Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Phạm Hùng Hải - TOANMATH.com

(1)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

MỤC LỤC MỤC LỤC

Chương 1. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 1

§1

– PHÉP TỊNH TIẾN

1

A

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . .1

B B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN. . . .2

| Dạng 1.1: Xác định tọa độ ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến. . . .2

| Dạng 1.2: Xác định phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến. . . .4

| Dạng 1.3: Xác định phương trình ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến. . . .7

| Dạng 1.4: Một số bài toán hình sơ cấp. . . .9

C C BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . .10

D D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .16

§2

– PHÉP QUAY

21

A A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . .21

| Dạng 2.5: Xác định ảnh của một điểm qua phép quay. . . .22

| Dạng 2.6: Xác định phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép quay. . . .25

| Dạng 2.7: Xác định phương trình ảnh của đường tròn qua phép quay. . . .27

§3

– PHÉP VỊ TỰ

36

(2)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

| Dạng 3.9: Tìm ảnh, tạo ảnh của một điểm qua một phép vị tự. . . .38

| Dạng 3.10: Xác định phương trình ảnh của đường thẳng qua phép vị tự. . . .39

| Dạng 3.11: Xác định phương trình ảnh của đường tròn qua phép vị tự. . . .39

§4

– PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

46

| Dạng 4.13: Xác định ảnh qua phép dời. . . .46

| Dạng 4.14: Xác định ảnh qua phép đồng dạng. . . .47

§5

– ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

51

A A Đề số 1. . . .51

B B Đề số 2. . . .54

§6

– ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ

57

(3)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

1

CHƯƠNG

PHÉP TỊNH TIẾN Bài 1

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ #»v. Phép biến hình biến mỗi điểmMthành điểmM⁰sao cho # »

MM⁰= #»v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ #»v.

¬ Phép tịnh tiến theo vectơ #»v kí hiệu là: T#»v, trong đó #»v được gọi là vectơ tịnh tiến.

Ta cóT#»v(M) =M⁰⇔ # » MM⁰= #»v.

® Phép tịnh tiến theo vectơ-không chính là phép đồng nhất.

M

M⁰

#»v

2. Tính chất

L Tính chất 1:Xét phép tịnh tiến theo #»v biến hai điểmM,Nthành hai điểmM⁰,N⁰thì

¬ # »

M⁰N⁰= # »

MN, từ đó suy raM⁰N⁰=MN.

phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

M

M⁰

N

N⁰

#»v

L Tính chất 2: Phép tịnh tiến

¬ biến đường thẳng thành đường thẳngsong song hoặc trùngvới nó.

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

® biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.

(4)

Phạm Hùng Hải

¯ biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Chú ý:Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

3. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độOxycho vectơ #»v = (a;b)và điểmM(x;y). Khi đó

T#»v(M) =M⁰ x⁰;y⁰

⇔







x⁰=x+a y⁰=y+b

B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

p Dạng 1.1. Xác định tọa độ ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến Cho vectơ #»v = (a;b)và điểmM(x;y). Khi đó

T#»v(M) =M⁰ x⁰;y⁰

⇔







x⁰=x+a y⁰=y+b

Ví dụ 1

d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểmA(3;−3). Tìm tọa độ diểmA⁰là ảnh củaAqua phép

tịnh tiến theo véctơ #»v = (−1; 3).

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Trang

ÔTh.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921

(5)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

3

1. PHÉP TỊNH TIẾN

Ví dụ 2

d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M⁰(−4; 2), biếtM⁰ là ảnh củaM qua phép tịnh tiến theo véctơ #»v = (1;−5). Tìm tọa độ điểmM.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 3

d Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho điểmM(−5; 2)và điểmM⁰(−3; 2)là ảnh cảuMqua phép

tịnh tiến theo véctơ #»v. Tìm tọa độ véctơ #»v. Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 4

d Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho∆ABC biếtA(2; 4),B(5; 1),C(−1;−2). Phép tịnh tiến theo véctơBC# »biến∆ABCthành∆A⁰B⁰C⁰tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâmG⁰của∆A⁰B⁰C⁰là Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Trang

(6)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

Ví dụ 5

d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(0; 2),N(−2; 1) và véctơ #»v = (1; 2). Ơ. Phép tịnh tiến theo véctơ #»v biếnM,N thành hai điểmM⁰,N⁰tương ứng. Tính độ dàiM⁰N⁰.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 6

d Cho tam giác ABC có A(1;−1),B(2; 3),C(5;−2) và A⁰,B⁰,C⁰ lần lượt là ảnh của các điểm A,B,Cqua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (1; 2). Tính diện tíchScủa tam giácA⁰B⁰C⁰.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p Dạng 1.2. Xác định phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến

Cho #»v = (a;b)vàd: Ax+By+C=0. Tìm phương trìnhd⁰là ảnh củad quaT#»v. L Cách 1.Tìm hai điểm trên đường thẳng ảnh và viết phương trình qua hai điểm đó.

