Hướng dẫn giải các dạng toán sự tương giao của đồ thị hàm số – Đặng Việt Đông - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

(2)

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1: Số giao điểm của đường cong y  x

³

 2 x

²

 2 x  1 và đường thẳng

y 1 x

bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

3 2 3 2

2 2 1 1 2 3 0 0.

x  x  x  xx  x  x x

Vậy đường cong và đường thẳng có 1 giao điểm.

Câu 2: Tìm số giao điểm của đồ thị   C : y  x

³

  x 2 và đường thẳng

yx1

.

A.

2.

B. 3

.

C. 0

.

D.

1.

Chọn đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm:

x³x2 x 1 x³  1 x1

. Vậy   C và đường thẳng

y x1

chỉ có

1

giao điểm.

Câu 3: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

y x⁴4x²1

và đường thẳng

y 3.

A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 4. .

Chọn đáp án B.

Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm:

x⁴4x²   1 3 x⁴4x²40 x² 2 x  2

. Câu 4: Tung độ giao điểm của đồ thị các hàm số y  x

³

 3 x

²

 2, y   2 x  8 là :

A. 2. B. 4. D. 0. D. 6.

Xét phương trình hoành dộ giao điểm:

x³3x²2 2x8x³3x²2x 6 0

       

2 2

3 2 3 0 3 2 0 3

x x  x   x x    x

 y   2.3 8   y  2 . Câu 5: Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

2

2 3

2

x x

y x

 

  và đường thẳng

y x 3

là A.  3; 0 

^.

B.  2; 3   . C.   1;0  . D.   3;1  .

Phương trình hoành độ giao điểm  

2

2 3

3 2

2

x x

x

 

  



3; 0

x y

  

.

Phương pháp:

Cho 2 hàm số có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’):

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’).

(3)

Tọa độ giao điểm là  3; 0  .

Câu 6: Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số 2x 3 y 3

x

 

 và đường thẳng

y x 1

là:

A. 0 . B. 3 . C.

1

. D.  3 .

Chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm là: 2 3

²

1 0 0

3

x x x x

x

      

 . Do đó

y 1

.

Câu 7: Đường thẳng   d

^y^{ }^x ¹

cắt đồ thị   C của hàm số

² ⁵ 1 y x

x

 



tại hai điểm phân biệt. Tìm các hoành độ giao điểm của   d và   C .

A.

x1;x2.

B.

x0;x1.

C. x   1

.

D. x   2 .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của   d và   C : 2 5 1

²

4 2

1 2 x x

x x

 

        

 

.

Câu 8: Tọa độ giao điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 của đường  

^: ³ ¹

1 C y x

x

 



  d : y   x 1 là:

A. A  0; 1   . B. A  0;1  . C. A   1; 2  . D. A   2;7  .

Hoành độ giao điểm của   C và   d là nghiệm của phương trình

3 1

1 1

x x

x

  



( x  1 )

2

0

3 1 1

3 x x x

x

 

        (thỏa mãn điều kiện).

Hoành độ nhỏ hơn 1 nên ta chọn x  0  y  1 . Vậy tọa độ điểm cần tìm là A  0;1  .

Câu 9: Cho hàm số y  x

⁴

 4 x

²

 2 có đồ thị   C và đồ thị   P : y   1 x

²

. Số giao điểm của   P và

đồ thị   C là

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Phương trình hoành độ giao điểm:

4 2 2 4 2

4 2 1 3 3 0

x  x   x x  x  

2

3 21

0 2

2

3 21 0 3 21

2 2

x x

   

   

 

  

      

  

 

.

Câu 10: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số

² ³ 1 y x

x

 



với trục tung

(4)

A. 3 2 ;0 .

 

 

  B.  0;3 .  C. 3 ;0 .

2

 

  

  D.  0; 3 .  

Đồ thị cắt

Oyx0

, thay x  0 vào hàm số

² ³ 1 y x

x

 



, ta được

y 3

. Câu 11: Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x

⁴

 7x

²

 6 và y  x

³

 13x là

A. 1. B. 2 . C.

3

. D. 4 .

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

x⁴7x² 6 x³13x

  

²

 

4 3 2

x 1

x x 7x 13x 6 0 x 1 x 2 x 3 0 x 2

x 3

 

              

  



.

Câu 12: Cho hàm số

² ¹

 

1

 



y x C

x

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng .

B.

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng của tập xác định của nó.

C.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng .

D.

Đồ thị hàm số   C có giao điểm với

Oy

tại điểm .

Giao điểm của đồ thị hàm số   C với

^Oy

là điểm  0; 1   .

Câu 13: Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số

yx x² ²3

y2.

