Hướng dẫn giải các dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Đặng Việt Đông - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

I. Định nghĩa.

Giả sử hàm số xác định trên tập K . Khi đó:

a) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị

lớn nhất của hàm số trên K. Kí hiệu: .

b) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị

nhỏ nhất của hàm số trên K. Kí hiệu: .

II. Nhận xét.

1.Như vậy để có được M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên K ta phải chỉ ra được :

a) ( hoặc ) với mọi .

b) Tồn tại ít nhất một điểm sao cho ( hoặc ).

2. Chú ý khi nói đến giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số (mà không nói rõ “trên tập K’’) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó.

3.Mỗi hàm số liên tục trên đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Hơn nữa

a) Nếu hàm số đồng biến trên đoạn thì và .

b) Nếu hàm số nghịch biến trên đoạn thì và .

4. Cho phương trình ^{f x}

 

^{m với yf x}

 

là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi

   

D D

min f x mmax f x

5. Một hàm số có thể đồng thời đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một tập K hoặc chỉ đạt được giá trị nhỏ nhất hoặc chỉ đạt được giá trị lớn nhất hoặc không tồn tại cả hai giá trị này. Chẳng hạn:

a) Xét hàm số bậc hai trên tập xác định .

+ Khi thì hàm số có đạt được giá trị nhỏ nhất tại đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số tại .

+ Khi thì hàm số có đạt được giá trị lớn nhất tại đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số tại .

b) Xét trên tập hàm số bậc ba không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

f



^K



0

x K f x

 

^ f x

 

0 ,^{ }x K M^ f x

 

0

f

 



max

x D

M f x

0

x K f x

 

^ f x

 

0 ,^{ }x K m^ f x

 

0

f

 



min m x D f x

f

 

^

f x M ^{f x}

 

^{m xK}

0

x K f x

 

0 ^M f x

 

0 ^m f

 

a b; 

f a b; 

   



max 

x D f x f b

   



min 

x D f x f a

f a b; 

   



max 

x D f x f a

   



min 

x D f x f b

 ² 

y ax bx c K

0

a 

2 x b

a

 2 x b

a

0

a 

 2 x b

a

 2 x b

a

K  yax³bx²cx d

c) Xét trên hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

d) Xét hàm số trùng phương trên tập xác định .

+ Khi thì hàm số đạt được giá trị nhỏ nhất đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số.

+ Khi thì hàm số đạt được giá trị lớn nhất đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Phương pháp: Cho hàm số ^{yf x}

 

xác định và liên tục trên



^{a; b .}



- Tính f ' x , giải phương trình

 

^{f ' x}

 

^0 tìm nghiệm trên



^{a, b .}



- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2



a, b



.

- Tính các giá trị f a , f b , f x , f x

       

1 2 . So sánh chúng và kết luận.

Câu 1. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục và luôn nghịch biến trên



^{a b;}



. Hỏi hàm số ^{f x}

 

đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào sau đây ?

A. xa. B. xb. C.

2 a b

x 

 . D.

2 b a

x 

 . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có:y f x( ) liên tục và luôn nghịch biến trên



^{a b;}



^{  x}



^{a b;}



^{thì f b( ) f x( ) f a( ).}

Suy ra hàm số y f x( ) đạt giá trị lớn nhất tại điểm xa. Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm sốy x³12x2trên đoạn

 

^{1; 4 là}

A. 13. B.2. C.-14. D. 18.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Ta có y  3x²12. Cho ² 2

0 3 12 0

2

  

        

y x x

x . Do ^x



^{1; 4}



^nên x 2.

 

^{1 13,}

 

^{2 18,}

 

^{4  14}

y y y . Vậy

 

[1;4]

miny y 4  14. Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

^{x33x3 trên 1 3}

2

 

 

 

; bằng:

A. 5. B.3 . C. 4 . D.6 .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có y 3x²3 , 1

0 1

y x

x

 

     

 

^{1 1}

y  ; ^y

 

^{1 5; 3 15}

2 8

y 

 

  . Vậy

 

1;3 2

5.