• Lấy hai điểmM,N thuộcd.

• TínhT#»v(M) =M⁰, tìm tọa độM⁰. TínhT#»v(N) =N⁰, tìm tọa độN⁰.

• Đường thẳng d⁰ cần tìm là đường thẳng qua hai điểm M⁰ và N⁰.

d⁰ d

M N

M⁰ N⁰

• Cách 2.Sử dụng tính chấtd⁰song song hoặc trùng vớid.

• d qua điểmMvà có vec tơ pháp tuyếnn#»_d= (A;B;C).

• #» 0 0

(7)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

5

• Đường thẳngd⁰ cần tìm là đường thẳng qua điểm M⁰ và nhậnn#»_d làm vec tơ pháp tuyến.

Suy rad⁰: A(x−x₀) +B(y−y₀) =0.

• Cách 3.Sử dụng quỹ tích điểmM⁰:

• GọiM(x;y)∈dvàM⁰(x⁰;y⁰)là ảnh của điểmMquaT#»v.

• Ta có

T#»v(M) =M⁰ x⁰;y⁰

⇔







x⁰=x+a y⁰=y+b

⇔







x=x⁰−a y=y⁰−b

(1)

• Thay(1)vào phương trìnhd, ta đượcA(x⁰−a) +B(y⁰−b) +C=0.

Thu gọn kết quả, ta đượcAx⁰+By⁰+C⁰=0.

Vậy, phương trình ảnh củadlàAx+By+C⁰=0.

Ví dụ 1

d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường thẳng ∆⁰ là ảnh của đường thẳng ∆:

x+2y−1=0qua phép tịnh tiến theo véctơ #»v = (1;−1).

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Trang

(8)

Phạm Hùng Hải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 2

d Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường thẳngd:x+3y−1=0. Tìm ảnh củad qua phép tịnh tiến theo #»v = (2;−1).

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 3

d Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng∆có phương trình 2x+y+5=0.Tìmabiết

phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (1;a)biến∆thành chính nó.

6

Trang

(9)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

7

Lời giải.

. . . . . . . . . . . .

p Dạng 1.3. Xác định phương trình ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến

Cho #»v = (a;b)và(C): (x−m)²+ (y−n)²=R². Tìm phương trình(C⁰)là ảnh của(C)quaT#»v. L Cách 1.Đường tròn(C)có tâmI(m;n)và bán kínhR.

• T#»v(I) =I⁰(x⁰;y⁰)⇒







x⁰=x+a=m+a y⁰=y+b=n+b

.

ĐiểmI⁰(m+a;n+b) = (x₀;y₀)chính là tâm của đường tròn(C⁰).

• Do phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách nênR⁰=R.

Vậy, phương trình(C⁰): (x−x₀)²+ (y−y₀)²=R². L Cách 2.Sử dụng quỹ tích điểmM⁰:

• GọiM(x;y)∈(C)vàM⁰(x⁰;y⁰)là ảnh của điểmMquaT#»v.

• Ta có

T#»v(M) =M⁰ x⁰;y⁰

⇔







x⁰=x+a y⁰=y+b

⇔







x=x⁰−a y=y⁰−b

(1)

• Thay(1)vào phương trình(C), ta được(x⁰−a−m)²+ (y⁰−b−n)²=R². Vậy, phương trình ảnh của(C)là(C⁰): (x−a−m)²+ (y−b−n)²=R².

Chú ý:Đường tròn(C): x²+y²−2ax−2by+c=0có

• tâmI(a;b);

• bán kínhR=√

a²+b²−c.

7

Trang

(10)

Phạm Hùng Hải

Ví dụ 1

d Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường tròn(C):(x+5)²+ (y−3)²=25. Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (5;−4).

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 2

d Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm phương trình đường tròn (C⁰)là ảnh của đường tròn (C): x²+y²−2x+4y−1=0quaT#»v với #»v = (1; 2).

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Trang

(11)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

9

. . . . p Dạng 1.4. Một số bài toán hình sơ cấp

Ví dụ 1

d

Cho hình vuôngABCDtâmI. GọiM,N lần lượt là trung điểmAD,DC.

Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến tam giácAMIthànhINC.

A B

C

D N

M I

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 2

d Cho đường tròn(O)và hai điểmA,B. Một điểmMthay đổi trên đường tròn(O). Tìm quỹ tích điểmM⁰sao cho # »

MM⁰+MA# »= # » MB.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

9

Trang

(12)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

10

Ví dụ 3

d

Cho hai điểmB,Ccố định trên đường tròn(O,R)vàAthay đổi trên đường tròn đó,BD là đường kính. Tìm quỹ tích trực tâm H của∆ABC.

B C

A

I

D

H

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độOxychoA(3; 1),B(2; 2).

Tìm tọa độ ảnh của điểmAqua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (1;−2).

a)

Tìm tọa độ điểmCsao choBlà ảnh củaCqua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (3; 1).

b)

Tìm một phép tịnh tiến biếnAthànhB.

c)

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường thẳngd: 2x−3y+1=0. Tìm ảnh củadqua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (3;−1).