A. n  6. B. n  8. C. n  2. D. n  4.

Vẽ đồ thị hàm số

_y__x²_x²_₃

bằng cách suy ra từ đồ thị   C : y  x

⁴

 3 x

²

bằng cách

- Giữ nguyên đồ thị (C) phần phía trên trục hoành.

- Lấy đối xứng đồ thị (C) phần dưới trục hoành qua trục hoành.

Khi đó đt y =2 cắt đồ thị hàm số

yx²x²3

tại 6 điểm phân biệt.

Câu 14: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị

² ¹ 1 y x

x

 



với đường thẳng

y  1 3x

?

A.

A   2;5 ,  B  1; 1   .

^B.

A   2;5 ,  B  0;1  .

^C.

A  2;5 ,  B  0; 1   .

^D.

A   2;5 ,  B  0; 1   .

TXD: x  1 .

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là :

  

²

0    

2 1

3 1 2 1 1 3 1 3 6 0 2;5 ; 0; 1

1 2 x x

x x x x x x A B

x x

 

                   

 

. Câu 15: Đồ thị hàm số y  x

²

 7 x  5 và đồ thị hàm số

8

2

9 11 1

x x

y x

 

  có bao nhiêu điểm chung?

x 1 y2

1; 0 2

 

 

 

(5)

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho :

2

8 9 11

7 5

1

x x

x

 

  



3 2 2 2

7 7 5 5 8 9 11

1

x x x x x x x

x

        

    

3

7 6 0

1 x x x

   

    

3 2 1 x x x

  

   

  

Vì phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt nên hai đồ thị đã cho có 3 giao điểm phân biệt.

Câu 16: Đồ thị của hàm số

y 4x⁴2x² 1

và đồ thị của hàm số

y x²  x 1

có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A.

3

. B.

1

. C.

2

. D.

4

.

Phương trình hoành độ giao điểm :

⁴ ² ² ⁴ ²

0

1 4 3 0 3

2

4 2 1

x

x x x

x x x x

 

        



  

Vậy hai đồ thị có 3 điểm chung.

Câu 17: Đồ thị của hàm số y   x

³

 3 x

²

 2 x  1 và đồ thị của hàm số y  3x

²

 2 x  1 có tất cả bao nhiêu điểm chung ?

A.

1

. B. 3 . C.

2

. D. 0 .

Số điểm chung là số nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ:

3

2

2 1 3

2

2 1

3

4 0 0; 2

x x x x x x x x x

              Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên số điểm chung là 3.

Câu 18: Gọi

M N,

là giao điểm của đường thẳng

y x 1

và đường cong

² ⁴ 1 y x

x

 



. Hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng:

A.

⁵

2

. B. 1. C. 2 . D.

⁵

2

.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng

y x 1

và đường cong

² ⁴ 1 y x

x

 



là nghiệm của phương trình x  1

² ⁴

1 x x

 



,  x  1 

2 2 5 0

x x

   

.

Ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x

₁

,

₂

khác 1 và

¹ ² 1 2 x x



. Do đó x

_I

 1 . Câu 19: Đồ thị hàm số

² ¹

5 y x

x

 



y  x 1

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

A B,

.

Tìm hoành độ trung điểm

I

của đoạn thẳng

AB

(6)

A.

x_I 1

. B.

x_I  2

. C.

x_I 2

. D.

x_I  1

.

Phương trình hoành độ giao điểm

²_x^x_^₅¹^{ }^x ¹



^x ^{ }^{5 .}



 

2

1,2

2 1 ( 1)( 5) 5 .

2 4 0 1 .

' 5 0.

1 5.

x x x x

x x

x

     

   

  

  

Đồ thị và đường cắt nhau tại hai điểm

^A



^{ }¹ ^{5; 2}^{ } ^{5 ;}

 

^B ^{ }¹ ^{5; 2}^{ } ⁵

 .

Có

I

là trung điểm của

AB

.

 I( 1; 2) 

.

Câu 20: Biết rằng đồ thị hàm số

yx⁴ 3x² 5

y 9

A x y



1; 1

 ,

B x y



2; 2

 . Tính

x₁x₂

A.

x₁x₂ 3

. B.

x₁x₂ 0

. C.

x₁x₂ 18

. D.

x₁x₂ 5

.

Phương trình hoành độ giao điểm là:

⁴ ² ⁴ ² 2

3 5 9 3 4 0

2

x x x x x

x

 

          

Vậy tổng hai nghiệm là

x₁x₂ 0

Câu 21: Biết đường thẳng

y 3x4

cắt đồ thị hàm số

4 2 1 y x

x

 



tại hai điểm phân biệt có tung độ là

y₁

và

y₂

. Tính

y₁y₂

A.

y₁y₂ 10

. B.

y₁y₂ 11

. C.

y₁y₂ 9

. D.

y₁y₂ 1

.

