 − + = 

 

⇔

 

− =

 

 _{= −}



(Do x₀ >0 ) 1 7 2; 16

A 

⇒  − 

 

Khi m=1 ta có ⁴ ² ³ 1 11

6 2 ' 4 12 '

2 2

y x x y x x y  

= − − ⇒ = − ⇒  = −

 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 7 11 1 11 37

16 2 2 2 16

y x  y x

+ = −  − ⇔ = − +

 

Câu 8:[ĐVH]. Cho hàm số: ²

( )

1

y x C

x

= −

+ . Viết phương trình tiếp tuyến của

( )

^C ^t^ạ^i.

a)Giao điểm của

( )

^C ^v^ớ^{i tr}^ụ^{c hoành.}

b)Giao điểm của

( )

^C ^v^ớ^{i tr}^ụ^{c tung.}

Lời giải:

Ta có:

( )

²

' 3

1 y

= x +

a) Phương trình trục hoành là: y=0. Do đó y₀ =0⇒x₀ =2. Khi đó:

( )

0 2

0

3 1

' 1 3

y x x

= =

+ Do đó phương trình tiếp tuyến là: ¹

(

²

)

⁰ ¹

(

²

)

3 3

y= x− + = x− .

b)Phương trình trục tung là: x=0. Do đó x₀ =0⇒ y₀ = −2. Khi đó:

( )

0 2

0

' 3 3

1 y x

x

= =

+ Do đó phương trình tiếp tuyến là: ^y⁼³

(

^x^{− −}⁰

)

²^hay^y⁼³^x⁻²^.

Câu 9:[ĐVH]. Cho hàm số ^y⁼^x⁴⁻⁴^x²⁺¹

( )

^C ^{. Vi}^ế^{t ph}^ương trình tuyến tuyến của

( )

^C ^t^ạⁱ^đⁱ^ể^m

x thoã mãn 0 điều kiện ^y^''

( )

^x⁰ ⁼⁴^.

Lời giải:

Ta có: y'=4x³−8x suy ra y'' 12= x²−8.

Do đó: ^y^''

( )

^x⁰ ⁼¹²^x⁰²^{− = ⇔}⁸ ⁴ ^x⁰² ^{= ⇔}¹ ^x⁰ ^{= ±}¹^.

Xét 2 trường hợp:

+) Với ^x⁰ ⁼¹^⇒^y⁰ ^{= −}^{2; '}^{y x}

( )

⁰ ⁼⁴^x³⁰⁻⁸^x⁰ ^{= −}⁴^{. Do v}^ậ^{y ph}^ương trình tiếp tuyến là:

( )

4 1 2

y= − x− −

(5)

Hay y= − +4x 2.

+) Vớ_i^x⁰ ^{= −}¹^⇒ ^y⁰ ^{= −}^{2; '}^{y x}

( )

⁰ ⁼⁴^x⁰³⁻⁸^x⁰ ⁼⁴^{. Do v}^ậ^{y ph}^ương trình tiế_{p tuy}ế_{n là:}

( )

4 1 2

y= x+ − Hay y=4x+2.

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= − +4x 2 và y=4x+2. Câu 10:[ĐVH]. Cho hàm số: ^y^{= + − +}^x³ ^x² ^x ²

( )

^C ^.

a)Tìm toạđộ giao điểm của

( )

^C ^{và tr}^ụ^c^Ox.

b)Viết phương trình tiếp tuyến của

( )

^C ^t^ại các giao điểm đó.

Lời giải:

a)Phương trình hoành độ giao điểm của

( )

^C ^{và tr}^ụ^c^Ox^là:^x³^{+ − + =}^x² ^x ² ⁰

(

^x ²

) (

^x² ^x ¹

)

⁰ ^x ²

⇔ + − + = ⇔ = − . Vậy toạđộ giao điểm của

( )

^C ^{và tr}^ụ^{c Ox là}^A

(

⁻^{2; 0}

)

^.

b)Phương trình tiếp tuyến có dạng: ^y⁼ ^f ^'

( )(

^x⁰ ^x⁻^x⁰

)

⁺^y⁰^.

Trong đó ta có: x₀ = −2;y₀ =0. ^f ^'

( )

^x ⁼³^x²⁺²^x⁻¹^⇒ ^f ^'

( )

^x⁰ ⁼ ^f ^'

( )

^{− =}² ⁷^.