Bài 3. Trong mặt phẳngOxy, cho điểmA(−2; 3); đường thẳngd: 2x−y+5=0; đường tròn (C): (x+3)²+ (y−2)²=4và #»u = (1; 2).

Tìm tọa độ ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ #»u; a)

(13)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

11

Tìm phương trình ảnh của(C)qua phép tịnh tiến theo #»u. c)

Bài 4. Trong mặt phẳngOxy, cho điểmA(2; 3),B(−1; 2), đường thẳngd: 2x−3y+2=0, đường tròn(C):(x+1)²+ (y−3)²=4.

Tìm phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ # » AB.

a)

Tìm phương trình ảnh của(C)qua phép tịnh tiến theo véc tơ # » AB.

b)

Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 3), đường thẳng d: 2x−3y+2=0, đường tròn (C):(x+1)²+ (y−3)²=4và véc tơ #»u = (3;−2)

Tịnh tiến theo véc tơ #»u biếnAthànhM. Xác định tọa độ điểmA.

a)

Tìm phương trình ảnh củadqua phép tịnh tiến theo #»u. b)

Tìm phương trình ảnh của(C)qua phép tịnh tiến theo #»u. c)

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho đường thẳng d:x−y+1=0. Tìm phương trình đường thẳngd⁰sao chod là ảnh củad⁰qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (3;−1).

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường tròn(C):x²+y²−8x−2y−3=0. Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (1;−2).

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường tròn(C):(x+3)²+ (y−2)²=16. Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép tịnh tiến theo vectơ #»v = (1;−4).

Bài 9. Cho hình bình hànhABCD. Phép tịnh tiếnT# » AB+# »

ADbiến điểmAthành điểm nào?

Bài 10.

Cho lục giác đềuABCDEF tâm O. Tìm ảnh của∆AOF qua phép tịnh

tiến theo vectơ # » AB.

E F

O

B C

A D

11

Trang

(14)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

12

Bài 11. Cho hình vuôngABCDtâmI. GọiM,Nlần lượt là trung điểm củaAD,DC. Tìm phép tịnh

tiến biến∆AMIthành∆MDN?

Bài 12. Cho hình bình hành ABCD. Trình bày các phép tịnh tiến biến đường thẳng AB thành

đường thẳngCDvà biến đường thẳngADthành đường thẳngBC?

Bài 13. Tìm vectơ #»v = (a;b)sao cho khi tịnh tiến đồ thịy= f(x) =x³+3x+1theo vectơ #»v ta nhận được đồ thị hàm sốy=g(x) =x³−3x²+6x−1.

Bài 14. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(−5; 2),C(−1; 0). Biết B=T#»u(A),C=T#»v(B).

Tìm tọa độ của vectơ #»u+#»v để có thể thực hiện phép tịnh tiếnT#»u+#»v biến điểmAthành điểmC.

Bài 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳngd : 2x−3y+3=0và d⁰: 2x−3y−5=0.

Tìm tọa độ #»v có phương vuông góc vớidvàT#»v biến đường thẳngd thànhd⁰.

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Ảnh của điểmM(0; 1)qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»u = (1; 2)là điểm nào?

A. M⁰(2; 3). B. M⁰(1; 3). C. M⁰(1; 1). D. M⁰(−1;−1).

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độOxy, ảnh của điểmM(0; 1)qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»u = (1; 2)là điểm nào?

A. M⁰(2; 3). B. M⁰(1; 3). C. M⁰(1; 1). D. M⁰(−1;−1).

Câu 3. Phép tịnh tiến theo #»v biến điểmA(1; 3) thành điểm A⁰(1; 7). Tìm tọa độ của véc-tơ tịnh tiến

#»v?

A. #»v = (0;−4). B. #»v = (4; 0). C. #»v = (0; 4). D. #»v = (0; 5).

Câu 4. Cho hình vuôngABCDcó tâmI. Ta có

A. T_AI^#»(I) =B. B. T_AI^#»(I) =D. C. T_AI^#»(I) =C. D. T_AI^#»(I) =A.

A B D C

I

Câu 5. Cho hình bình hànhABCD. Phép tịnh tiếnT_BA^{# »}biến:

A. BthànhC. B. CthànhD. C. CthànhB. D. AthànhD.

C D

(15)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

13

Câu 6. Cho hình lục giác đềuABCDEFtâmO, đặt #»v = # »

OA. Qua phép tịnh tiếnT^#»_v thì:

A. B7→C. B. C7→D. C. D7→E. D. E7→F.

E F

O

B C

A D

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểmA(3; 2)thành điểm A⁰(2; 3) thì nó biến điểmB(2; 5)thành