Phương trình hoành độ giao:

4 2 ²

3 4 3 3 6 0

1

x x x x

x

      





^x ^¹



1 2

1 1

2 10

x y

    

    

Vậy

y¹y² 11

.

Câu 22: Đồ thị   C của hàm số

y ²^x ⁸ x

 

cắt đường thẳng

:y x

tại hai điểm phân biệt A và B . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

A. I   1;1  . B. I   2; 2  . C. I  3; 3   . D. I  6; 6   .

(7)

Ta có: phương trình hoành độ giao điểm của

( )C

và  :

²x ⁸ ( 0) x x x

   

.

2 2

2 8 2 8 0

4 4

x y

x x x x

x y

   

                . Gọi

I x y( _I; _I)

là trung điểm đoạn thẳng AB .

Suy ra :

4 2 1

2

2 4 1

2

I

x y

  

  

 

  

  

 

( 1;1)

I 

.

Câu 23: Đồ thị hàm số y  x

³

 3 x

²

 2 x  1 cắt đồ thị hàm số y  x

²

 3 x  1 tại hai điểm phân biệt

, .

A B

Tính độ dài đoạn

AB

A. AB  3 . B. AB  2 2 . C.

AB2

. D.

AB1

.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

3 2 2

3 2 1 3 1

x  x  x x  x  x³4x²5x 2 0 ¹

2

1 2 x x

 

   

1 2

1 1 y y

  

     Suy ra A  1; 1 ,   B  2; 1  

Vậy AB   2 1  

²

    1 1 

²

 1 .

Câu 24: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

1 y x

 x



và đường thẳng

y x

A. 3 . B.

1

. C.

2

. D. 0 .

 

2 2

: 1

1

2 0 0

2

   



 

            x x DK x

x

x x x x x x

x

yx³ x 2

có đồ thị   C . Tìm tọa độ giao điểm của   C và trục tung A.

(0; 2) .

B.

(1; 0).

C.

( 2; 0) .

D.

(0;1). Hướng dẫn giải:

Gọi M x y  ;  là giao điểm của đồ thị   C với trục tung.

Khi đó ta có x  0

y 2

. Vậy M  0; 2   .

Câu 26: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  x

⁴

 2 x

²

và đồ thị hàm số y  x

²

 2 .

A.

4

. B.

2

. C. 3 . D.

1

.

Phương trình hoành độ giao điểm là

(8)

4 2 2 4 2

2

2 2 3 2 0 2

1 1

  



 

       

  



   x

x x x x x x

x x Vậy có 4 giao điểm của hai đồ thị.

² ¹ 1 y x

x

 



. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A. Đồ thị hàm số cắt

Oy

tại điểm  0; 2  . B. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I  1;2  .

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 . D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

y2

.

Ta có:

² ¹

1 y x

x

 



.

Khi x 0 y 1 suy ra đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm (0; 1) .

³

1 y x

x

 



và đường thẳng.

y x 2



A

;

A



A x y và. B x 

B

; y

B

 . Tính y

_A

 y

_B

.

A. y

_A

 y

_B

  2 . B. y

_A

 y

_B

 2 . C. y

_A

 y

_B

 4 . D. y

_A

 y

_B

 0 .

Xét phương trình hoành độ giao điểm 3

²

2 5

2 2 1 0

1 2 5

x x

x x x

x x

  

        

   

Giả sử A  2  5; 5 ;   B 2  5;  5   y

^A

 y

^B

 0.

Câu 29: Biết đường thẳng y   x 2 cắt đồ thị

² ¹ 1 y x

x

 



tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt x x

_A

,

_B

hãy tính tổng x

_A

 x

_B

A. x

_A

 x

_B

 2 . B. x

_A

 x

_B

 1 . C. x

_A

 x

_B

 5 . D. x

_A

 x

_B

 3 .

Pt hoành độ giao điểm:

2

5 1 0

2 1

2 5.

1 1

^A ^B

x x

x x x x

x x

   

       

  

³ 1 y x

x

 



y x 2



A

;

A



A x y , B x 

B

; y

B

 . Khi đó x

_A

 x

_B

bằng

A.

4.

B. 4

.

C.

2 5 .

D.

2.

TXD: x   1 .

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là :

(9)

  

² ²

2 3

3 2 3 1 2 3 2 3 4 1

1 2 3

x x

x x x x x x x x x

x x

  

                 

   

. Khi đó ta có A x 

A

; y

A

 , B x 

B

; y

B

  x

_A

 x

_B

 4 .