Vậy phương trình tiếp tuyến là: ^y⁼⁷

(

^x⁻²

)

^.

Câu 11:[ĐVH]. Cho hàm số ¹ ⁴

(

¹

)

² ²

y=2x − m+ x + −m , có đồ thị

( )

^C^m ^{. Tìm}^m ^đề^ti^ế^{p tuy}^ếⁿ

củ_a

( )

^C^m ^t^ạⁱ^đⁱ^ểm có hoành độ _x_{= −}₂ đ_{i qua g}ố_{c t}ọ_ađộ_{O .} Lời giải:

+) TXĐ_:_D₌ℝ. Ta có ^y^{′ =}²^x³⁻²

(

^m⁺¹

)

^x^.

+) Tiế_{p tuy}ế_{n c}ủ_a

( )

^C^m ^t^ạⁱ^đⁱ^ể^m^M

(

^{− −}^{2; 3}^m⁺²

)

^{có h}^ệ^s^ố^{góc là}^k⁼ ^y^′

( )

^{− =}² ⁴^m⁻²⁰^.

Khi đó, phương trình tiếp tuyến d tại M là ^y⁼

(

⁴^m⁻²⁰

)(

^x^{+ −}²

)

³^m⁺²^.

+) Vì d đi qua gốc tọa độ O nên ⁰ ^{2 4}

(

²⁰

)

³ ² ⁵ ³⁸ ⁰ ³⁸

m m m m 5

= − − + ⇔ − = ⇔ = .

Vậy 38

m= 5 là giá trị cần tìm.

Câu 12:[ĐVH]. Cho hàm số ² ¹

( )

2

y x C

x

= −

+ . Gọ_iI là giao đ_iể_{m 2 ti}ệ_{m c}ậ_{n c}ủ_{a hàm s}ố_{. Vi}ế_t phương trình tiế_{p tuy}ế_{n c}ủ_a

( )

^C ^qua^M^∈

( )

^C ^bi^ế^t ⁵

IM = 2 IO và M có hoành độ_dươ_ng.

Lời giải:

Ta có tiệm cận đứng của

( )

^C ^là^x^{= −}²^{, ti}^ệ^{m c}^ậ^{n ngang c}^ủ^a

( )

^C ^là^y⁼²

Suy ra ^I

(

⁻^{2; 2}

)

^⇒^IO² ⁼⁸^.

Gọ_i _;² ¹ 2 M m m

m

−

 

 

+

  . Ta có 5 ² 5 ²

2 4 10

IM = IO⇒IM = IO =

(

²

)

² ² ¹ ² ² ¹⁰

(

²

)

² ⁵ ² ¹⁰

(

²

)

² ⁵ ² ⁵

2 2

m m m m m

m m

− −

   

⇒ + + −  = ⇒ + +  = ⇔ + = ⇒ = − +

+ +

   

(do x_M >0) Ta có

( )

²

( )

5 5

2 ' ' 2 5 1

2 2

y y y

x x

= − ⇒ = ⇒ − + =

+ +

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

(6)

( ) ( ) ( )

2 2 5 1

2 5 2 5 2 5 4 2 5

5

y − + − x y x y x

− = − − + ⇔ − − = + − ⇔ = + −

DẠNG 2. TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số ² ¹

3 2

y x x

= −

+ , có đồ_thị

( )

^C ^{. Vi}^ế^{t ph}^ương trình tiế_{p tuy}ế_{n d c}ủ_a

( )

^C

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x−28y+ =4 0. Lời giải:

+) TXĐ: 2

\ 3 D − 

=  

 

ℝ . Ta có:

( ) ( )

( )

²

( )

²

2 3 2 3 2 1 7

3 2 3 2

x x

y

x x

+ − −

′ = =

+ + ^.

+) Gọ_i ₀ ⁰

0

2 1

; ,

3 2

M x x x

 − 

 

 +  ^vớ_i ₀ ²

x ≠ ⁻3 là tiế_pđ_iể_{m c}ủ_{a ti}ế_{p tuy}ế_nd vớ_iđồ_thị

( )

^C ^{. Do}^{d song}

song với đường thẳng x−28y+ =10 0 hay 1 5

28 14

y= x+ nên

( )

0

1

y x′ = 28. Ta có phương trình:

( ) ( ) ( )

( )

0

2 0

0 0

0

3 2 14 4

7 1

3 2 196 16

3 2 14

3 2 28

3 x tm x x

x _x _tm

x

 = + =

 

= ⇔ + = ⇔ + = − ⇔ =−

+ 



.