A. ĐiểmB⁰(5; 5). B. ĐiểmB⁰(5; 2). C. ĐiểmB⁰(1; 1). D. ĐiểmB⁰(1; 6).

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: x−2y+2=0. Ảnh của đường thẳng∆qua phép tịnh tiến theo #»u = (2; 3)có phương trình là

A. x−2y+6=0. B. x+2y+2=0. C. 2x−y+2=0. D. 2x+y+2=0.

Câu 9. Trong mặt phẳngOxy, phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v(2;−3)biến đường thẳngd: 2x+3y−1=0 thành đường thẳngd⁰có phương trình:

A. d⁰: 3x+2y−1=0. B. d⁰: 2x+3y+4=0.

C. d⁰: 3x+2y+1=0. D. d⁰: 2x+3y+1=0.

Câu 10. Phép tịnh tiến theo #»v biến điểmA(1; 3)thành điểmA⁰(1; 7). Tìm tọa độ của véc-tơ tịnh tiến

#»v?

A. #»v = (0;−4). B. #»v = (4; 0). C. #»v = (0; 4). D. #»v = (0; 5).

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độOxy, phép tịnh tiến biến đường thẳngd: x+y+1=0thành đường thẳngd⁰: x+y−1=0theo véc-tơ cùng phương với véc-tơ #»

i. Hãy tìm vec-tơ tịnh tiến

A. #»v = (2; 0). B. #»v = (0; 2). C. #»v = (0;−2). D. #»v = (−2; 0).

Câu 12. Cho lưới tọa độ ô vuông như hình vẽ.

Tìm tọa độ véc-tơ#»v biết rằng quaT^#»_v thì∆A⁰B⁰C⁰

là ảnh của4ABC.

A. #»v = (8;−4). B. #»v = (−8; 4).

C. #»v = (8;−3). D. #»v = (8; 3).

O x

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 A

A⁰ C

C⁰ B

B⁰

13

Trang

(16)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

14

Câu 13. Trên mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v(3; 1) biến đường thẳng d thành đường thẳngd⁰, biếtd⁰: x−2y=0. Khi đódcó phương trình là

A. x−2y−1=0. B. x−2y+1=0. C. x+2y−1=0. D. x+2y−1=0.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độOxy, phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (a;b)biến đường thẳngd₁: x+ y=0thànhd₁⁰: x+y−4=0vàd₂: x−y+2thànhd₂⁰: x−y−8=0. Tínhm=a+b

A. m=4. B. m=−4. C. m=5. D. m=−5.

Câu 15. Trong mặt phẳng, cho tam giácABC. Gọi M,N, Plần lượt là trung điểm các cạnhBC,CA,AB. Phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = 1

2

BC# »biến A. điểmPthành điểmN. B. điểmNthành điểmP.

C. điểmM thành điểmB. D. điểmMthành điểmN.

A

B M C

P N

Câu 16. Qua phép tịnh tiến véc-tơ #»u, đường thẳngdcó ảnh là đường thẳngd⁰. Mệnh đề nào đúng.

A. d⁰trùng vớidkhi và chỉ khid song song với giá #»u. B. d⁰trùng vớidkhidvuông góc với giá #»u.

C. d⁰trùng vớidkhidcắt đường thẳng chứa #»u.

D. d⁰trùng vớidkhidsong song hoặcdtrùng với giá #»u.

Câu 17. Có12 tấm hình tròn như nhau được xếp theo hình bên. Sau một phép tịnh tiến, hình1biến thành hình8. Hỏi ảnh của hình5là hình nào?

A. 10. B. 11. C. 12. D. 9.

10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho lưới tọa độ ô vuông như hình vẽ. Tìm tọa độ củaA⁰, B⁰ là ảnh củaA, B qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v.

A. A⁰(−4; 1),B⁰(2; 0). B. A⁰(−4; 2),B⁰(2; 0).

C. A⁰(−1; 2),B⁰(0; 2). D. A⁰(2; 2),B⁰(0; 2).

x y

O A

B

#»v

(17)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

15

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho lưới tọa độ ô vuông như hình vẽ. Tìm công thức phép dời hình f biếnM(x;y)thànhM⁰(x⁰;y⁰)sao cho qua f tam giácABCbiến thành tam giácA⁰B⁰C⁰.

A.







x⁰=x+5 y⁰=y−4

. B.







x⁰=x−5 y⁰=y+4 .

C.







x⁰=−x+7 y⁰=y−4

. D.







x⁰=x+5 y⁰=−y−4

.

x y

O B

B⁰ C

C⁰ A

A⁰

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độOxy, ảnh của đường tròn(C): x²+y²−2x+4y−4=0qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»u = (1; 1)là đường tròn có phương trình

A. (x−2)²+ (y+1)²=16. B. (x+2)²+ (y−1)²=9.

C. (x−2)²+ (y+1)²=9. D. (x+2)²+ (y+1)²=9.

Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độOxy, ảnh của đường tròn(C): (x−1)²+ (y−2)²=9qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (−2; 2)là

A. x²+y²−2x−4y−4=0. B. x²+y²+2x−8y+8=0.

C. (x−1)²+ (y+4)²=9. D. (x+1)²+ (y+4)²=9.

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho véc-tơ #»v = (3; 3)vàA(2; 2),B(0;−6). Ảnh của đường tròn đường kínhABquaT^#»_v là

A. (x−4)²+ (y−1)²=17. B. (x−4)²+ (y−1)²=68.

C. (x+4)²+ (y+1)²=17. D. x²+y²+8x+2y−4=0.

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường tròn(C): (x−1)²+ (y−2)²=9và (C⁰): x²+y²+ 2x−8y+7=0. Tìm véc-tơ #»v để qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v thì(C)biến thành(C⁰).

