Chuyên đề 3 đường CÔNIC toán 10

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

Ba đ-ờng Cônic

Họ và tên: Lớp: 10A

Elip Hypebol Parabol

Định nghĩa

Cho 2 điểm F₁, F₂ cố định với F₁F₂ = 2c (c>0).

Đ-ờng Elíp là tập hợp các

điểm M sao cho MF₁+MF₂=2a

(a > c > 0)

Cho 2 điểm F₁, F₂ cố định với F₁F₂ = 2c (c>0).

Đ-ờng Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho |MF₁-

MF₂|=2a (c > a > 0)

Cho điểm F cố định và

đ-ờng thẳng  cố định không đi qua F. Đ-ờng Parabol là tập hợp các

điểm M cách đều điểm F và 

F₁, F₂ là các tiêu điểm F₁, F₂ là các tiêu điểm  là đ-ờng chuẩn F là tiêu điểm PT chính

tắc ^{2 2}

2 2 1

x y

a b

  ^{2 2}

2 2 1

x y

a b

  y² 2px

Điều kiện a > b > 0 a > 0; b > 0 p > 0 Tiêu cự F₁F₂ =2c,









Tiêu điểm F₁(-c; 0); F₂(c; 0) F₁(-c; 0); F₂(c; 0) F(p/2; 0)

Đỉnh A’(-a;0), A(a;0).

B’(0; -b), B(0; b) A’(-a; 0), A(a; 0). O(0;0) Trục Trục lớn thuộc Ox,

độ dài: 2a

Trục thực thuộc Ox,

độ dài: 2a Trục tiêu thuộc Ox Trục nhỏ thuộc Oy,

độ dài : 2b

Trục ảo thuộc Oy, độ dài: 2b

Trục đxứng Ox, Oy Ox, Oy Ox

Tâm đxứng Gốc O Gốc O Không có

Tâm sai c 1

e a c 1

e a e =1

Đ-ờng

chuẩn x ^a

 e x ^a

 e

2 x  p

Bán kính

qua tiêu ¹

MF = a + xc

a ; MF = a - ₂ ^cx

a ¹

MF = a + xc

a ; MF = a - ₂ ^cx

a

2 FM p x

H×nh d¹ng

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 F1 F2 5 x 10

y

O B

B'

A' A

4

2

-2

-4

-6

-15 -10 -5 F1 A' O A F2 5 10

y

x

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 O F 5 10

y

x

BÀI TẬP ELIP

Bài 1: Viết phương trình chính tắc của Elip trong các trường hợp sau:

1, độ dài trục lớn = 6; tiêu cự = 4

2, 1 tiêu điểm là F1(-2; 0) và độ dài trục lớn = 10 3, 1 tiêu điểm là F1





2

; 3 1 ( M

4, đi qua 2 điểm A(2;1) và B 



 





2

; 1 5

5, tiêu cự = 8, (E) qua M( 15;1)

6, trục lớn =12; qua điểm M(2 5;2)

7, trục nhỏ = 4; tâm sai

2

 2 e

8, 2 tiêu điểm là F1(-6;0) và F2(6;0) tâm sai

3

 2 e

9, qua )

5 5

;4 5

5 (3

M và M nhìn F1, F2 dưới 1 góc vuông.

Bài 2:

1, cho (E): 4x² + 9y² -36 = 0. Xác định độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai, tiêu điểm và các đỉnh của (E)

2, cho (E): 1

36 100

2 2



 y x

a, tìm toạ độ tiêu điểm, tâm sai.

b, Qua tiêu điểm F1 của (E) dựng 1 dây cung AB của (E) vuông góc với trục lớn. tính độ dài của AB.

Bài 3:

1, cho (E): 1 5 9

2 2



 y

x . Tìm M trên (E) sao cho MF1=2MF2

2, Cho (E): 16x² + 25y²- 400=0. Tìm M trên (E) sao cho M nhìn F1, F2 dưới 1 góc 60⁰

3, Tìm M nằm trên (E): 1 9 25

2 2



 y

x nhìn 2 tiêu điểm cuả (E) dưới 1 góc vuông

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

4, Viết ptct của (E) biết 1 điểm M có hoành độ = 2 nằm trên (E) và

3

; 5 3 13

2

1 MF 

MF

Bài 4: Tìm toạ độ giao điẻm của đường thẳng (d):











 t y

t x

1

2 với (E):

4 1 5

2 2



 y x

Bài 5: Cho M(1;1) và (E): 4x²+9y² = 36

1, Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tâm sai của (E).

