Đề Thi Vào 10 Toán Chuyên 2020-2021 Tỉnh Long An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Ngày thi: 17/07/2020

Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

 

³



²



³



³

1 3

1 3

x x x x

P x x x x

  

  

 

  với x0,x9 a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm xđể P là số nguyên Câu 2. (1,5 điểm)

Cho hàm số 3 4 3

y  x _{có đồ} thị

 

^d

a) Vẽ đồ thị

 

^d

b) Gọi Alà giao điểm của

 

^{d v}ới trục tung Oy B, là giao điểm của

 

^{d v}ới trục hoành .

Ox Tính chu vi tam giác OABvà khoảng cách từ gốc tọa độ O_{đến đườ}ng thẳng

 

^d

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho phương trình : ^{m m x}



^{2  m 2}



^{8x4với mlà tham số, m2}

Tìm tất cả các giá trị của m_đểphương trình trên có nghiệm nhỏ hơn 2 Câu 4. (2,5 điểm)

Cho đường tròn

 

^{O có AB}là đường kính. Vẽ đường kính CDkhông trùng với AB.Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn

 

^{O cắt các đường thẳng BCvà BDlần lượt tại Evà}

F.Gọi Qlà trung điểm của đoạn thẳng AF a) Chứng minh : ACBDlà hình chữ nhật

b) Chứng minh QOsong song với BFvà BQClà tam giác cân c) Chứng minh EB EC. FB FD. 2CD²

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho đa giác đều 24cạnh A A_{1 2}...A A_{23 24}.Có tất cả bao nhiêu tam giác vuông nhưng không phải là tam giác vuông cân được tạo thành từ các đỉnh trên ?

Câu 6. (1,0 điểm)

Cho các số thực a b c, , sao cho 3

0, , 5

a b 2 c và

2 2

2 12

2 9

b c a    Tìm giá trị lớn nhất của M  2ab3a  ca8c2 c5

Câu 7. (1,0 điểm)

Cho ABCnhọn có AB AC.Gọi O H G, , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác trên. Gọi Elà điểm tùy ý sao cho luôn tạo thành EHG và EOG.Chứng minh tỉ số diện tích EHGvà diện tích EOGkhông phụ thuộc vào vị trí điểm E

ĐÁP ÁN Câu 1.

    

  

     ^{ }

  

2

3 2 3 3 1

)

1 3

3 8

8 3 24 8

1 3 1 3 1

x x x x x

a P

x x

x x

x x x x x

x x x x x

     

  

 

   

  

    

b)Ta có: P0,P và

2 2

4 32

2 4

P P P

x  

   

 

 

  

  

2 4 8

2 4

4 8

4, &

2 2

P P

x P

P P

P P x P

 

 

   

 

 

    

     

  

2 2

2

8 4,

4 8 4 8

2 ; 2

4 8

8, ;

2 P P

P P P P P P

x x

P P P

P P x

  

         

   

 

   

   

    

 

  

 

 

Câu 2.

a) Học sinh tự vẽ đồ thị

b) Tọa độcác giao điểm ^A

   

^{0;3 ;B 4;0 ;OAOB4AB OA2 OB2  32 42 5}

Chu vi tam giác OAB OA OB:   AB   3 4 5 12

Vẽ OH  ABtại H. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OABvuông tại O có đường cao ,

OH ta có: . 12

5 OA OB OH  AB  Câu 3.



^{2 2}



^{8 4}



^{3 8}



^{2 2 4}

^

²

^

¹

m m x m  x  m  xm  m  m x

(vì ^{m2 2m 4}



^m1



^{2  3 0)}. Phương trình có nghiệm 1 x 2

 m



1 2 3 3

2 0 2

2 2 2

x m x

m m

        

 

Câu 4.

a) Vì AB_{là đườ}ng kính nên ACB ADB90⁰

Vì CD_{là đườ}ng kính nên CADCBD90⁰ ACBDlà hình chữ nhật

b) Vì O là trung điểm AB Q, là trung điểm AFnên QO_{là đườ}ng trung bình tam giác ABFQO/ /BF

Mà BCBF QOBC

Vì QOBCnên QOđi qua trung điểm BC(tính chất đường kính dây cung)

BQCcó QOvừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên BQCcân tại Q

Q

F

E

D

B O

A

C

c) BEAvuông tại A có ACđường cao nên EA² EB EC.

BFAvuông tại A có AD là đường cao nên FA² FB FD.

2 2

. .

EB EC FB FD EA FA

   

Mà EA² FA² 2.EA FA Co. ( si)và EA FA.  AB² CD² Vậy EB EC. FB FD. 2CD²

Câu 5.

Đa giác đều A A_{1 2}...A A_{23 24}sẽ nội tiếp đường tròn tâm Ovà A A_{1 13},A A_{2 14},....,A A_{12 24}là 12 đường kính của đường tròn trên.

Từđường kính A A_{1 13}ta có 22tam giác vuông

1 13 2, 1 13 3,..., 1 13 12, 1 13 14,... 1 13 24

A A A A A A A A A A A A A A A

Trong 22 tam giác vuông trên thì có 2 tam giác cân là A A A A A A_{1 13 7}, _{1 13 19}

Tương tựcho các đường kính khác, tổng cộng ta có 240tam giác thỏa đề bài Câu 6.

   

 

2 3 8

2 3 2 3 ; 8

2 2

4 5

2 5 4 5 2

2

a b c a

ab a a b c a

c c c M a b c

   

     

          

Ta có:

2 2 2

1 4 81

; ;

2 4 18

a b c

a  b  c 

2 2 2

6 12 14

2 4 18

a b c

a b c M

         

Vậy Max M 14 a 1;b2;c9

Câu 7.

Vẽ đường kính AD

Ta có: BH / /DC(vì cùng vuông góc AC)

 

/ /

CH BD  AB BHCDlà hình bình hành

Gọi Flà trung điểm AC, vì OF là đường trung bình của ADCvà BHCDlà hình bình

hành nên 1

/ / ,

OF BH OF  2BH

Vì BG BH 2; ( . . )

HBG OFG BHG FOG c g c FG  FO      

GH 2;

HGB OGF

 GO  

Suy ra ba điểm O H G, , thẳng hàng (vì HGB OGB 180 )⁰ và 2 ^EHG 2

EOG

GH GO S S





  

F G

H

D O

A

B C