Max f x

 

 

 



 

  

 

\ c

K  d  ^

 y ax b

cx d

 ⁴ ²

y ax bx c K

0 a

0 a

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3

2 3

3

y x x  x trên đoạn



^{0; 2 .}



A. 0;2 ^0;2

2 5

max ; min .

3 3

y y  B.

0;2 ^0;2

max 2; min 0.

y 3 y C. 0;2 0;2

max 9; min 5.

y y 3 D.

^0;2 ^0;2

maxy9; miny0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Hàm số liên tục và xác định trên



^{0; 2 .}



2 2 3

y x  x , 1

0 3

y x

x

 

     

 x1 (do ^x



^{0; 2}



^).

 

^{0 0}

y  ,

 

^{1 5}

y  3,

 

^{2 2}

y 3. Vậy 0;2

max 2

y 3,

^0;2

min 5

y 3.

Câu 5.Giá trị lớn nhất của hàm số ^{1 3 1 2} 2 1

3 2

y  x  x  x trên đoạn 1 2;2

 

 

  là A. ⁵

3. B. ¹

6. C. ¹

6. D. ¹³

 3 Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Ta có: y  x² x 2;

0 1 2

y  x x  (loại).

   

1 1 1 5

; 1 ; 2

2 6 6 3

y    y  y  

  ;

Vậy

 

1;2 2

max 1 1

y y 6

 

 

 

  .

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx³3x²4 trên đoạn 1 2; 3

 

 

 .

A. 1 1

;3 ;3 2 2

max 37; min 8

y 8 y

 

 

 

   

 

    . B.

1

1;3 ;3

2 2

max 4; min 37

y y 8

 

 

 

   

 

    . C.

1

1;3 ;3

2 2

max 37; min 4

y 8 y

 

 

 

   

 

    . D.

1 1

;3

;3 2

2

maxy 4; miny 8

 

 

 

   

 

    . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Hàm số yx³3x²4 liên tục trên đoạn 1 2; 3

 

 

 .

Ta có y 3x² 6x

2 1;3 0 2

0 1;3 2 x

y

x

  

   

 

 

  

  

   



.

Do ^y

 

^{2  8; 1 38}

2 7

y 

  

  ; ^y

 

^{3  4 nên} ₁

1;3 ;3

2 2

maxy 4; miny 8

 

 

 

   

 

    . Câu 7.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ^{2 3 3 2} 5 1

3 2

y x  x  x trên đoạn



^{2; 2}



^.

A.  ^{2;2 .}

min 29 y 3

   . B.

 ^{2;2 .}

min y 3

   . C.

 ^{2;2 .}

min 251 y 24

   . D.

 ^{2;2 .}

min 1 y 3

   .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Hàm số ^{2 3 3 2} 5 1

3 2

y x  x  x liên tục trên đoạn



^{2; 2}



^.

Ta có y 2x²3x5

 

 

1 2; 2

0 5

2 2; 2 x y

x

    

 

  

   



.

Do

 

^{1 26}

y   3 ;

 

^{2 29}

y   3 ;

 

^{2 1}

y   3 nên

 ^{2;2 .}

min 29 y 3

   .

Câu 8. Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx³3x²9x35 trên đoạn



^{4; 4}



^là:

A. M 40;m 41. B. M 40;m 8. C. M  41;m40. D. M 15;m 8. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Hàm số liên tục trên đoạn



^{4; 4}



3 2 6 9

y  x  x . y 0x² 2x 3 0 3 1 x x

 

    Ta có ^y

 

^{4  41; y}

 

^{4 15; y}

 

^{1 40; y}

 

^{3 8}

Vậy

[ 4;4]

max 40

M y

   và

[ 4;4]

min 41

m y

    .

A. 338

 B. . C. -10. D. 14

27.