2, CMR mọi đường thẳng qua M luôn cắt (E) taj 2 điểm phân biệt.

3, Lập pt đường thẳng qua M cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho MA = MB.

Bài 6: Cho (E): 16x² + 25y² = 100

1, Tìm điểm trên (E) có oành độ = 2, tính khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiêu điểm.

2, Tìm b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với (E).

Bài 7: Cho 2 elip: (E1): 1 1 4

2

2  y 

x và (E2): 1

6 1

2

2  y 

x

1, CMR 2 elip cắt nhau tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D và ABCD là hình chữ nhật

2, Viết pt đường tròn ngoại tiếp hcn ABCD.

Bài 8: Cho (E): 4x² + 9y² = 36. Tìm M trên (E) sao cho:

1, M có toạ độ là các số nguyên.

2, M có tổng các toạ độ đạt Min, Max.

Bầi 9: Cho (E): 1 4 25

2 2



 y

x và đường thẳng (d): 2x + 15y – 10 = 0.

1, CMR: (d) luôn cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB.

2, Tìm C trên (E) sao cho ABC cân tại A biết xA>0.

Bài 10: Cho (E): 1 4 8

2 2



 y

x và (d): x 2y20

1, CMR: (d) cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB.

2, Tìm C trên (E) sao cho S_ABC lớn nhất.

Bài 11:Cho (E): 1 4 9

2

2  y 

x và đường thẳng (d): 3x + 4y + 24 = 0.

1, CMR: (d) không cắt (E).

2, Tìm M trên (E) sao cho khoảng cách từ M đến (d) Min

Bài 12: Cho A(a;0), B(b;0), một điểm M chia đoạn BA theo tỷ số -2(tức là

MA MB2 )

1, Tìm toạ độ của M theo a, b.

2, Giả sử a, b thay đổi sao cho AB = 3. CMR khi đó tập hợp M là 1 elip.

Viết pt (E) đó.

Bài 13: Cho (E): 1 16 25

2

2  y 

x . A, B là 2 điểm trên (E) sao cho AF1+BF2 = 8.

Tính AF2 + BF1.

Bài 14: Cho (E): 1 16 25

2

2  y 

x . Tìm toạ độ điểm M trên (E) sao cho MF1 = 4MF2.

Bài 15: Cho 2 elip: (E1): 1; 4 9

2 2



 y

x (E2): 1

1 16

2 2



 y

x . Viết pt đường tròn đi qua các giao điểm của 2 elip đó.

Bài 16: Cho (E): 9x² + 25y² = 225.

1, Tìm toạ độ tiêu điểm và tâm sai của (E).

2,Viết pt đường thẳng qua M(1;1) cắt (E) tại 2 điểm M1, M2 sao cho M là trung điểm của M1M2.

Bài 17: Cho 2 đường thẳng: (d₁): (a-b)x + y = 1 và (d₂): (a²-b²)x + ay = b, biết b² = 4a² +1

1, Xác định giao điểm I của (d1) và (d2) 2, Tìm tập hợp điểm I khi a, b thay đổi.

Bài 18: Trong mp Oxy, cho C(2;0) và (E): 1 1 4

2 2



 y

x . Tìm các điểm A, B trên (E) biết A, B đối xứng nhau qua Ox và tam giác ABC là tam giác đều.

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

Bài 19:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề cỏc vuụng gúc Oxy cho elip:

(E): 1

4 9

2

2  y 

x và hai đường thẳng (d): ax – by = 0 và (d’): bx + ay = 0 với a² + b² >0

Gọi M, N là cỏc giao điểm của (d)và (E); P, Q là cỏc giao điểm của (d’)với (E).