+) Với ₀ 1

4 4;

x = ⇒M^_ 2^_

 . Phương trình tiếp tuyến d là: ¹

(

⁴

)

¹

28 2

y= x− + hay 1 5

28 14

y== x+ (loại).

+) Vớ_i ₀ ¹⁶ ^{16 5}_;

3 3 6

x =− ⇒M^_− ^_

 . Phươ_{ng trình}_{d là:} ¹ ¹⁶ ⁵

28 3 6

y x 

=  + +

  ^hay

1 43

28 42

y= x+ (tm).

Vậy 1 43

28 42

y= x+ là đường thẳng d cần tìm.

Câu 2:[ĐVH]. Cho hàm số y=2x³−3x²+5, có đồ thị

( )

^C ^{. Tìm}^M^∈

( )

^C sao cho tiếp tuyến của

( )

^C ^t^ại M vuông góc với đường thẳng x+12y− =7 0. Lời giải:

+) TXĐ: D=ℝ. Ta có: y′ =6x²−6x.

+) Gọi ^{M x}

(

⁰^{; 2}^x³⁰⁻³^x⁰²⁺⁵

)

^là^đⁱ^ể^{m c}^ầ^{n tìm. Ti}^ế^{p tuy}^ế^{n d c}^ủ^a

( )

^C ^t^ạ^{i M có h}^ệ^s^ố^{góc là}

2

0 0

6 6

k = x − x .

Vì d vuông góc với đường thẳng x+12y− =7 0 hay 1 7

12 12

y=− x+ nên k=12.

Ta có phương trình ₀² ₀ ₀² ₀ ⁰

0

6 6 12 2 0 1

2

x x x x x

x

= −

− = ⇔ − − = ⇔

=

 ^.

+) Với ^x⁰ ^{= −}¹^⇒^M¹

(

⁻^{1; 0}

)

^.

+) Với x0 =2⇒M2

( )

2;9 _.

Vậy ^M¹

(

⁻^{1; 0}

)

^và^M²

( )

^2;9 ^{là các}^đⁱ^ể^{m c}^ầ^{n tìm.}

Câu 3:[ĐVH]. Cho hàm số ² ³ 4 ² 1

y=3x − x − +x , có đồ thị

( )

^C ^bi^ế^{t ti}^ế^{p tuy}^ến song song với đường thẳng 7x+ − =y 1 0. Lời giải:

Gọi ^{M x y}

(

⁰^; ⁰

)

^{là ti}^ế^p^đⁱ^ể^m^⇒^H^ệ^s^ố^{góc c}^ủ^{a ti}^ế^{p tuy}^ế^{n là}^{y x}^'

( )

⁰

(7)

Ta có y'=2x²− −8x 1

Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng 7x+ − =y 1 0^⇒^{y x}^'

( )

⁰ ^{= −}⁷

( )( )

2 1

2 8 1 7 1 3 0

3

x x x x x

x

=

⇒ ₋ _{− = −} ⇒ ₋ _{− =} ⇒  ₌



( )

( ) ( )

1 0 1

2 0

2

7 1 7 11

7 3 3

7 1

y y x y x

y y x

y x loai

− = − − 

  _{= − −}

⇒ ₋ _{= −} ₋ ⇒ _{= − +}

Vậy phương trình tiếp tuyến của

( )

^C ^là ⁷ ¹¹

y= − −x 3 Câu 4:[ĐVH]. Cho hàm số ³ ²

1 y x

x

= −

+ , có đồ thị

( )

^C ^bi^ế^t

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5x+ − =y 12 0. Lời giải:

Gọi ^{M x y}

(

⁰^; ⁰

)

( )

⁰

Ta có

( )

²

' 5

1 y

= x +

Theo giả thiết, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5x+ − =y 12 0 ^'

( )

⁰ ¹

y x 5

⇒ =

( ) ( ) ( )

( )