A. #»v = (−2; 2). B. Không tồn tại véc-tơ #»v. C. #»v = (2;−2). D. #»v = (−1; 2).

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độOxy, choA(1;−2), đường thẳngd: 4x+3y−8=0. Phép tịnh tiến theo #»v = (1;−3)biến đường tròn tâmAvà tiếp xúc vớidthành đường tròn có phương trình

A. (x−2)²+ (y+5)²=4. B. (x−2)²+ (y+5)²=100.

C. (x−2)²+ (y−1)²=6. D. (x−2)²+ (y−1)²=4.

Câu 25. Cho đường tròn(O), đường thẳngd và hai điểmA,B. Có thể dựng được tối đa bao nhiêu hình

bình hànhABCDmàCthuộc đường thẳngdcònDthuộc đường tròn(O).

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

—HẾT—

15

Trang

(18)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

16

2. PHÉP QUAY

PHÉP QUAY Bài 2

L Định nghĩa:

Cho điểmOvà góc lượng giácα. Phép biến hình biến điểmOthành chính

nó, biến mỗi điểmM khácO thành điểmM⁰ sao cho OM⁰=OM và góc

lượng giác(OM,OM⁰)bằngα được gọi là phép quay tâmOgócα.

• ĐiểmO được gọi là tâm quay, cònα được gọi là góc quay của

phép quay đó.

• Phép quay tâmOgócα thường được kí hiệu làQ_(O,α₎.

Q_(O,α₎(M) =M⁰⇔







OM=OM⁰ OM,OM⁰

=α.

M⁰

O ^α M

L Chú ý:

• Vớik∈Z, ta có

– Phép quayQ_(O,2kπ₎là phép đồng nhất.

– Phép quayQ(O,(2k+1)π) là phép đối xứng tâmO.

• Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

– Nếu quay theo chiều ngược kim đồng hồ thìα >0.

– Nếu quay theo cùng chiều kim đồng hồ thìα <0.

2. Tính chất

(19)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

17

2. PHÉP QUAY

L Tính chất 1.Xét phép quay tâmOgóc quayα biến hai điểmM,N thành 2 điểm M⁰vàN⁰như hình vẽ thì

¬ M⁰N⁰=MN;

phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

L Tính chất 2.Phép quay

¬ biến đường thẳng thành đường thẳng.

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,

® biến tam giác thành tam giác bằng nó,

¯ biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

O

M N

N⁰

M⁰

p Dạng 2.5. Xác định ảnh của một điểm qua phép quay

• Xác định tâm quay, góc quay và hướng quay.

• Nếu xét tên mặt phẳng tọa độ, ứng với các góc quay đặc biệt như±90^◦, ±180^◦,... ta có thể dùng hình vẽ để xác định trực tiếp tọa độ điểm đó.

Công thức bổ sung: Trong mặt phẳngOxy, cho hai điểm M(x;y) và M⁰(x⁰;y⁰).Xét Q_(O,α₎(M) =M⁰, khi đó ta có







x⁰=xcosα−ysinα y⁰=xsinα+ycosα.

Ví dụ 1 d

17

Trang

(20)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

18

2. PHÉP QUAY

Cho hình thoi ABCD có góc ABC‘ =60^◦ (các đỉnh ghi theo

chiều ngược chiều kim đồng hồ). Xác định ảnh của cạnhCD

qua phép quayQ_(A,−60^◦₎.

A

B

C

D

60^◦

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 2

d

Cho hình vuôngABCD có tâm làO, (các đỉnh ghi theo chiều ngược

chiều kim đồng hồ). GọiM,N,P,Qtheo thứ tự là trung điểm các cạnh AD,DC,CB,BA. Tìm ảnh của tam giác ODN qua phép quay tâm O góc quay−90^◦.

C

D N

A B

O

Q

P M

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(21)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

19

2. PHÉP QUAY

Ví dụ 3

d Trong mặt phẳng tọa độOxycho điểmA(0; 4). Hãy tìm tọa độ điểmA⁰ là ảnh củaAqua phép quay tâmOgóc90^◦.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 4

d Trong mặt phẳng tọa độOxycho điểmA(3; 4). Hãy tìm tọa độ điểmA⁰ là ảnh củaAqua phép quay tâmOgóc90^◦.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . Ví dụ 5

d Trong mặt phẳng tọa độOxy cho điểmA(−1; 5). Tìm tọa độ điểmB là ảnh của điểmA qua

phép quay tâmO(0; 0)góc quay−90^◦. Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Trang

(22)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

p Dạng 2.6. Xác định phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép quay

Chod: Ax+By+C=0. Tìm phương trìnhd⁰là ảnh củad quaQ_(O,90^◦₎. L Cách 1.