3 2

2 7 5

yx  x  x

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1;3].

' 3 2 4 7 y  x  x

' 0 y  

1( ) 7( ) 3

x l

x n

  



  (1) 3

y   ,y(3) 7 , 7 257 ( )3 27

y 

  257

m 27

 ;M  3  338 mM   27 .

Câu 9.Hàm số yx³2x² 7x5 có giá trị nhỏ nhất là m và giá trị lớn nhất là M trên đoạn [1;3].

Khi đó tổng m + M bằng

446

27 . 27

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Câu 10.Gọi m là giá trị nhỏ nhất và M là giá trị lớn nhất của hàm số y2x³ 3x²1 trên đoạn 2; 1

2

 

  

 

. Tính giá trị của M m

A. – 5. B.1. C.4. D. 5.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có :

 

     

      

  



2

0

' 6 6 ; ' 0 1

1 2;

2 x

y x x y

x



²



^{5 ;}

 

^{1 0 ; 1 1}

2 2

y y y 

       

  Khi do : M 0,m  5 Mm5.

Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

^{ x32x2– 7x1 trên đoạn}



^{0; 2}



^là:

A. 1. B.1. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Xét hàm số ^{f x}

 

^{x32x2 – 7x1}

Ta có: f '( )x 3x²4 - 7x . ²

1( )

'( ) 0 3 4 - 7 0 7

3 ( )

 

     

 

x n

f x x x

x l

f(0)1, (2)f 3, (1)f  3.

Vậy:

[0;2]

max ( )f x 3.

Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm y f x( )2x³3x²12x2 trên đoạn



^{1; 2}



^.

A. max^{- ;}  

1 2 y 6. B.

 

 

1;2 

maxy 10. C.

^-1;2

maxy15. D.

 ^1;2

maxy 11.

 

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn



^{1; 2}



^.

( ) 6 2 6 12

   

f x x x .

( ) 0 6 2 6 12 0

     

f x x x ^{x  1}



^{1; 2}



^{hoặc x   2}



^{1; 2}



^.

 

^{1 15}

f ; ^f

 

^{2 6; f}

 

^{1  5.}

Vậy  

 

1;2

max 1 15

 y f   .

Câu 13. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y x³ 3x trên đoạn 0;38. Tìm giá trị m

A. m  0. B.m  1. C. m  2. D. m  1.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

' 3 2 3 y  x 

 

 

1 0;38 ' 0

1 0;38 y x

x

  

  

  



.

 

^{0 0;}

y  ^y

 

^{1  2;y}

 

^{38 54758.}

Vậy m 2

Câu 14. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số yx³x²8x trên đoạn [1;3]. A.

[1;3]

maxy 4. B.

[1;3]

maxy 8. C.

[1;3]

maxy 6. D.

[1;3]

max 176

y 27 . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Hàm số xác định và liên tục trên [1;3]. Ta có y 3x²2x8. Cho ²

2

0 3 2 8 0 4

3

 

      

  

 x

y x x

x . Do x[1;3]nên x2.

 

^{1  8,}

 

^{2  12,}

 

^{3  6}

y y y . Vậy

 

[1;3]

maxyy 3  6.

Câu 15. Cho hàm số yx³3x²3.Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 

1;3 .Tính giá trị T M m

A. 2. B. 4. C. 3. D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có : y 3x²6x. Khi đó 0

0 2

y x

x

 

     Xét ^x

 

^{1;3 : ta có x0 (loại ); x2( nhận).}

Ta có : ^y

 

^{1 1; y}

 

^{2  1; y}

 

^{3 3.}

Suy ra M 3;m 1 . Do đó : T 2.

Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x³3x1 trên đoạn [0 ; 2]

A.

0 ; 2

maxy3 và

0 ; 2

min y1. B.

0 ; 2

maxy1 và

0 ; 2

min y 1. C.

0 ; 2

maxy3 và

0 ; 2

min y 1. D.