1 0 1

2 2

2 0 2

1 1 6

4 4

5 1 5 5 5

1 25

6 1 1 26

1 5 6

5 5 5

y y x y x

x x

x x y y x y x

 

− = − = +

 

=

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ − = + ⇒ = +

( )

^C ^là ¹ ⁶^; ¹ ²⁶

5 5 5 5

y= x+ y= x+

Câu 5:[ĐVH]. Cho hàm số

2 2

x m

y x m

= −

+ , có đồ_thị

( )

^C^m ^{. Tìm}^m ^đề^ti^ế^{p tuy}^ế^{n c}^ủ^a

( )

^C^m ^t^ạ^{i giao}

đ_iể_{m c}ủ_ađồ_thị_{hàm s}ố_vớ_{i tr}ục tung song song vớ_iđườ_{ng th}ẳ_{ng 5}_x_{− +}_y ₁₇₌₀_. Lời giải:

Gọi ^{M x y}

(

⁰^; ⁰

)

( )

⁰

Ta có

( ) ( )

( )

2 2

2

2 2

x m m m ' m m

y y

x m x m

+ − + +

= ⇒ =

+ +

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là nghiệm của phương trình:

2 0

0 2 0 x

x m x

y x m

=



⇒ =

 = −

 +



(

⁰^; ⁰

) (

^0; ⁰

)

M x y M y

⇒ =

Phương trình tiếp tuyến của

( )

^C^m song song với đường thẳng 5x− + =y 17 0.

( )

²

' 2

0 2

2 0

5 5 3 0 1

3 m m m

y x m m

m m

=

+ 

⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒

 =

 Khi m=0⇒ y₀ không có giá trị_.⇒ Loạ_i

Khi 1

m=3 ⇒ ⁰ ^'

( )(

⁰ ⁰

)

² ⁵

(

⁰

)

⁵ ²

3 3

y−y = y x x−x ⇒y+ = x− ⇒ y= x−

(8)

Vậy ¹ m=3

Câu 6:[ĐVH]. Cho hàm số ¹ ⁴

(

¹

)

² ⁴ ³

y=8x + m− x − m+ , có đồ thị

( )

^C^m ^{. Tìm m}^m ^đề^ti^ế^{p tuy}^ếⁿ

củ_a

( )

^C^m ^t^ạ^{i t}^ạⁱ^đⁱ^ểm A vuông góc vớ_iđườ_{ng th}ẳ_{ng 2}_x_{+ + =}_y ₃ ₀_,ởđ_{ó A là}đ_iể_{m c}ốđị_{nh có} hoành độ âm của hàm sốđã cho.

Lời giải:

Gọ_i^{A x y}

(

⁰^; ⁰

)

( )

⁰

Ta có ¹ ⁴

(

¹

)

² ⁴ ³ ^'

( )

³ ²

(

¹

)

8 2

y= x + m− x − m+ ⇒ y x = x + m− x A là điểm cốđịnh có hoành độ âm của hàm sốđã cho nên

( ) ( )

( )

4

4 2 2 0 2

0 0 0 0 0 0

2 0 4 0 0 2

0 0 0

1 1 4 3 4 3 0

8 8

4 2

1 2;1

3 0

8

y x m x m m x x x y

x x

x A

x y y

 

= + − − + ⇒ − + − − + =

 

 =

= −



⇒  ⇒ ⇒ −

− − + =  =

 

 



Đề tiếp tuyến của

( )

^C^m ^t^ạ^{i t}^ạⁱ^đⁱ^ể^mA vuông góc với đường thẳng 2x+ + =y 3 0

( )

⁰ ¹ ⁰³

( )

⁰ ¹

' 2 1

2 2 2

y x x m x

⇒ = ⇒ + − = 1

m 8

⇒ = −

Thử lại, ta có 1 ⁴ 9 ² 7

8 8 2

y= x − x + ,

PT tiếp tuyến: ¹ ²³ ² ¹ ^{1 . 2}

(

²

)

¹ ¹

(

²

)

¹ ²

2 8 2 2

y −    x y x y x

− = + − −  −  + ⇒ − = + ⇒ = +

 

Vậ_y ¹

m= −8 là giá trị_cầ_{n tìm.}

Câu 7:[ĐVH]. Cho hàm số y= −x³ ₃x²+₂, có đồ_thị

( )

^C

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng đi qua 2 điểm ^A

( ) (

^{0;3 ,}^B ^{1; 6}⁻

)

^.