1. Tớnh diện tớch tứ giỏc MNPQ theo a và b.

2. Tỡm điều kiện đối với a, b để diện tớch MNPQ nhỏ nhất.

Bài 20:. Cho elip (E): 4x² + 16y² = 64

a. Hóy xỏc định cỏc tiờu điểm F1, F2 của (E)

b. Giả sử M là một điểm di động trờn (E). Chứng minh rằng tỉ số khoảng cỏch từ M đến tiờu điểm F2 của (E) và đến đường thẳng

3

 8

x là luụn luụn khụng đổi. Hóy tớnh lượng khụng đổi đú.

Bài 21. Cho elip 1 1 4

2

2  y 

x và điểm A ( - 2; 0).

Giả sử M là điểm di động trờn elip. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn trục Oy. Giả sử AH cắt OM tại P. Chứng minh rằng khi M thay đổi trờn elip thỡ P luụn luụn chạy trờn một đường cong (C) cố định.

Bài 22: Cho đường trũn (C): x² + y² – 6x – 55 = 0. Tỡm tập hợp tõm M của cỏc đường trũn đi qua F1(-3; 0) và tiếp xỳc ngoài với (C).

Bài 23: Tỡm tập hợp tõm của cỏc đường trũn:

0 1 2 cos )

2 sin 8 ( ) 2 cos 10

2 (

2 y  t x t y t 

x khi t thay đổi.

Bài tập Hypebol

Bài 1: Trong các ph-ơng trình của các đ-ờng cong sau, PT nào là PT của Hypebol ? khi đó hãy xác định các thuộc tính và vẽ Hypebol đó.

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

. 1 . . 1 . 4 9 36

9 4

. 1 . 9x 4 36 0 . 4x 16 0

9 4

x y

a e d x y c x y

x y

b f y g y

     

       

Bài 2: Lập ph-ơng trình chính tắc của Hypebol (H) trong mỗi tr-ờng hợp sau:

1. Qua 2 điểm ^P



 



2. Qua điểm ^A





2x y 0.

3. Trục ảo có độ dài bằng 12, tâm sai = 5/4.

4. Một tiêu điểm là F₂(5; 0), tâm sai e = 5/3.

5. Một đỉnh trên trục thực là A( 3 ; 0) và đ-ờng tròn ngoại tiếp hình chữ

nhật cơ sở có PT: x² + y² = 13

6. Độ dài trục thực bằng 6 và 2 đ-ờng tiệm cận vuông góc với nhau.

7. Qua điểm ^{4 34 9};

5 5

M 

 

 

  và F MF_{1 2} 90

8. Qua điểm M(6; 3) và mỗi đ-ờng tiệm cận tạo với trục hoành 1 góc 30⁰.

9. Có 2 tiêu điểm trùng với 2 tiêu điểm của Elíp: 9x² + 25y² = 225 và có tâm sai bằng 2.

10. Tâm sai e = 3/2. PT các đ-ờng chuẩn là: 4 x  3 Bài 3: Cho Hypebol (H): 9x² – 16y² = 144.

1. Tìm toạ độ các tiêu điểm của (H)

2. Lập PT đ-ờng tròn (C) có đ-ờng kính là F₁F₂. Tìm giao điểm của (C) và (H).

3. Viết PT đ-ờng Elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).

Bài 4: Cho hypebol (H)

2 2

2 2 1

x y

a b  . CMR:

1. Tích khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên (H) đến 2 đ-ờng tiệm cận là 1 hằng số.

2. Diện tích hình bình hành xác định bởi 2 đ-ờng tiệm cận và 2 đ-ờng đi qua 1 điểm trên (H) và lần l-ợt song song với 2 đ-ờng tiệm cận là 1 hằng số.

Bài 5: Cho Hypebol (H): 9x² – 16y² = 144. Tìm những điểm M trên (H) sao cho:

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1. B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm tr¸i cña ®iÓm M b»ng 2 lÇn b¸n kÝnh qua tiªu

®iÓm ph¶i cña ®iÓm M.

2. M nh×n 2 tiªu ®iÓm d-íi 1 gãc vu«ng.

3. M nh×n 2 tiªu ®iÓm d-íi 1 gãc 120⁰.