Đề thi vào chuyên Toán trường THPT chuyên Vĩnh Phúc năm 2023 có lời giải chi tiết

(1)

https://thuvientoan.net/

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn Toán chuyên Ngày thi 7/6/2022

Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (3,5 điểm)

a) Giải phương trình:



^x²^{ }^x ¹



^x²^⁴^x^{  }¹



^{4 .}^x²

b) Giải phương trình: x 3 5 x 2 152xx²  4.

c) Giải hệ phương trình:

   

2 2

2

3 14

3 3 18 .

x y xy x y

x x x y y

    

    



Câu 2. (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thỏa mãn p²3pq4q² là một số chính phương.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số tự nhiên x y, thỏa mãn x³y³6xy p 8.

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a²b² c² abbcca3.

a) Chứng minh rằng: ^{3 2}. a  b c 2 b) Chứng minh rằng:

 

²

 

²

 

²

2 3 2 3 2 3

ab bc ca 6.

a b b c c a

  

  

  

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

 

O sao cho hai tia BA và CD cắt nhau tại điểm E, hai tia AD và BC cắt nhau tại điểm F. Gọi G H, lần lượt là trung điểm của AC BD, . Đường phân giác của các góc BEC và

AFB cắt nhau tại điểm K. Gọi L là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng EF. a) Chứng minh rằng DEFDFE EBF và KL LE LF .

b) Chứng minh rằng GED HEA và EG FH EH FG .

c) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng EK và BC N, là giao điểm của hai đường thẳng FK và AB. Chứng minh rằng MB NB 2 KH.

MCNA KG Câu 5. (1,0 điểm)

Thầy Hùng viết các số nguyên 1, 2, 3,..., 2021, 2022 lên bảng. Thầy Hùng xóa đi 1010 số bất kỳ trên bảng. Chứng minh rằng trong các số còn lại trên bảng luôn tìm được:

a) 3 số có tổng bình phương là hợp số.

b) 504 số có tổng bình phương chia hết cho 4.

---HẾT--- ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(2)

https://thuvientoan.net/

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. (3,5 điểm)

a) Giải phương trình:



^x²^{ }^x ¹



^x²^⁴^x^{  }¹



^{4 .}^x²

b) Giải phương trình: x 3 5 x 2 152xx²  4.

c) Giải hệ phương trình:

   

2 2

2

3 14

3 3 18 .

x y xy x y

x x x y y

    

    



Lời giải

a) Nhận xét x0 không là nghiệm của phương trình. Do đó phương trình tương đương:

  

2 2 2

2

2 2

2

1 4 1 4

1 1 1 1

1 4 4 3 0

1 1

3 1 0

3 1 1 0

5 3

3 1 0 2 .

5 3

2

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x

x x

x

     

      

   

               

  

 

      

     

 

 

    

 

 

Vậy tập nghiệm của phương trình 3 5 3 5

; .

2 2

S

 

   

 

  

b) Điều kiện: 3  x 5.

Đặt t x 3 5x. Ta có: t² 8 2



x3 5



x



 8 2 152xx² 8. Suy ra t2 2.

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

2 2

8 4 12 0 4

t         t t t t do t2 2.

Với t4, ta có: x 3 5 x 4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

 

3 5 2 3 5 4.

x   x x  x  Đẳng thức xảy ra khi x    3 5 x x 1 (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x1.

(3)

https://thuvientoan.net/

c) Với y0, phương trình thứ nhất trở thành: ² 0

3 0 .

3 x x x

x

 

  

  

 Thử lại thấy thỏa mãn.

Do đó



^{x y}^;

   

^ ^{0;0 ,} ^^{3; 0}



là một nghiệm của hệ phương trình.

Xét y0, ta có:

   

 

2

2 2 2

3 3 11

3 14

3 3 18 3 3 18 3

3 18

x x

x y

x x y x y y

x y xy x y y

x x x y y x x x y y x x

x y y

     

 

      

      

 

  

  

           

  

      

Đặt

2 3

x x

a y

  và b  x y 3, ta có hệ phương trình:

11 2

18 9

a b a

ab b

    

 

 

 

   

 

  hoặc 9

2. a b

 

 

Với 2

9, a b

 

  ta có:

2

2 2

3 2 3 2 5 24 0 8

12 12 20

3 9

x x

x x y x x x

y y x y x y

x y

            

   

   

        

  

   



hoặc 3 9. x y

 

 

Với 9

2, a b

 

  ta có:

2

2 2

3 9 3 9 12 45 0 15

5 5 20

3 2

x x

x x y x x x

y y x y x y

x y

            

   

   

        

  

   



hoặc 3 2. x y

 

 

Tóm lại hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm:



x y^;

   

 ^{0; 0 ,} ^{3;0 ,}

 

8; 20 , 3;9 ,

   

15; 20 , 3; 2 .

  

Câu 2. (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thỏa mãn p²3pq4q² là một số chính phương.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số tự nhiên x y, thỏa mãn x³y³6xy p 8.

Lời giải a) Giả sử p²3pq4q²k² với k^*.

(4)

https://thuvientoan.net/

Ta có:

 

    

2 2 2 2 2

2 2

3 4 2

2 2 2 .

p pq q k p q k pq

p q k pq p q k p q k pq

      

         

 Trường hợp 1:

Ta có:



²



²



² ^.