0 ; 2

maxy9 và

0 ; 2

min y 3. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

TXĐ: D.

Ta có y 3x²3, y 0 3x² 3 0 1 1 x x

  

   . Xét trên đoạn [0 ; 2] ta chỉ nhận x1.

Khi đó ta có ^y

 

^{0 1, y}

 

^{2 3, y}

 

^{1  1.}

Vậy ta có

^0;2

maxy3 và

^0;2

miny 1.

Câu 17. Trên đoạn



^1;1



^{, hàm số 4 3 2 2 3}

y 3x  x  x

A. Có giá trị nhỏ nhất tại x 1 và giá trị lớn nhất tại x1. B.Có giá trị nhỏ nhất tại x1 và giá trị lớn nhất tại x 1. C. Có giá trị nhỏ nhất tại x 1 và không có giá trị lớn nhất.

D. Không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất tại x1. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Hàm số liên tục trên



^{1;1 .}



Ta có y  4x²4x1.

2 1

0 4 4 1 0 .

y    x  x  x 2 Vậy

 

^{1 22}

y   3 ,

 

^{1 8}

y   3 , 1 17

2 6 .

y 

  

 

 

Câu 18. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2x³3x²12x2 trên đoạn



^{1;2 .}



Tìm tổng bình phương của M và m

A. 250 . B.100 . C. 509 . D. 289 .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn



^1;2



^.

' 6 2 6 12 y  x  x .

2 1(N)

' 0 6 6 12

2(L)

y x x x

x

 

        . (1) 5; ( 1) 15; (2) 6

y   y   y  . Vậy: m²M²  ( 5)²15² 250.

Câu 19. Tìm các giá trị của a để trên đoạn



^1;1



^{hàm số}y x³3x²a có giá trị nhỏ nhất bằng 2

A. a6. B. a8. C. a2. D. a4.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn



^1;1



^.

Ta có: y' 3x²6x.

2 0(N)

' 0 3 6

2(L)

y x x x

x

 

        . (1) 4

y   a, y( 1)   2 a, y(0)a.

Trên đoạn



^1;1



thì giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 . Suy ra miny y(1)  4 a2a6.

Câu 20. Hàm số ^yx3



^m21



^xm1 đạt GTNN bằng 5 trên

 

^0;1 . Khi đó giá trị của m là

A. 5. B.3. C.1. D. 4.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có y 3x² m² 1 0với mọi^x

 

^0;1 nên hàm số luôn đồng biến trên

 

^{0;1 .}

Vì hàm số đã cho là hàm đa thức, liên tục trên

 

^{0;1 nên}

 

 

0;1

min 0 1.



  

x

y y m

Ta cho m  1 5 m4.

Vậy m4 thỏa mãn.

Câu 21. Cho hàm số yx³3x1. Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị m0, để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ^D



^m1;m2



luôn bé hơn 3 là

A.



^{0;1 .}



^{B. 1;1 .}

2

 

 

  C.



^{;1 \}

  

^{2 . D.}



^{0;2 .}



Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có : ² 1 ' 3 3. ' 0

1

y x y x

x

 

       . Hàm số đồng biến trên khoảng



^1;



_.

Trên ^D



^m1;m2



^{, với} m0 , ta có :

 

 

³

 

1; 2 1 3 1 1

mMin ym m m

      

Ycbt

^{mMin y1;m2} ^{3 m3 3m2 4 0}



^{m 1}



^{m 2}



^{2 0}



^mm12

          

  Kết hợp điều kiện . Suy ra ^m



^0;1



^.

Câu 22. Cho hàm số yx⁴2x²1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên



^{1; 2}



A.

 ^1;2

miny 2



  . B.

 ^1;2

miny 2



 . C.

 ^1;2

miny 1



 . D.