Câu 31: Đường thẳng

y x 1

cắt đồ thị hàm số

² ² 1 y x

x

 



tại hai điểm phân biệt A x y 

1

;

1

 và



2

;

2



B x y . Khi đó tổng y

₁

 y

₂

bằng

A. 1. B. 4. C. 3. D. 0.

2 2

1( : 1)

1

3 4

2 2 1 2 3 0

1 0

   



  

               

x x DK x

x

x y

x x x x

x y

Vậy y

₁

 y

₂

 4

Câu 32: Đồ thị hàm số y  x

³

 3 x cắt

A.

Đường thẳng

y3

tại hai điểm.

B.

Đường thẳng

y 4

tại hai điểm.

C.

Đường thẳng

⁵

y 3

tại ba điểm.

D.

Trục hoành tại một điểm.

Lần lượt xét các phương trình hoành độ giao điểm

A.

x³3x 3 x³3x 3 0

, phương trình này chỉ có 1 nghiệm thực (sử dụng máy tính bỏ túi kiểm tra). Loại A.

B.

x³3x  4 x³3x 4 0

, phương trình này chỉ có 1 nghiệm thực (sử dụng máy tính bỏ túi kiểm tra). Loại B.

C.

³ 3 ⁵ ³ 3 ⁵ 0

3 3

x  x  x  x 

, phương trình này chỉ có 3 nghiệm thực (sử dụng máy tính bỏ túi kiểm tra). Chọn C.

D.

³

0

3 0 3

3 x

x x x

x

 

     

  



, phương trình này chỉ có 3 nghiệm thực. Loại D.

Câu 33: Cho hàm số y   x 2 mx

²

 m

²

 1 có đồ thị   C và đường thẳng

d y: x1

. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số   C và đường thẳng d có giao điểm nằm trên trục hoành.

A. m  2 . B. m  2 . C. m  0 . D. m   0; 2  .

Gọi A x y  ,  là giao điểm của d và Ox

Phương trình hoành độ giao điểm của d và trục hoành là x   1 0  x  1

Suy ra A  1;0 

(10)

Theo YCBT ta có A  1; 0     C 0 1 2 .1

² ²

1

²

2 0 0

2

m m m m m

m

 

           

Câu 34: Cho hàm số y  f x ( )  x x (

²

 1)( x

²

 4)( x

²

 9) . Hỏi đồ thị hàm số y



f



(x) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt ?

A. 3. B. 5. C. 6. D. 4.

Đồ thị hàm số y  f  (x) cắt trục hoành

6 4 2

'( ) 0 7 70 147 36 0.

f x x x x

      

Đặt x

²

 t t (  0) . Phương trình trở thành:

 

3 2

7t 70t 147t360 1

Đặt g t ( )  7 t

³

 70 t

²

 147 t  36

Có:

(0). (1) 0 (2). (7) 0 (7). (8) 0 g g

g g g g

 

  



 



Phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong (0;1);(2;7);(7;8).

Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt. Suy ra phương trình f  (x)  0 có 6 nghiệm phân biệt. Hay đồ thị hàm số y



f



(x) cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt.

Câu 35: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2

2 3

1

x x

y x

 

  hợp với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S bằng:

A. S  1,5 . B. S  2 . C. S  3 . D. S  1 .

Cách 1: Ta có

 

2 2

2 1

1

x x

y

x

 

 

 nên

y 0 x 1 2

, do đó đồ thì hàm số có 2 điểm cực trị là

 1 2;2 2 

A  và B  1  2; 2 2   .

Khi đó đường thẳng qua hai cực trị có vtcp u

^



^

AB    2 2; 4 2     2 2 1;2   nên có phương trình là 2  x   1 2    y  2 2   0  y  2 x  2   d .

Vì   d cắt các trục tọa độ tại M  0; 2   và N  1;0  nên diện tích là

¹ . 1 S 2OM ON 

.

Cách 2: Áp dụng tính chất cực trị của đồ thị hàm số

 

y u x

v x

là đường thẳng  

 

y u x v x

 



ta được đường thẳng qua hai điểm cực trị là   d : y  2 x  2 .

Vì   d cắt các trục tọa độ tại M  0; 2   và N  1;0  nên diện tích là

¹ . 1 S 2OM ON 

.

(11)

DẠNG 2: SỰ TƯƠNG GIAO PHƯƠNG PHÁP BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

SỰ TƯƠNG GIAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 1. Tìm

m

để phương trình x³3xm0 có 3 nghiệm thực phân biệt

A.

  2 m  2

. B.

  2 m  2

. C.  2 m m; 2. D.

  1 m  1

. Hướng dẫn giải:

Ta có

x

³

 3 x  m  0  m  3 x  x

³

  1

^.

Xét hàm số

f x    3 x  x

³^có

f    x   3 3 x

²^;

  0 1

1 f x x

x

 

      

. Bảng biến thiên:

. Số nghiệm của phương trình

  1

là số giao điểm của hai đồ thị

y  3 x  x

³ và

y  m

.