2 1

p q k pq

p q k p q k pq

p q k

   

          Suy ra:

  

⁴ ⁷

2 4 1 4 2 7

2 1

p q pq p q p

q

  

        

  

 hoặc 4 1

2 7

p q

  

  



Từ đây ta tìm được:



^{p q}^;

 

^ ^{11;3 .}



Ta có:



²



²



² ^.

2

p q k p

p q k p q k pq

p q k q

   

          Suy ra:

2p4q   p q p 3q0, vô lí.

Ta có:



²



²



² ^.

2

p q k q

p q k p q k pq

p q k p

   

          Suy ra:

2p4q   p q p 3q0, vô lí.

Vậy



^{p q}^;

 

^ ^11;3



là cặp giá trị duy nhất cần tìm.

b) Ta có:

   

3 3 3 3 3

2 2

6 8 2 3 2

2 4 2 2

x y xy p x y x y p

x y x y xy x y p

           

        

Do x  y 2 4 nên

 

2 2

2

4 2 2 1 1 .

x y p

x y xy x y

   

      



Ta có:

  

¹  ^x^y

 

² ^x ²

 

² ^y²



²^2.

Suy ra:



^y^²



²^²^{do đó}



^y^²



²^⁰^hoặc



^y^²



²^^1.

Từ đây ta được y1, y2 hoặc y3.

Nếu y1, ta có:



¹

 

² ²



² ¹ ¹^.

2

x x x

x

 

    

  Khi đó p4 (loại) hoặc p5 (nhận).

(5)



²

 

² ²



² ² ³^.

1

x x x

x

 

    

  Khi đó p7 (nhận) hoặc p5 (nhận).



^x^³

 

²^{ }^x ²

 

²^{ }^x ¹



² ^{  }² ^x ^2.^{Khi đó}^p^⁷^(nhận).

Tóm lại p5 hoặc p7 là tất cả các giá trị cần tìm.

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a²b² c² abbcca3.

a) Chứng minh rằng: ^{3 2}. a  b c 2 b) Chứng minh rằng:

 

²

 

²

 

²

2 3 2 3 2 3

ab bc ca 6.

a b b c c a

  

  

  

Lời giải

a) Ta có: ^a²^b² ^c² ^ab^bc^ca ³



^a ^b ^c



² ³ ^ab^bc^ca^.

Mà

 

²

3 a b c

ab bc ca  

   nên:

 

²

 

² 3 2

3 .

3 2

a b c

a b c   a b c

       

b) Ta có:

   

 

    

 

  

 

2 2 2

2 2

2 2 2

2 3 2

1 .

ab ab a b c ab bc ca

a b a b

a b c ab bc ca a b b c c a b c c a

a b a b a b

      

  

          

   

  

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

     

  

 

  

 

  

 

2 2 2 2 2 2

2 3 2 3 2 3

3 b c c a a b c a a b b c .

ab bc ca

a b b c c a a b b c c a

     

  

     

     

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

2 2 2 33 2 2 2 3

b c c a a b c a a b b c b c c a a b c a a b b c

a b b c c a a b b c c a

           

     

     

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ². a  b c 2

(6)

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

 

^O sao cho hai tia BA và CD cắt nhau tại điểm E, hai tia AD và BC cắt nhau tại điểm F. Gọi G H, lần lượt là trung điểm của AC BD, . Đường phân giác của các góc BEC và

AFB cắt nhau tại điểm K. Gọi L là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng EF. a) Chứng minh rằng DEFDFE EBF và KL LE LF .

b) Chứng minh rằng GED HEA và EG FH EH FG .

c) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng EK và BC N, là giao điểm của hai đường thẳng FK và AB. Chứng minh rằng MB NB 2 KH.

MCNA KG

Lời giải Đang cập nhật

Câu 5. (1,0 điểm)

Thầy Hùng viết các số nguyên 1, 2, 3,..., 2021, 2022 lên bảng. Thầy Hùng xóa đi 1010 số bất kỳ trên bảng. Chứng minh rằng trong các số còn lại trên bảng luôn tìm được:

a) 3 số có tổng bình phương là hợp số.

b) 504 số có tổng bình phương chia hết cho 4.

Lời giải

a) Từ 1, 2, 3,..., 2021, 2022 có 1011 số chẵn và 1011 số lẽ. Khi xóa 1010 số bất kỳ thì trên bảng luôn còn ít nhất một số chẵn.

+ Nếu xóa đi 1010 số lẽ thì trên bảng còn 1011 số chẵn. Chọn 3 số chẵn này được tổng bình phương là một số chẵn.

+ Nếu số số lẻ được xóa nhỏ hơn 1010 thì luôn tồn một số chẵn và ít nhất hai số lẻ còn lại sẽ tổng bình phương là một số chẵn.

Các tổng bình phương này lớn hơn 2 và chia hết cho 2 nên là hợp số.

b) Các số chính phương lẻ chia 4 luôn dư 1. Các số chính phương chẵn luôn chia hết cho 4.

Hơn nữa tổng bình phương của 504 số lẻ luôn chia hết cho 4.

Sau khi xóa 1010 số thì trên bảng còn lại 1012 số.

+ Nếu có 504 số lẻ thì suy ra đều phải chứng minh.

+ Nếu có ít hơn 504 số lẻ thì có ít nhất 506 số chẵn. Chọn ra 504 số chẵn bất kỳ từ 506 số chẵn này ta được điều phải chứng minh.