 ^1;2

miny 1



  . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có : +) y'4x³4x, y'04x³4x0x0 +) ^y

 

^{0  1, y}

 

^{1 2, y}

 

^{2 23}

Vậy

 ^1;2

miny 1



 

Câu 23. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị như hình bên. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ^{y f x}

 

^trên

đoạn



^{1; 2}



^.

A. 1. B. 2. C. 5. D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Trên đoạn



^{1; 2}



, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 tại x2.

Câu 24. Cho hàm số ^{y  f x}

 

liên tục trên đoạn 2;2 và có đồ thị trên đoạn 2;2 như sau:.

. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. ^max_2;2 ^{f x}

 

^f

 

²

 

 

 . B. ^max_2;2 ^{f x}

 

^f

 

²

 

 

  . C. ^min_2;2 ^{f x}

 

^f

 

¹

 

 

 . D. ^min_2;2 ^{f x}

 

^f

 

⁰

 

 

 . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

O 1

1 2

 2 x

y 2

2



   

min2;2 f x f 1

 

 

 

 

Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số yx⁴4x²5 trên đoạn



^{1; 2}



^bằng?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

4 2

4 5

  

y x x suy ra y^/ 4x³8x. Ta có ^/ 0 0

2 x y

x

 

  

  

.

 

^{1 2}

y   , ^y

 

^{0 5, y}

 

^{2 1, y}

 

^{2 5}. Vậy GTNN là 1.

Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ^{3 1} 3 y x

x

 

 trên đoạn



^{0; 2}



A. ¹

3. B.-5. C.5. D. ¹

3. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

 

²

8 0, 3.

3

y x

x

     



 

 

0; 2

0 1 Max y y 3

   .

Câu 27. Xét hàm số 4x 1

y x

  trên đoạn [ 2 ; 1]. Hãy chọn khẳng định đúng A.

 ^{2 ; 1}

max 9 y 2

 

 . B.Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

C. Hàm số không có giá trị lớn nhất. D.

 ^{2 ; 1}

min 9 y 2

 

 . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

TXĐ: ^{D\ 0}

 

^.

Ta có 1₂ 0

y  x  ,  x 0.

Hàm số đồng biến trên



^{ 2; 1}



^và

 

^{2 9}

y   2, ^y

 

^{1 5.}

Vậy

 ^{2; 1}

min 9 y 2

 

 .

Câu 28.Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ¹ 2 1 y x

x

 

 trên đoạn

 

^{1;3 là:}

A. GTNN bằng 1; GTLN bằng 3. B.GTNN bằng 0; GTLN bằng ² 7.

C. GTNN bằng 0; GTLN bằng 1. D.GTNN bằng ²

7 ; GTLN bằng 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

 

²

3 1

0, 2

2 1

y x

x

     



 

^{1 0,}

 

^{3 2}

y  y  7 .

Vậy GTNN bằng 0; GTLN bằng ² 7. Câu 29. Cho hàm số ¹

2 1 y x

x

 

 . Chọn phương án đúng trong các phương án sau:

A.

 ^1;2

min 1

x

y

 

 . B.

 ^0;1

max 2

x

y



 . C.

 ^1;0

max 0

x

y

 

 . D.

^3;5

max 2 3

x

y



 . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Hàm số không liên tục trên đoạn



^{1; 2}



^ Loại đáp án A.

Hàm số không liên tục trên đoạn

 

^{0;1 } Loại đáp án B.

Ta có

 

²

3 0

2 1 y

x

   



, ¹

x 2

  và

 

[ 1;0]

maxy y 1 0

    .

Câu 30. Giá trị nhỏ nhất của hàm số ^{2 1} 1 y x

x

 

 trên đoạn



^{2;3 bằng:}



A. ⁷

2. B. 5 C. 3 D. ³

4 Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

+ TXĐ: ^{DR\ 1 .}

 

+

 

²

' 3 0

1

y x D

x

    

 hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

 hàm số cũng đồng biến trên

 

 

 

2;3 Min y2;3  y 2  5.

Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ^{3 1} 3 y x

x

 

 trên đoạn



^{0; 2}



A. ¹

3. B. 5. C. 5. D. ¹

3. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

 

²

8 3 y

x

  



 

^{0 1}

y 3, ^y

 

^{2  5}

Suy ra

^0;2

maxy 5 .

0 2

Câu 32. Kí hiệu m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 3

2 1

y x x

 

 trên đoạn [1;4]. Tính giá trị biểu thức d M m.

A. d 3. B. d 4. C. d 5. D. d 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

 

²

7 1

0 2

2 1

y x

x

     

 . Suy ra hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [1;4]. ^{Vậy m y}

 

^{4 1;M  y}

 

^{1 4d M m  4 1 3.}

Câu 33. Gọi M n, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ² 1 y f x x

x

  

 trên đoạn



0; 2 . Hãy tính tích



M n. .

A. 2. B. 0. C. 1. D. 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Hàm số ^{f x}

 

xác định và liên tục trên



^{0; 2 .}



   

2

 

3 0 0; 2

1

f x x

x

    

 .

 ^{f x}

 

đồng biến trên



^{0; 2}



 

   

max0;2 2 0

M f x f

    ,

 

   

min0;2 0 2

m f x  f   . Vậy M n. 0

Câu 34.Gọi Q là giá trị lớn nhất và K là giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 1

1 y x

x

 

 trên đoạn

 

^{1; 2 . Khi}

đó giá trị của biểu thức ^{24 27} 1997 2

Q K

 là:

A. ³⁹²³

 2 . B. ³⁹²⁵

 2 . C. ³⁹²⁷

 2 . D. ³⁹²⁹

 2 . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

2 2

1 2

2 1

' 0 .

( 1) 1 2

x x x

y x x

   

 

   

    

'

y đồng biến trên [1; 2] nên

(1) 1 5. (2) 3 K y Q y

 



  



Suy ra 24 27 3927

1997 .

2 2

Q K 

 

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ^yx3



^m21



^xm1 đạt GTNN bằng 5 trên

 

^{0;1 .}

A.

 

^{5 . B.}

 

^{3 . C.}



^{1; 2}



^{. D.}

 

^{4 .}

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

 

2 2

3 1 0,

y  x  m    x .

Hàm số đồng biến trên

 

^0;1 _.

0;1

maxy5 khi x1.

Thay x1,y5 và hàm số ta được m1;m 2.

Câu 36. Giá trị của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số mx 1 y x m

 

 trên đoạn [1; 2] bằng 2. là:

A. m 3. B. m3. C. m1. D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Ta có: ^D\

 

^{m và}

 

2 2

1 0,

y m x D

x m

 

    

 .

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số mx 1 y x m

 

 trên đoạn [1; 2] bằng 2 khi và chỉ khi

 

 

1 2 1 2

1 3

1; 2 1 2

y m

m m

m m m

 

    

 

   

 

  

    

Câu 37.Trên đoạn [2;4] hàm số y ^{mx 1} x m

 

 đạt giá trị lớn nhất bằng 2. Khi đó :

A. ⁷

m6. B. m1 . C.m2 . D. ³

m4. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có:

 

   

2

2 2

1 1

' m x m mx m 0

y

x m x m

    

  

  ^{với mọi} xm^.

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Do đó trên đoạn



2; 4 hàm số nghịch biến. Suy ra



^f

 

^{2  f}

 

^{4 .}

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn



2; 4 là

  

^{2 2 1}

2 f m

m

 

 .

2 1 3

2 2 1 4 2

2 4

m m m m

m

        

 .

Lưu ý. Nếu ^m



^2;4



thì hàm số không có giá trị lớn nhất.

