Đề thi thử vào chuyên Toán năm 2023 do thuvientoan.net biên soạn có lời giải chi tiết - Đề số 7

https://www.facebook.com/thuvientoan.net

https://thuvientoan.net/

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2022 – 2023

MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (1,5 điểm)

Cho a b c, , là các số tự nhiên thỏa mãn a²b²c²ab² b c² c a². a) Chứng minh rằng abbcca là một số chính phương.

b) Chứng minh rằng abbcca là tổng của ba số chính phương.

Câu 2. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình: x³x² 1 x² 2 x² x 1.

b) Giải hệ phương trình:

3 2 2

3 2 2

3 1

.

3 2 1

x xy y

y x y xy x

   

    



c) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 2. Chứng minh rằng:

 1²  1²  1² 1 ^{2 2 2 2 2 2}

4 .

a b c a b b c c a

b c a a b b c c a

 

            

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a b;  sao cho a1 chia hết cho b và b1 chia hết cho a. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố x y;  thỏa mãn x³ 1 20y³.

Câu 4. (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có ABAC và D E F, , lần lượt là trung điểm của BC CA AB, , . Đường tròn

 

 đi qua A và tiếp xúc với BC tại D và cắt AB AC, lần lượt tại H K, . Gọi T L, là các điểm lần lượt lượt thuộc

,

AB AC sao cho T đối xứng với H qua F và L đối xứng với K qua E. a) Chứng minh rằng tứ giác TLEF nội tiếp.

b) Gọi R lần lượt là giao điểm của DE với đường tròn

 

 . Chứng minh rằng ba điểm T L R, , thẳng hàng.

c) Gọi Q là giao điểm của AD và TL, M là điểm của HK và TL. Đường thẳng AM cắt đường tròn

 

^ tại P. Chứng minh rằng QCQP.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh là 2022. Giả sử X Y Z T, , , là các điểm nằm trên các cạnh của tam giác ABC và tạo thành tứ giác lồi XYZT nằm trong tam giác ABC. Hỏi cả bốn cạnh của tứ giác XYZT có thể đều lớn hơn 1011 hay không?

---HẾT--- ĐỀ SỐ 7