Lời giải:

Gọ_i^{M x y}

(

⁰^; ⁰

)

( )

⁰

Ta có y= −x³ 3x²+2⇒ y^'=3x²−6x

Tiếp tuyến đi qua 2 điểm ^A

( ) (

^{0;3 ,}^B ^{1; 6}⁻

)

^{thì h}^ệ^s^ố^{góc c}^ủ^{a ti}^ế^{p tuy}^ế^{n là}

( )

' 0

6 3 9

1 0

B A

y y

y x x x

− − −

⇒ = = = −

− −

( )( ) ( )

( )

1 0 1

2

0 0

2 0 2

9 1 9 11

3 6 9 1 3 0 1

3 9 3 9 29

y y x y x

x x x x x

x y y x y x

 − = − + = − −

= − 

⇒ − = − ⇒ + − = ⇒ = ⇒ − = − − ⇒ = − +

9 11; 9 29

y x y x

⇒ = − − = − +

( )

^C ^y^{= − −}⁹^x ^11;^y^{= − +}⁹^x ²⁹

Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số ¹

( )

1

y x C

x

= − −

− . Viết phương trình tiếp tuyến của

( )

^C ^bi^ế^{t ti}^ế^{p tuy}^ếⁿ

có hệ số góc bằng 2 .

(9)

Lời giải:

Ta có:

( ) ( )

²

' 2

1 f x

= x

− . Vì tiếp tuyến có hệ số góc k =2 nên ta có: ^f ^'

( )

^x⁰ ⁼²

( )

2

(

⁰

)

² ⁰

0 0

2 0

2 1 1

1 2

x x x x

=

⇔ = ⇔ − = ⇔

−  =

+) Với x₀ ₌0^⇒y₀ ₌1. Phương trình tiếp tuyến là: ^y⁼²

(

^x^{− +}⁰

)

¹^hay^y⁼²^x⁺¹^.

+) Với x₀ =2⇒y₀ = −3. Phương trình tiếp tuyến là: ^y⁼²

(

^x^{− −}²

)

³^hay^y⁼²^x⁻⁷^.

Vậ_{y có 2 ph}ương trình tiế_{p tuy}ế_{n là:}_y₌₂_x₊₁_và_y₌₂_x₋₇_.

Câu 9:[ĐVH]. Cho hàm số: ^y^{= −}^x³ ³^x²⁻⁴

( )

^C ^bi^ế^{t ti}^ế^p

tuyến song song với đường thẳng d y: =9x+5

Lời giải:

Do tiế_{p tuy}ến song song vớ_iđườ_{ng th}ẳ_{ng d nên h}ệ_số_{góc c}ủ_{a ti}ế_{p tuy}ế_{n là}_k ₌₉_.

Ta có: ^f ^'

( )

^x ⁼³^x²⁻⁶^x^{. Xét ph}^ươ^{ng trình:}

( )

⁰ ⁰² ⁰ ⁰² ⁰ ⁰

0

' 3 6 9 3 6 9 0 1

3

f x x x x x x

x

= −

= − = ⇔ − − = ⇔ = +) Vớ_i_x₀ _{= −}₁⇒ _y₀ = −₈. Phương trình tiế_{p tuy}ế_{n là:}^y⁼⁹

(

^x^{+ −}¹

)

⁸^hay^y⁼⁹^x⁺¹

(

^{t m}^/

)

^.

+) Vớ_i_x₀ ₌₃⇒_y₀ = −₄. Phương trình tiế_{p tuy}ế_{n là:}^y⁼⁹

(

^x^{− −}³

)

⁴^hay^y⁼⁹^x⁻³¹

(

^{t m}^/

)

^.

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: y=9x+1 và y=9x−31. Câu 10:[ĐVH]. Cho hàm số: ^y^{= +}^x³ ³^x²⁻⁴

( )

^C ^.

a)Viết phương trình tiếp tuyến d của

( )

^C ^t^ạⁱ^đⁱ^ểm có hoành độ x₀ = −3.

b) Với đường thẳng d ở câu a hãy viết phương trình tiếp tuyến ∆ của

( )

^C ^bi^ế^{t ti}^ế^{p tuy}^ế^{n song}

song với đường thẳng d.

