Đề thi thử vào trường THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội môn Toán năm 2023 lần 2 vòng 1 có lời giải

(1)

https://www.facebook.com/thuvientoan.net

https://thuvientoan.net/

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2023 MÔN THI: TOÁN (VÒNG 1)

Ngày thi: 21 tháng 5 năm 2022

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề)

Truy cập https://thuvientoan.net/ để tải tài liệu ôn thi vào 10 nhé!!!

Câu 1. (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

 

3 3

2 2 5

8 18 2 63.

x y xy

x y x y

   

    



b) Giải phương trình: x3 6 x x² 145 2 x 7 x3.

Câu 2. (3,0 điểm)

a) Với a b, là các số nguyên. Chứng minh rằng a²b² chia hết cho 13 khi và chỉ khi 2a3b chia hết cho 13 hoặc 3a2b chia hết cho 13.

b) Với a b c, , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

1 1 1

a b c .

P b c c a a b

  

  

  

Câu 3. (3,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường tròn

 

^I nội tiếp tam giác OAD tiết xúc với AD tại M. Đường tròn

 

^J nội tiếp tam giác OBC tiết xúc với BC tại N.

a) Chứng minh rằng hai điểm M N, đối xứng với nhau qua O.

b) Lấy điểm P khác O sao cho PA và PD cùng tiếp xúc với đường tròn

 

^J ^. Chứng minh rằng:

. PAPDNCNB

c) Gọi S là trung điểm AD. Chứng minh rằng OS đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác PAD. Câu 4. (1,0 điểm)

Cho 2005 số nguyên dương có tổng bằng 7022 được viết xung quanh một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại 2 cặp số liền kề mà tổng của hai số của mỗi cặp lớn hơn hoặc bằng 8.

---HẾT---

(2)

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

 

3 3

2 2 5

8 18 2 63.

x y xy

x y x y

   

    



b) Giải phương trình: x3 6 x x² 145 2 x 7 x3.

Lời giải a) Ta có:

      ^ ^

    ^ ^{ } ^

     

 

3 3 2 2

2 2 2

2

3 2

3

8 18 2 63 2 2 4 18 2 63

2 2 4 18 63 2 2 6 18 63

2 2 3 2 3 63

2 3 2 3 2 1 64

2 1 64

2 1 4

2 3

x y x y x y x xy y x y

x y x xy y x y x y xy

x y x y x y

          

 

            

 

       

       

   

  

Từ đây hệ phương trình trở thành: 2 3 1

1 1

x y x

xy y

    

 

 

 

   

 

  hoặc

2 1. 2 x y

 

 



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm



;

  

1;1 , 2;¹ . x y   2 b) Điều kiện: 3  x 2. Đặt ³

2

a x

b x

  

  

 với a b, 0 và a²b²5.

Ngoài ra: x142a²b²6. Khi đó, phương trình trở thành:

    

 

2 2

2 3 6 7 5

2 3 1

2 3 2 0 .

2 2

a ab b a b

a b

a b a b

a b

    

  

         

Từ phương trình

 

^{1 ta có:} ² ² ⁵ ²

2 3 1

a b a a b b

  

   

 

 

     

 (loại) hoặc

2 5 11

5 a b

 



 

(nhận).

Khi đó tìm được ⁷¹

x 25 (thỏa mãn).

(3)

Từ phương trình

 

^{2 ta có:} ² ² ⁵^.

2 a b a b

  

  

 Trường hợp này hệ vô nghiệm do a b, 0.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất ⁷¹. x 25 Câu 2. (3,0 điểm)

a) Với a b, là các số nguyên. Chứng minh rằng a²b² chia hết cho 13 khi và chỉ khi 2a3b chia hết cho 13 hoặc 3a2b chia hết cho 13.

b) Với a b c, , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

1 1 1

a b c .

P b c c a a b

  

  

  

Lời giải a) Ta có:



²^a^³^b



²^b^³^a



^⁶



^a²^^b²



^¹³^ab^.

Suy ra a²b² chia hết cho 13 khi và chỉ khi 2a3b chia hết cho 13 hoặc 3a2b chia hết cho 13.

b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 2 2

1 1 1 2 2 2

2 .

a b c a b c a b c

P b c c a a b b c c a a b b c c a a b

 

    

                   

Theo bất đẳng thức Nesbitt, ta có:

3. 2

a b c

b cc aa b

  

Do đó P3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi a  b c 1.

Câu 3. (3,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường tròn

 

^I nội tiếp tam giác OAD tiết xúc với AD tại M. Đường tròn

 

J nội tiếp tam giác OBC tiết xúc với BC tại N.

a) Chứng minh rằng hai điểm M N, đối xứng với nhau qua O.

b) Lấy điểm P khác O sao cho PA và PD cùng tiếp xúc với đường tròn

 

^J ^. Chứng minh rằng:

. PAPDNCNB

c) Gọi S là trung điểm AD. Chứng minh rằng OS đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác PAD. Lời giải

Đang cập nhật.

(4)

Câu 4. (1,0 điểm)

Cho 2005 số nguyên dương có tổng bằng 7022 được viết xung quanh một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại 2 cặp số liền kề mà tổng của hai số của mỗi cặp lớn hơn hoặc bằng 8.

Lời giải

Đặt 2005 số nguyên dương đó theo thứ tự lần lượt là a a₁, ₂,...,a₂₀₀₅. Khi đó a₁a₂ ... a₂₀₀₅7022.

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử chỉ tồn tại tối đa một cặp mà tổng hai số lớn hơn hoặc bằng 8. Không mất tính tổng quát giả sử a₁a₂8.

Khi đó a₂a₃7, a₃a₄7,..., a₂₀₀₄a₂₀₀₅7, a₂₀₀₅ a₁ 7.

Cộng các bất đẳng thức này vế theo vế, ta được:

 

2 3 2005 1

1 2 1 2

1 2

2 ... 7 2004 14028

2 7022 14028

16.

a a a a

a a

      

     

  

Mặt khác vì a₃, a₂₀₀₅1 nên a₁ 7 a₂₀₀₅6 và a₂  7 a₃ 6. Do đó a₁a₂12.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết nên suy ra điều phải chứng minh.