Do đó

  1

có ba nghiệm phân biệt

   2 m  2

.

Câu 2.

Tìm tất cả các giá trị

m để phương trình

x³



3x



2m

có 3 nghiệm phân biệt

A.

 2 m 2.

B.

 1 m 1.

C.

 2 m 2.

D.

 1 m 1.

Xét hàm số f x    x

³

 3 x trên

^

.

 

²

' 3 3

f x  x  .

  1

' 0

1 f x x

x

 

      .

Phương pháp 1: Bảng biến thiên

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng (phương trình ẩn x tham số m) +) Cô lập m đưa phương trình về dạng

+) Lập BBT cho hàm số .

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.

Phương pháp 2: Đồ thị hàm số

+) Cô lập m hoặc đưa về hàm hằng là đường thẳng vuông góc với trục +) Từ đồ thị hàm số tìm cực đại, cực tiểu của hàm số (nếu có)

+) Dựa vào số giao điểm của hai đồ thị hàm số ta tìm được giá trị của m theo yêu cầu của bài toán.

*) Chú ý: Sử dụng PP bảng biến thiên và đồ thị hàm số khi m độc lập với x.

(12)

Ta có f   1   2; f    1  2 .

Bảng biến thiên

Vậy để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì   2 2 m  2    1 m  1 .

Câu 3. Tìm m để phương trình x³3xm 2 0 có 3 nghiệm phân biệt

A.  4 m4. B.  4 m0. C.  4 m2. D. 16m16. Hướng dẫn giải:

3 3  

3 2 1

3 2 0 x m

x  xm  x    .

Đặt

f x    x

³

 3 x  2

^{ta có}

f    x  3 x

²

 3

^.

  0 1

f  x   x  

. Bảng biến thiên

x



 1 1 

y

+ 0



0 +

y



0

 4



Từ bảng biến thiên ta có  4 m0.

Câu 4. Phương trình x³3xm² m có 3 nghiệm phân biệt khi :

A.  2 m1 B.  1 m2 C. m1 D.

2

1 m m

  

 



Xét hàm số:

y  x

³

 3 x

ta có:

+ TXĐ:

D  R .

+

y '  3 x

²

 3.

+

y '   0 3 x

²

   3 0 x   1.

+ Bảng biến thiên.

(13)

+ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi

2 2

2 2 0

2 1.

2 2 0

m m m m

m

m m m m

       

 

    

 

    

 

 

Câu 5. Phương trình x³12xm 2 0có 3 nghiệm phân biệt khi

A.   4 m  4

.

B.  18  m  14

.

C.  14  m  18

.

D.  16  m  16

. Hướng dẫn giải:

 

3 3

12 2 0 12 2 1

x  x m     x  x   m .

Xét hàm số y  x

³

 12 x . Ta có y   3 x

²

 12 . 2 16

0 2 16

x y

y x y

   

          . Bảng biến thiên

Để phương trình   1 có 3 nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng

y 2 m

3

12

y  x  x tại 3 điểm phân biệt   16   2 m  16   14  m  18.

Câu 6. Với giá trị nào của m thì phương trình x³3x²m0có hai nghiệm phân biệt

A.

m    4 m  0

. B.

m   4 m  0

. C.

m    4 m  4

. D.Kết quả khác.

Xét hàm số

y  x

³

 3 x

²

3

2

6

y   x  x

0; 0

0 2; 4

x y

y x y

 

        

Số nghiệm của phương trình x³3x²m0 là số giao điểm của đồ thị hàm số

y  x

³

 3 x

² và đường thẳng

y   m

.

x 0 2

y 0 0

0

4

x

y

y

  2





16

2 

0  0 



 16

(14)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi

0 0

4 4

m m

  

 

      

 

.

Câu 7. Tìm các giá trị thực của m để phương trình

x

³

 3 x

²

 m   4 0

có ba nghiệm phân biệt.

A. 4m8. B. m0. C. 0m4. D.  8 m 4.

Ta có:

x

³

 3 x

²

 m    4 0 x

³

 3 x

²

  4 m .

Đặty₁ x³3x²4;y₂ m y₁3x²6 .x Ta có BBT của y₁ x³3x²4.

x  0 2



y

1



+ 0 - 0 +

y

1 4



 8

Từ BBT ta suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt khi  8 m 4.

Câu 8. Tìm

m

để đường thẳng

y  m

y  x

³

 3 x  2

tại 3 điểm phân biệt

A. 0  m  2. B. 0  m  4. C. 0  m  4. D. 2  m  4.

3

2

3,

  

y x 1

0 1

y x

x

 

      

x



 1 1 

y

 0



0 

.

y

_.