Lời giải:

Ta có : ^f ^'

( )

^x ⁼³^x²⁺⁶^x

a) Ta có: x₀ = −3⇒ y₀ = −4, ^f ^'

( )

^x⁰ ⁼ ^f ^'

( )

^{− =}³ ⁹

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: ^y⁼⁹

(

^x^{+ −}³

)

⁴^hay^y⁼⁹^x⁺²³

( )

^d ^.

b)Do ∆/ /d⇒k_∆ =k_d =9. Xét phương trình

( )

⁰ ⁰² ⁰ ⁰

0

' 3 6 9 1

3 f x x x x

x

=

= + = ⇔ = −

+) Với x₀ = −3⇒ y₀ = −4 ( loại vì khi đó ∆ trùng với d ).

+) Với x₀ =1⇒y₀ =0. Phương trình tiếp tuyến là: ^y⁼⁹

(

^x⁻¹

)

^.

Câu 11:[ĐVH]. Cho hàm số: ^y⁼^x⁴⁻⁴^x²⁺¹

( )

^C ^bi^ế^{t ti}^ế^p

tuyến vuông góc với đường thẳng d x: +16y− =4 0. Lời giải:

Viết lại đường thẳng d ta có: 1 1

: 16 4

d y=− x+ suy ra hệ số góc của d là 1

d 16 k =− .

Vì tiếp tuyến của

( )

^C vuông góc với đường thẳng d nên ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k=16. Xét phương trình ^f ^'

( )

^x⁰ ^{= − ⇔}⁴ ⁴^x⁰³⁻⁸^x⁰ ⁼¹⁶^⇔^x⁰³⁻²^x⁰^{− = ⇔}⁴ ⁰ ^x⁰ ⁼²^⇒^y⁰ ⁼¹^.

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: ^y⁼¹⁶

(

^x^{− +}²

)

¹^hay^y⁼¹⁶^x⁻³¹^.

DẠNG 3. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM Câu 1:[ĐVH]. Cho hàm số ² ¹

( )

1

y x C

x

= +

− . Viết phương trình tiếp tuyến của

( )

^C ^.

a) Tại điểm có hoành độ x=2.

(10)

b) Biết tiếp tuyến đi qua điểm ^A

(

^{4; 1}⁻

)

^.

Lời giải:

Ta có:

( )

²

' 3

1 f x

x

= −

− .

a) Ta có : ^x⁰ ⁼²^⇒ ^y⁰ ⁼⁵^⇒ ^f ^'

( )

^x⁰ ⁼ ^f ^{' 2}

( )

^{= −}³^.

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: ^y^{= −}³

(

^x^{− +}²

)

⁵^hay^y^{= − +}³^x ¹¹

b)Phương trình tiếp tuyến của

( )

^C ^t^ạⁱ^đⁱ^ể^m ⁰ ⁰

( )

0

2 1

; 1

M x x C

x

 + ∈

 

 −  ^là:

( )

2

(

⁰

)

⁰

0 0

2 1

3 1 1

y x x x

x x

− +

= − +

− − .

Vì tiếp tuyến đi qua ^A

(

^{4; 1}⁻

)

nên ta có:

( )

2

(

⁰

)

⁰

0 0

2 1

1 3 4

1 1

x x x x

+

− = − − +

− −

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

² ⁰

0 0 0 2 2

0 0 0 0

2 2

0 0 0

3 4 2 1 1 2

1 1 2 2 11 3 12

1 1 2

x x x x

x x x

− + −  =

⇔ − = − + − ⇔ − − = + − ⇔ = ⇔ = −

+) Với x₀ =2 ta có phương trình tiếp tuyến là: ^y^{= −}³

(

^x^{− +}²

)

⁵^hay^y^{= − +}³^x ¹¹

+) Với x₀ = −2 ta có phương trình tiếp tuyến là: ¹

(

²

)

¹

y= −3 x+ + hay 1 1

3 3

y=− x+

Câu 2:[ĐVH]. Cho hàm số_:^y^{= −}^x³ ²^x⁺²

( )

^C ^.

a)Tại điểm có hoành độ x=0. b)Biết tiếp tuyến đi qua gốc toạđộ O.