• Lấy hai điểmM,N∈d. VẽM,Nlên hệ trụcOxy, xác định tọa độ ảnh làM⁰vàN⁰.

• Phương trìnhd⁰là phương trình đường thẳng qua hai điểmM⁰vàN⁰. L Cách 2.

• Q_(O,90^◦₎(d) =d⁰thìd⁰⊥d. Suy rad⁰có dạngBx−Ay+m=0 (1).

• Lấy điểmM∈d.Q_(O,90◦)(M) =M⁰(x₀;y₀).

• Thay tọa độ(x₀;y₀)vào (1), tìmm.

Các góc quay−90^◦,±180^◦, ta làm tương tự.

Ví dụ 1

d Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳngd: 5x−3y+15=0. Viết phương trình đường thẳng

d⁰là ảnh của đường thẳngdqua phép quay tâmO, góc quay90^◦. Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(23)

Trang

21

2. PHÉP QUAY

. . . . . . . . . . . . Ví dụ 2

d Trong mặt phẳngOxy, cho đường thắngd: 2x−5y+3=0. Viết phương trình đường thẳngd⁰ là ảnh của đường thẳngdqua phép quay tâmO, góc quay180^◦.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Trang

(24)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

22

2. PHÉP QUAY

. . . . Ví dụ 3

d Trong mặt phẳng tọa độOxycho điểm∆: x−3=0. Gọidlà ảnh của∆qua phép quay tâmO góc90^◦. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi∆,d, trụcOxvà trụcOy.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p Dạng 2.7. Xác định phương trình ảnh của đường tròn qua phép quay

Cho(C):(x−m)²+ (y−n)²=R². Tìm phương trình(C⁰)là ảnh của(C)quaQ_(O,90^◦₎

• Đường tròn(C)có tâmI(m;n)và bán kínhR.

– Q_(O,90◦)(I) =I⁰. Giả sử tìm được tọa độI⁰(x₀;y₀);

– Do phép quay bảo toàn khoảng cách nênR⁰=R.

• Vậy, phương trình(C⁰): (x−x₀)²+ (y−y₀)²=R².

(25)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

23

2. PHÉP QUAY

Chú ý:

¬ Đường tròn(C): x²+y²−2ax−2by+c=0có – tâmI(a;b);

– bán kínhR=√

a²+b²−c.

Các góc quay đặc biệt khác như−90^◦,±180,...ta làm tương tự.

Ví dụ 1

d Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường tròn(C):(x−3)²+ (y+1)²=4. Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép quay tâmOgóc90^◦.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 2

d Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường tròn(C):(x−4)²+ (y−1)²=5. Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép quay tâmOgóc−90^◦.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

23

Trang

(26)

Phạm Hùng Hải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p Dạng 2.8. Một số bài toán hình sơ cấp

Ví dụ 1 d

Cho lục giác đềuABCDEFtâmO.

a) Tìm ảnh của tam giácAIF qua phép quay tâmOgóc120^◦, vớiIlà trung điểm củaAB.

b) Tìm ảnh của tam giácAOF qua phép quay tâmE góc60^◦.

A

B

C D

E F

O

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Trang

(27)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

25

2. PHÉP QUAY

Ví dụ 2

d

Cho hai hình vuông ABCD và BEFG, trong đó

A,B,Ethẳng hàng vàGnằm trên cạnhBC. GọiM,N lần lượt là trung điểm củaAG,CE. Chứng minh tam

giácBMN vuông cân.

A B E

D C

F

M

G

N

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 3

d

Cho ba điểm thẳng hàng A,B,C, trong đó điểm Bnằm

giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường

thẳngAC các tam giác đềuABE vàBCF. GọiM,N lần

lượt là trung điểm của AF,EC. Chứng minh tam giác

BMNđều.

E

F

M

N

A B C

Lời giải.

. . . . . . . . . . . .

25

Trang

(28)

Phạm Hùng Hải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong mặt phẳngOxy, cho đường tròn(C):x²+y²−2x−4y−4=0và véc tơ #»u = (3;−2) Tìm phương trình ảnh của(C)qua phép tịnh tiến theo #»u.

a)

Tìm phương trình ảnh của(C)qua phép quay tâmO, góc quay π

2. b)

Bài 2. Trong mặt phẳngOxy, cho điểmA(2; 3),B(−1; 2), đường thẳng d:2x−3y+2=0, đường tròn(C):(x+1)²+ (y−3)²=4.