4

0



Đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  x

³

 3 x  2 tại 3 điểm phân biệt khi.

0  m  4.

Câu 9. Cho hàm số

y  f x    ax

³

 bx

²

 cx  d

có bảng biến thiên như sau:

Khi đó ^{f x}

 

^^m có bốn nghiệm phân biệt ₁ ₂ ₃ 1 ₄

x x x 2x khi và chỉ khi

+ +

+  0

1



0 0

1

0 +

y

y'

x

(15)

A. 1

2 m1. B. 1

2m1.

C.

0  m  1

. D.

0  m  1

.

Đồ thị  

^C^ ^:^y^ ^{f x}

  được vẽ bằng cách:

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị   C : y  f x   nằm bên trên trục hoành.

Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị   C : y  f x   nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

Đồ thị hàm số có tọa độ điểm uốn

^{1 1}; 2 2

 

 

 

I

, nên phương trình đó

^{f x}

 

^^m

có bốn nghiệm phân

biệt

₁ ₂ ₃ ¹ ₄

x x x 2x

khi

¹ 1 2m

.

Câu 10. Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số

y  x

³

 3 x  2 tại 3 điểm phân biệt khi :

A.

0  m  4

B.

0  m  4

C.

0  m  4

D.

m  4

Tập xác định: D

Ta có:

³ ²

1

3 2 ' 3 3 ' 0

1

y x x y x y x

x

  

            Bảng biên thiên:

Từ bảng biến thiên ta có 0  m  4 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt

Câu 11. Tìm m để phương trình 2x³3x²12x13m

có đúng hai nghiệm

A.

m 13,m4

. B.

m 13,m0

. C.

m 20,m5

. D.

m 20,m7

.

Xét hàm số: y  2 x

³

 3 x

²

 12 x  13 . 6

2

6 12

y   x  x  . 0 1

2 y x

x

 

       . BBT

x



 2 1 

y

 0

^

0 

.

y

_.



7

 20



-1

4

0

(16)

Phương trình

2x³3x²12x13m

có đúng hai nghiệm khi

m 20,m7

. Câu 12. Tìm

m

để phương trình

2x³3x²12x 13 m

có đúng 2 nghiệm.

A.

m   13; m  4.

^B. ^.

C. . D. .

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số

y  2 x

³

 3 x

²

 12 x  13

 . y m

Lập bảng biến thiên của hàm số

y  2 x

³

 3 x

²

 12 x  13.

Nhìn vào BBT ta thấy để phương trình

2 x

³

 3 x

²

 12 x  13  m

có đúng 2 nghiệm thì đường thẳng

y  m

phải cắt đồ thị hàm số

y  2 x

³

 3 x

²

 12 x  13

tại đúng 2 điểm

20 . 7

  

    m

m

Vậy đáp án D thỏa mãn.

Câu 13. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ..

. Với ^m^

 

^1;3 thì phương trình f x( ) m có bao nhiêu nghiệm?

A.4. B.3. C.2. D.5.

Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  f x( ) . Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số y  f x( ).

Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f x( ) phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số và với ^m^

 

^1;3 thì phương trình ^{f x}

 

^^m có 4 nghiệm

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực k để phương trình

2 ³ ³ ² 3 ¹ 1

2 2 2

x x x k

     

có đúng

4

nghiệm phân biệt

A. 19

4 ;5 .

k  

  

  ^B.

k  .

C.



^{2; 1}



^1;¹⁹ ^.

k  4 

     

 

D. 3 19

2; ;6 .

4 4

k    

    

   

0; 13

m m  20; 5

m  m m 20;m7

(17)

Ta có : ²

1

' 6 3 3. ' 0 1

2 x

y x x y

x

  

      

 

Bảng biến thiên đồ thị hàm số ³

3

²

1

2 3

2 2

y   x  x  x 

.

Với ³ ²

3 1 1

2 3 0 7 33

2 2

8 x

x x x

x

 

        

 



x  7 33

8

 

 1

⁷ ³³

8

 

1

2 1



'

y 

0  0



y



11

8

0 0 0

2



^

Từ đó, suy ra bảng biến thiên của đồ thị hàm số ³ 3 ² 1

2 3

2 2

y  x  x  x

x  7 33

8

 

 1

⁷ ³³

8

 

1

2 1



y

 

2

11 8

0 0 0

Từ bảng biến thiên, nhận thấy: ycbt

19 6

11 1 2 4

8 2 2 3

4 k k

k

  

      

   

 

.

Câu 15. Phương trình x

⁴

 2 x

²

  2 m có bốn nghiệm phân biệt khi:

A.

  3 m   2

^. ^B.

m   3; m   2.

^C.