Lời giải:

Ta có: y'=3x²−2

a) Ta có: x₀ =0⇒ y₀ =2 và ^{y x}^'

( )

⁰ ⁼ ^y^{' 0}

( )

^{= −}²^.

Do vậ_{y ph}ương trình tiế_{p tuy}ế_{n là:}^y^{= −}²

(

^x^{− +}⁰

)

²^hay^y^{= − +}²^x ²^.

b) Phương trình tiếp tuyến của

( )

^C ^t^ạⁱ^đⁱ^ể^m^{M x x}

(

⁰^; ³⁰⁻²^x⁰^{+ ∈}²

) ( )

^C

là: ^y⁼

(

³^x⁰²⁻²

) (

^x⁻^x⁰

)

^{+ −}^x⁰³ ²^x⁰⁺²^.

Vì tiếp tuyến đi qua ^O

( )

^{0; 0} nên ta có: ⁰⁼

(

³^x⁰² ⁻^{2 0}

) (

⁻^x⁰

)

^{+ −}^x⁰³ ²^x⁰⁺²

3

0 0

2x 2 0 x 1

⇔ − + = ⇔ =

Vớ_i_x₀ ₌₁_{ta có ph}ương trình tiế_{p tuy}ế_{n là: y}₌_x_.

Câu 3:[ĐVH]. Cho hàm số: ^y⁼^x⁴⁻³^x²

( )

^C ^{. Vi}^ế^{t ph}^ương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua a)Gốc toạđộ ^O

( )

^{0; 0} ^.

b)Qua điểm ^A

(

⁻^{36; 0}

)

Lời giải:

Gọi ^{M x x}

(

⁰^; ⁰⁴⁻³^x⁰²

)

^{là to}^ạ^độ^ti^ế^p^đⁱ^ể^m.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: ^y⁼

(

⁴^x⁰³⁻⁶^x⁰

) (

^x⁻^x⁰

)

^{+ −}^x⁰⁴ ³^x⁰²

a) Vì tiếp tuyến đi qua ^O

( )

^{0; 0} nên ta có: ⁰⁼

(

⁴^x⁰³⁻⁶^x⁰

) (

⁰⁻^x⁰

)

^{+ −}^x⁰⁴ ³^x⁰²

( )

⁰

4 2 2 2

0 0 0 0

0

3 3 0 1 0 0

1

x x x x x

x

=

⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = ± +) Với x₀ =0 phương trình tiếp tuyến là: y=0.

(11)

+) Với x₀ =1 phương trình tiếp tuyến là: ^y^{= −}²

(

^x^{− −}¹

)

²^hay^y^{= −}²^x^.

+) Với x₀ = −1phương trình tiếp tuyến là: ^y⁼²

(

^x^{+ −}¹

)

²^hay^y⁼²^x^.

b) Vì tiế_{p tuy}ế_nđ_{i qua}^O

( )

^{0; 0} nên ta có: ^{− =}³⁶

(

⁴^x³⁰⁻⁶^x⁰

) (

⁰⁻^x⁰

)

^{+ −}^x⁰⁴ ³^x⁰²

4 2 4 2

0 0 0 0

3x 3x 36 x x 12 0.

⇔ − + = − ⇔ − − = Đặt ^t⁼^x⁰²

(

^t^≥⁰

)

^{ta có:} ²

( )

12 0 4

3 t t t

t loai

=

− − = ⇔

 = − Khi đó x₀² = ⇔4 x₀ = ±2.

• Với x₀ =2 phương trình tiếp tuyến là: ^y⁼²⁰

(

^x^{− +}²

)

⁴^hay^y⁼²⁰^x⁻³⁶

• Với x₀ = −2phương trình tiếp tuyến là: ^y^{= −}²⁰

(

^x^{+ +}²

)

⁴^hay^y^{= −}²⁰^x⁻³⁶

Câu 4:[ĐVH]. Cho hàm số: ^y^{= −}^x³ ³^{x C}

( )

^{. Vi}^ế^{t ph}^ương trình tiếp tuyến của

( )

^C ^bi^ế^{t ti}^ế^{p tuy}^ếⁿ

đi qua điểm ^A

(

^{1; 3}⁻

)

^.