Tìm phương trình ảnh của đường thẳngABqua phép quay tâmOgóc quay−π

2; a)

Tìm phương trình ảnh củadvà(C)qua phép quay tâmOgóc quay π

2. b)

Bài 3. Cho hình vuôngABCDtâmO. GọiM,N lần lượt là trung điểm củaABvàBC.

Dựng ảnh của hình vuôngABCDquaQ_(A,−90◦); a)

Dựng ảnh của đường thẳngDMquaQ_(O,90◦). Chứng minhDMvuôngAN.

b)

Bài 4. Cho tam giácABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giácBAE vàCAF vuông cân tạiA. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm củaEB, BC,CF. Chứng minh tam giác IMJ vuông cân.

Hướng dẫn: Xét phép quay tâmA, góc quay90^◦.

26

Trang

(29)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

27

2. PHÉP QUAY

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độOxycho điểmA(3; 0). Tìm tọa độ điểmA⁰là ảnh của điểmAqua phép quay tâmO(0; 0)góc quay π

2.

A. A⁰(0; 3). B. A⁰(−3; 0). C. A⁰Ä 2√

3; 2√ 3ä

. D. A⁰(0;−3).

Câu 2. Cho tam giác đều tâmO.Với giá trị nào dưới đây củaϕthì phép quayQ_(O,ϕ₎biến tam giác đều thành chính nó?

A. ϕ= π

3. B. ϕ= 3π

2 . C. ϕ= π

2. D. ϕ= 2π

3 .

Câu 3. Cho hình vuông tâmO.Xét phép quayQcó tâm quayOvà góc quayϕ. Với giá trị nào sau đây củaϕ,phép quayQbiến hình vuông thành chính nó?

A. ϕ= π

2. B. ϕ= π

3. C. ϕ= π

6. D. ϕ= π

4.

Câu 4. Cho tam giác đều ABC có tâmO và các đường cao AA⁰,BB⁰,CC⁰ (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của đường caoAA⁰qua phép quay tâmOgóc quay240⁰là

A. AA⁰. B. BB⁰. C. CC⁰. D. BC.

Câu 5. Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm Ogócα vớiα 6=k2π (k là một số nguyên)?

A. 2. B. 0. C. Vô số. D. 1.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độOxycho điểmA(3; 0). Tìm tọa độ điểmA⁰là ảnh của điểmAqua phép

quay tâmOgóc quay−π

2.

A. A⁰(0;−3). B. A⁰Ä

−2√ 3; 2√

3ä

. C. A⁰(3; 0). D. A⁰(−3; 0).

Câu 7. Cho tam giácABCvuông cân tạiAvà có độ dài cạnhBC=2√

2cm Phép quay tâmAgóc quay

90⁰biến tam giácABCthành tam giác có diện tíchSbằng bao nhiêu?

A. S=2√

2cm². B. S=2cm². C. S=8cm². D. S=4cm².

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):x²+y²=9 Phương trình ảnh của(C) qua phép

quay tâmOgóc quay π

4 là

A. x²+y²=9. B. (x−1)²+ (y−1)²=9. C. (x−1)²+y²=9. D. x²+ (y−1)²=9.

Câu 9. Cho phép quayQ_(O,ϕ)biến điểmAthành điểmA⁰và biến điểmMthành điểmM⁰.Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. AM# »= # »

A⁰M⁰. B. Ä¤# »

AM,# » A⁰M⁰ä

=ϕ với0≤ϕ≤π.

C. (OA,ŸOA⁰) =(OM,⁄OM⁰) =ϕ. D. AM=A⁰M⁰.

Câu 10. Cho tam giác đềuABC.Hãy xác định góc quay của phép quay tâmAbiếnBthànhC.

27

Trang

(30)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

28

2. PHÉP QUAY

A. ϕ=60^◦hoặcϕ=−60^◦. B. ϕ =30^◦. C. ϕ=90^◦. D. ϕ =−120^◦.

Câu 11. Cho hai đường thẳng bất kỳdvàd⁰. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳngdthành đường thẳngd⁰?

A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số.

Câu 12. Cho tam giác đều tâmO.Hỏi có bao nhiêu phép quay tâmOgócα với0≤α <2π, biến tam giác trên thành chính nó?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

Câu 13.Cho hình thoiABCDcó gócABC‘=60^◦ (các đỉnh của

hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnhCD qua

phép quayQ_(A,60^◦₎ là

A. AB. B. DA.

C. BC. D. CD. A

C

B D

Câu 14. Cho lục giác đềuABCDEF như hình vẽ. Tìm ảnh của tam giácCODqua phép quay tâmE, góc quay−60^◦.

A. Tam giácAFO. B. Tam giácFBA.

C. Tam giácABO. D. Tam giácAOF.

A B C

D

E F

O

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳngd:x−y=0. Ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâmO(0; 0)góc quay45^◦có phương trình là

A. x−2y+3=0. B. y=0. C. x+y=0. D. x=0.

Câu 16. Cho hình vuông tâmO.Hỏi có bao nhiêu phép quay tâmOgócα với0≤α <2π, biến hình vuông trên thành chính nó?