  3 m   2

. D.

m  3.

Xét hàm số

f x    x

⁴

 2 x

²

 2

xác định trên . Có

f '   x  4 x

³

 4 . x

  0

' 0 .

1 f x x

x

 

     

Bảng biến thiên:

(18)

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình x⁴2x² 2 m có 4 nghiệm phân biệt thì

  3 m   2

^. Câu 16. Xác định

m

để đường thẳng y4m cắt đồ thị hàm số

y  x

⁴

 2x

²

 4

tại 3 điểm phân biệt ?

A.

m  1

. B.

m  4

. C.

3  m  4

. D.

m  3

.

4

3

4 y   x  x

0; 4

0 1; 3

x y

y x y

 

        

.

Ycbt

 4 m  y

_max

 4  m  1

.

Câu 17. Tìm m để đường thẳng y  4 m cắt đồ thị hàm số   C : y  x

⁴

 8 x

²

 3 tại

⁴

phân biệt:

A. 13 3

4 m 4.

   B. 3

4.

m C. 13

m  4 . D. 13 3 4 m 4.

   . Hướng dẫn giải:

3

0

' 4 16 ' 0

2 y x x y x

x

 

        

Bảng biến thiên

x

 2 0 2 

y



⁰ ⁺ ⁰



⁰ ⁺

y 

 13

3

 13



Câu 18. Tìm m để đường thẳng

y  m

y  x

⁴

 2 x

²

 2

tại 4 điểm phân biệt.

A.1m 2. B. m 2. C. 2m3. D. m 2.

(19)

Xét hàm số

y  x

⁴

 2 x

²

 2

ta có.

+ TXĐ:

D  R .

+

y '  4 x

³

 4 . x

+ ³

0

' 0 4 4 0 .

1

y x x x

x

 

        

+ Bảng biến thiên.

+Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng

y  m

y  x

⁴

 2 x

²

 2

tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi 1m 2.

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

 C

m

 : y  x

⁴

 mx

²

 m  1

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

A.

m  1

. B.

1

2 m m

 

 



. C.không có

m

. D.

m  2

.

Cách 2:

Ta có: y x⁴mx²m1. Tập xác định:

D 

.

' 4 3 2 y  x  mx.

3

2

0.

' 0 4 2 0

2 . x

y x mx m

x

 

     

 



.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tai bốn điểm phân biệt

 m  0

.

Ta có: ²

2

0 1.

( 0) 1.

2 4

x y m

m m

x m y m

   





       



. Bảng biến thiên

x



2

 m

0

.

2

m 

'

y

 0  0  0 

y 

. .

2

4 1

m m

  

1

m 

^.

2

4 1

m m

  

.



.

Yêu cầu bài toán ² 1 0

1.

1 0 2.

4

m m

m m m

  

 

 

     



.

(20)

Câu 20. Số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số y  x

⁴

 2 x

²

 1 với đường thẳng

ym

(với m là tham số ) là bao nhiêu ?

A. 0. B. 2. C. 4. D. 3.

Xét phương trình :

x

⁴

 2 x

²

  1 m 1  

Xét đồ thị

y  x

⁴

 2 x

²

 1

Ta có : +)

y '  4 x

³

 4 x

3

0

' 0 4 4 0

1

y x x x

x

 

        

+) Bảng biến thiên :

x

 -1 0 1



' y



0 + 0



0 +

y



1 

0 0

Dựa bảng biến thiên



đường thẳng ym cắt đồ thị

y  x

⁴

 2 x

²

 1

nhiều nhất là 4 điểm

Câu 21.

Tìm

m để phương trình

x⁴8x² 3 4m0

có 4 nghiệm thực phân biệt.

A.

¹³ ³

4 m 4

   .

B.

¹³

m  4 .

C.

³

m4 .

D.

¹³ ³

4 m 4

   . Hướng dẫn giải:

Cách 2:

Phương trình đã cho tương đương 4 m  x

⁴

 8 x

²

  3 f x   .

Xét hàm số f x   .

Tập xác định

D

. 4

3

16

y   x  x , 0

0 2

y x

x

 

       . Ta có bảng biến thiên:

x

_ _₂

0

₂



y

 0  0  0 

y

Dựa vào Bảng biến thiên, để   1 có

⁴

nghiệm phân biệt thì

13 4 3 ¹³ ³

4 4

m m

      

.

Câu 22.Gọi

 C

m



là đồ thị hàm số

y  x

⁴

 2 x

²

 m  2017

. Tìm

m

để

 C

m



có đúng 3 điểm chung phân biệt với trục hoành, ta có kết quả:

A.

m  2017

. B.

2016  m  2017

. C.

m  2017

. D.

m  2017

_.