Câu 38. Tìm tất cả giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

^{2 1}

1 x m

f x x

 

  trên đoạn 1;2 bằng 1

A. m 1. B.m 2. C. m 3. D. m 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

 

2

' 3

( 1) f x m

x

 



Nếu    m 3 0 m 3 thì hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó, do đóGTNN của hàm số trên đoạn

^{1;2}

là 1

(1) 1 1 3

2

f m m

    

Nếu    m 3 0 m3 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó, do đóGTNN của hàm số trên đoạn

^{1;2}

là 3

(2) 1 0 3

3

f  m   m  Vậy m 1

Câu 39. Giá trị tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

1

x m m

y x

 

  trên đoạn

 

^{0;1 bằng 2 là:}

A. m1,m2. B. 1 21 1 21

2 , 2

m  m 

  .

C. Không có giá trị m D. m 1,m2

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

+ ^DR\

 

^{1 .}

+

     

2 2

2

2 2 2

1 3

1 1 3

1 2.2 4 4 2 4

' 0

1 1 1

m m m

m m

y x D

x x x

 

 

    

   

      

   hàm số đồng biến trên các

khoảng xác định  hàm số đồng biến trên

 

^0;1

 

 

²

0;1 0 .

Min y y m m

    

+ Theo yêu cầu đề bài ta có:

 

2 2

0;1

2 2 2 0 1.

2

Min y m m m m m

m

  

              Câu 40. Tìm m để hàm số ^{f x}

 

^{mx 5}

x m

 

 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn



^0;1



^{bằng 7.}

A. m2. B. m0. C. m1. D. m5.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

     

2 '

2 2

5 ( ) 5 5

( ) 0 .

mx m x m mx m

f x f x x m

x m x m x m

     

      

  

Nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn



^0;1



là

(1) 5 7 2.

1

f m m

m

     



Câu 41. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

1 y x m

x

 

 trên



^{1; 0}



^bằng:

A.

2 1

2 m 

. B. m². C.

1 2

2 m

 . D. m²

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Hàm số

2

1 y x m

x

 

 có

 

2 2

' 1 0 1

1

     



y m x

x

nên hàm số nghịch biến trên



^{1; 0}



^.

Vậy: ²

[ 1;0]

min ( ) (0) .

 f x  f  m

Câu 42. Giá trị lớn nhất của hàm số y ^{2mx 1} m x

 

 trên đoạn



^{2;3 là}



¹

3 khi m nhận giá trị

A.0. B.1. C.5. D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có:

 

2

2 0,

1

y 2m m

m x

 



    hàm số đồng biến trên



^2;3



  

 

2;3

6 1

max 3

3 y y m

m

  



6 1 1

3 3 0

m m

m

     

 .

Câu 43. Cho hàm số ¹ y x 2

 x

 , giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên



^{1, 2}



^là

A. ⁹

m 4. B. ¹

m2. C. m2. D. m0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Xét hàm số ¹

y x 2

 x

 trên



^{1, 2}



^{, ta có}

 

 

 

2

2 2

2 1

1 1

2 2

y x

x x

 

   

  .

   

 

2 3 1, 2

0 2 1 0

1 1, 2 x

y x

x

   

       

   



Mà ^y

 

^{1 0 và}

 

^{2 9}

y 4. Do đó

 ^1,2

miny 0

  . Vậy m0. Câu 44. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số  

 4 y x 1

x trên đoạn 0;4. A.

 

 

0;4 

miny 4. B.

 

 



0;4

min 24

y 5 . C.

 

 

0;4  

miny 5. D.

 

 

0;4 

miny 3. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

 

 4 y x 1

x

 

  

 

 

   

 ²  ²

1 3

1 4

1 1

x x

y

x x

.

     

   

 

   



3 0;4

0 1 0; 4

y x

x .

 

^{0 4}

y , ^y

 

^{1 3,}

 

^{4 24}

y 5 . Vậy

 

 

0;4 

miny 3.

Câu 45. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 ¹ 2 1

y x

   x

 trên đoạn

 

^{1; 2 bằng}

A. ²⁶

5 . B. ¹⁰

3 . C. ¹⁴

3 . D. ²⁴

5 . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Hàm số 2 1 ¹

2 1

y x

   x

 liên tục trên đoạn

 

^{1; 2 .}

Ta có

     

 

2 2

0 1; 2

2 2 0 2 1 1

1 1; 2

2 1

y y x x

x x

  

        

  

 

.