Lời giải:

Ta có y'=3x²−3

( )

^C ^t^ạⁱ^đⁱ^ể^m^{M x x}

(

⁰^; ⁰³⁻³^x⁰

)

^là:^y⁼

(

³^x⁰²⁻³

) (

^x⁻^x⁰

)

^{+ −}^x⁰³ ³^x⁰

Vì tiếp tuyến đi qua điểm ^A

(

^{1; 3}⁻

)

nên ta có: ^{− =}³

(

³^x⁰² ⁻^{3 1}

) (

⁻^x⁰

)

^{+ −}^x⁰³ ³^x⁰

0

3 2

0 0

0

2 3 0 3

2 x

x x

x

=



⇔ − + = ⇔ =



•Với x₀ =0 phương trình tiếp tuyến là: y= −3x

•Với ₀ 3

x =2 phương trình tiếp tuyến là: 15 3 9

4 2 8

y x 

=  − −

  hay 15 27

4 4

y= x− .

Vây có 2 phương trình tiế_{p tuy}ến thoã mãn là: y= −3x hoặ_c ¹⁵ ²⁷

4 4

y= x− .

Câu 5:[ĐVH]. Cho hàm số y= −x³ 3x²+2, có đồ thị

( )

^C

biết tiếp tuyến đi qua ^M

( )

^{1; 0} ^.

Lời giải:

Ta có: y'=3x²−6x

( )

^C ^t^ạⁱ^đⁱ^ể^m^{A x x}

(

⁰^; ³⁰⁻³^x⁰²⁺²

)

^là:

(

³ ⁰² ⁶ ⁰

) (

⁰

)

⁰³ ⁶ ⁰² ²

y= x − x x−x + −x x +

Vì tiếp tuyến đi qua điểm ^M

( )

^{1; 0} nên ta có: ⁰⁼

(

³^x⁰²⁻⁶^x⁰

) (

¹⁻^x⁰

)

^{+ −}^x³⁰ ³^x⁰²⁺²

2 3 3 2 3 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

9x 3x 6x x 3x 2 0 2x 6x 6x 2 0 x 1

⇔ − − + − + = ⇔ − + − + = ⇔ =

Với x₀ =1 phương trình tiếp tuyến là: ^y^{= −}³

(

^x⁻¹

)

^hay^y^{= − +}³^x ³

Vây có phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y= − +3x 3 Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số ² ¹

2 y x

x

= +

− , có đồ_thị

( )

^C ^bi^ế^t

tiếp tuyến đi qua ^M

(

^{2; 5}⁻

)

^.

Lời giải:

Ta có: ²

(

²

)

⁵ ₂ ⁵

2 2

y x

x x

= − + = +

− − ⇒

( )

²

' 5

2 y

x

= − −

(12)

( )

^{C t}^ạⁱ^đⁱ^ể^m ⁰

0

; 2 5 A x 2

x

 

+

 

 −  là:

( )

2

(

0

)

0 0

5 5

2 2

2

y x x

x x

= − − + +

− −

Vì tiếp tuyến đi qua điểm ^M

(

^{2; 5}⁻

)

nên ta có:

( )

2

(

⁰

)

0 0

5 5

5 2 2

2 2

x x

x

− = − + +

− −

0 0

10 4

2 7 x 7

⇔ x = − ⇔ =

− Với ₀ 4

x =7 phương trình tiếp tuyến là: 49 4 3

20 7 2

y x 

= −  − −

  hay 49 1

20 10 y= − x− .

Vây có phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: 49 1

20 10

y= − x−

Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y= −x³ 6x²+9x−1, có đồ thị

( )

^C ^{. Tìm}^M^∈

( )

^C sao cho tiếp tuyến của

( )

^C ^t^ạ^{i M}^đ^{i qua}^đⁱ^ể^m^M

( )

^0;3 ^.

Lời giải:

Ta có: y'=3x²−12x+9

Phương trình tiế_{p tuy}ế_{n c}ủ_a

( )

^C ^t^ạⁱ^đⁱ^ể^m^{A x x}

(

⁰^; ³⁰⁻⁶^x⁰²⁺⁹^x⁰⁻¹

)

^là:

(

³ ⁰² ¹² ⁰ ⁹

) (

⁰

)

⁰³ ⁶ ⁰² ⁹ ⁰ ¹

y= x − x + x−x + −x x + x −

Vì tiếp tuyến đi qua điểm