 13



 13

3

(21)

Phương trình hoành độ giao điểm : x⁴2x²m20170

4 2

2 2017 mx  x 

Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của 2 đồ thị

4 2

2 2017

y m y x x



  

Ta có :

y   4 x

³

 4 x

. Cho

0

0 1

y x

x

 

      

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi

m  2017

_.

Câu 23. [2D1-2] Tìm

m

để đường thẳng y4m cắt đồ thị hàm số

  C : y  x

⁴

 8 x

²

 3

^tại⁴^phân

biệt

A. 13 3

4 m 4

   . B. 3

m4. C. 13

m  4 . D. 13 3

4 m 4

   . Hướng dẫn giải:

Xét hàm số

y  x

⁴

 8 x

²

 3

trên D. Ta có

y   4 x

³

 16 x

,

3

0, 3

0 4 16 0 2, 13

2, 13

x y

y x x x y

x y

 



          

    



Bảng biến thiên

x 

2

0

2



y

 0  0  0 

y



 13

3

 13



Đường thẳng y4m cắt

  C

^tại⁴ điểm phân biệt khi chỉ khi 13 3

13 4 3

4 4

m m

       .

Câu 24. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của

m

để phương trình f x( )2m có đúng hai nghiệm phân biệt.

x

 -1 0 1



'

y + 0 - 0 + 0 -

y

_.



0 .

-3

0 .



A.

0

3 m m

 

  



. B.

m   3

. C.

0 3 2 m m

 



  



. D. 3

m 2. Hướng dẫn giải:

x –∞ 0 +∞

y ^– ⁰ ⁺ ⁰ ^– ⁰ ⁺

y +∞

2016 2016

+∞

(22)

Dựa vào BBT ta thấy để phương trình f x( )2m có đúng hai nghiệm phân biệt thì

2 0 0

2 3 3

2 m m

m m

 

   

     

 

Câu 25. Cho hàm số

y  f x  

có bảng biến thiên như hình bên. Khi đó tất cả các giá trị của

m

để phương trình

f x    m  1

có ba nghiệm thực là

A.

m   3; 5 

^. ^B.

m   4;6 

^.

C.

m    ;3    5;   

^. ^D.

m   4; 6 

^.

Phương trình

f x    m  1

có ba nghiệm thực khi và chỉ khi

3  m   1 5  4  m  6

.

Câu 26.Cho hàm số

y f x( )

có bảng biến thiên sau :

x

^

-1 0 1 

'

y

 0 + 0  0 +

y



1



1

 1

Với giá trị nào của

m

thì phương trình f x( ) 1 m có đúng 2 nghiệm ?

A. m  1 . B. m   1 .

C. m   1 hoặc m   2 . D. m   1 hoặc m   2 .

+) Ta có f x( ) 1 m f x( )m1

Dựa bảng biến thiên để phương trình (1) có đúng hai nghiệm

1 0

1 1

m m

  

     

1 2 m m

  

    

(23)

Câu 27. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của

m

để phương trình f x( )2m có đúng hai nghiệm phân biệt.

x

 -1 0 1



'

y ⁺ ^{0 -} ^{0 +} ^{0 -}

y

_.



0 .

-3

0 .



A.

0

3 m m

 

  



. B.

m   3

. C.

0 3 2 m m

 



  



. D. 3

m 2. Hướng dẫn giải:

Dựa vào BBT ta thấy để phương trình

f x( )2m

có đúng hai nghiệm phân biệt thì 2 0 0

2 3 3

2 m m

m m

 

   

     

 

Câu 28. Cho hàm số

y f x( )

xác định trên

^

\ 1   , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho phương trình

f x( )m

có hai ngiệm thực phân biệt.

A.    ; 1 .  B.   ;2 .  C.

^{( 1;2)}^

D.   ;1 . 

Dễ dàng nhận thấy khi m   1 thì phương trình f x    m có hai nghiệm phân biệt.

Câu 29. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định trên ^^{\ 1}

 

, liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên như dưới đây:.

2

-∞ 1 +∞

f '(x)

f(x) x

-∞

- + -1

-∞

(24)

.

Tìm tập hợp tất các giá trị thực của m để phương trình ^{f x}

 

^^m có nghiệm thực duy nhất

A.



^0;^



^.^. ^B.



^2;^



^.^. ^C. ^{ }_^2;



^.^. ^D. ^{ }_^0;



^.

Số nghiệm thực của phương trình ^{f x}

 

^^m bằng số giao điểm của đường thẳng y m và đồ thị hàm số

 

y f x . Để phương trình ^{f x}

 

^^m có nghiệm thực duy nhất thì m2

Câu 30. Giả sử tồn tại hàm số y  f x   xác định trên

^

\    1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:.

.

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực

m

sao cho p