Do

 

^{1 10}

y  3 ;

 

^{2 26}

y  5 nên

^1;2

min 10

y 3 . Câu 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 5

3 y x

x

 

 trên đoạn



^{0; 2}



A. ^x ^0;2

min y 1 3

   . B.

 

x 0;2

min y 5 3

   . C.

 

xmin y0;2 2

   . D.

 

xmin y0;2 10

   .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có:

   

   

2 2

2 2

2 3 5 6 5

3 3

x x x x x

y

x x

    

  

 

Suy ra : y 0 x²6x 5 0 1 5 x x

  

    Do đó ta có: ^f

 

^{1  2,}

 

^{0 5}

f  3, ^f

 

^{5  10,}

 

^{2 1}

f  5 Vậy

 

xmin y0;2 10

   .

Câu 47. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 3

1 y x

x

 

 trên đoạn



^{2; 4 .}



A.

[2;4 ]

min 19

y 3 . B.

[2;4 ]

miny 3. C.

[2;4 ]

miny 2. D.

[2;4]

miny6. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có :

   

   

2 2

2 2

2 1 3 2 3

1 1

x x x x x

y

x x

    

  

  .

 

 

1 2; 4

0 3 2;4

y x

x

  

   

  

.

 

^{2 7;}

 

^{4 19;}

 

^{3 6}

y  y  3 y  .

[2;4 ]

miny 6

  .

Câu 48. Giá trị lớn nhất của hàm số

2 3 3

1

x x

y x

 

  trên đoạn ¹;1 2

 

 

  là:

A. 13

2 ^{. B.3. C.}

7

2^{. D. – 1.}

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Ta có

 

2 2

2 1

  



x x

y x

. Cho

 

2 2

2 0

0 0

1 2

 

         x x x

y x x

. Do ¹;1 2

 

  

 

x nên x0.

   

1 7 7

0 3, 1 2 2,

2

 

   

 

 

y y y . Vậy

1;1 2

max 7 2

 

 

 

 y .

Câu 49. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 4

2 1

x x

y x

 

 trên đoạn 0; 3 .

A. min_0;3 y 0

 

 

 

 . B.

0;3

min 3 y 7

 

 

 

  . C. min_0;3 y 4

 

 

 

  . D. min_0;3 y 1

 

 

 

  . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

 

2

2

2 2 4

2 1

x x

y

x

 

 

 ;

   

2

2

2 2 4 1

0 0

2 1 2 x x x

y x x L

   

        

 

^{0 0}

y  ; ^y

 

^{1  1;}

 

^{3 3}

y 7

 Câu 50. Hàm số

2 3

1

x x

y x

 

 giá trị lớn nhất trên đoạn



^{0;3 là:}



A. 1. B. 3 . C. 2. D. 0 .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Xét hàm số

2 3

1

x x

y x

 



Ta có:

   

2 2

2 2

2 3 2 3 1( )

' . ' 0 0

1 1 3( )

x n

x x x x

y y

x l

x x

 

   

         

y(0)0, (3)y 0, (1)y  1.

Vậy:

[0;3]

maxy0.

Câu 51.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2 3

1

x x

y x

 

  ^{trên đoạn}



^2;4



^là:

A.

^2;4 ^2;4

min ( ) 2; max ( ) 11

f x  f x  3 ^{. B.} min ( )_2;4 f x 2 2; max ( )_2;4 f x 3. C. min ( )^2;4 f x 2; max ( )^2;4 f x 3_{. D.}

^2;4 ^2;4

min ( ) 2 2; max ( ) 11

f x  f x  3 ^. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

 

2 2

2

1 2

2 3 2 1

0 .

1 1 1 2

  

   

     

    

x x x