A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.

(31)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

29

2. PHÉP QUAY

Câu 17.Cho tam giácABCvuông tạiBvà góc tạiAbằng60⁰(các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều

ACD.Ảnh của cạnhBCqua phép quay tâmAgóc quay60⁰là

A. AIvớiIlà trung điểm củaCD. B. CJvớiJlà trung điểm củaAD.

C. DKvớiK là trung điểm củaAC. D. AD.

B C

K A

D

Câu 18. Cho hình chữ nhật tâmO. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâmO góc α với 0≤α <2π, biến hình chữ nhật trên thành chính nó?

A. 4. B. 2. C. 0. D. 3.

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độOxycho hai điểmM(2; 0)vàN(0; 2).Phép quay tâmObiến điểmM thành điểmN, khi đó góc quay của nó là:

A. ϕ=30^◦hoặcϕ=45^◦. B. ϕ =90^◦. C. ϕ=90^◦hoặcϕ=270^◦. D. ϕ =30^◦.

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độOxycho phép quay tâmObiến điểmA(1; 0)thành điểmA⁰(0; 1).Khi đó nó biến điểmM(1;−1)thành điểm

A. M⁰(1; 0). B. M⁰(−1;−1). C. M⁰(1; 1). D. M⁰(−1; 1).

Câu 21. Trong hệ tọa độOxy, cho đường tròn(C)có phương trình(x−1)²+ (y+2)²=25. Ảnh của đường tròn(C)qua phép quay tâmO, góc quay90^◦là

A. (x−2)²+ (y−1)²=25. B. (x+2)²+ (y+1)²=5.

C. (x+1)²+ (y−2)²=5. D. (x−1)²+ (y+2)²=25.

Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxycho hai đường thẳng d và d⁰ có phương trình lần lượt là 2x+y+5=0và x−2y−3=0.Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quayϕ(0≤ϕ ≤180^◦)là

A. 60^◦. B. 45^◦. C. 120^◦. D. 90^◦.

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độOxycho điểmM(1; 1). Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh củaMqua phép quay tâmOgóc quayϕ =45^◦?

A. M₁(−1; 1). B. M₃Ä√ 2; 0ä

. C. M₂(1; 0). D. M₄Ä 0;√

2ä .

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳngd : 3x−y+2=0.Viết phương trình đường thẳngd⁰là ảnh củad qua phép quay tâmOgóc quay−90^◦.

A. d⁰:x−3y−2=0. B. d⁰:x+3y−2=0. C. d⁰:x+3y+2=0. D. d⁰: 3x−y−6=0.

29

Trang

(32)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

30

2. PHÉP QUAY

Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độOxycho hai đường thẳngavàbcó phương trình lần lượt là4x+3y+ 5=0và x+7y−4=0.Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quayϕ(0≤ϕ≤180^◦)là

A. 90^◦. B. 45^◦. C. 60^◦. D. 120^◦.

—HẾT—

(33)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

31

3. PHÉP VỊ TỰ

PHÉP VỊ TỰ Bài 3

L Định nghĩa:Cho điểmOvà sốk6=0. Phép biến

hình biến mỗi điểm M thành điểm M⁰ sao cho

# »

OM⁰=k·# »

OM được gọi là phép vị tự tâmO tỉ số k.

¬ Phép vị tự tâmOtỉ sốkthường được kí hiệu làV_(O,k)

V_(O,k)(M) =M⁰⇔# »

OM⁰=k·# » OM

N N⁰

M

M⁰

P⁰

O

P

Ví dụ:Trong hình vẽ bên, minh họa phép vị tự tâmOtỉ sốk=2biến ba điểmM,N,Plần lượt thành ba điểmM⁰,N⁰,P⁰.

L Lưu ý:

¬ Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

Khik=1, phép vị tự là đồng nhất.

® Khik=−1, phép vị tự là phép đối xứng tâm.

¯ M⁰=V_(O,k)(M)⇔M=V(^O,¹_k) (M⁰).

2. Tính chất

L Nếu phép vị tự tỉ sốkbiến hai điểmM,Ntùy ý theo thứ tự thànhM⁰,N⁰(xem hình vẽ phía trên) thì

# »

M⁰N⁰=kMN# »

• • M⁰N⁰=|k| ·MN.

C⁰ A⁰

A B

C I

B⁰

C⁰ C A⁰

A

B⁰ I

B O O⁰

A

A⁰

I

R

R₀

L Phép vị tự tỉ sốk

31

Trang

(34)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

32

¬ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

® Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

¯ Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính|k| ·R.

p Dạng 3.9. Tìm ảnh, tạo ảnh của một điểm qua một phép vị tự Trong mặt phẳngOxy, cho hai điểmM(x;y)vàM⁰(x⁰y⁰).

¬ V_(O;k)(M) =M⁰⇔ # »

OM⁰=k·OM# »⇔







x⁰=k·x y⁰=k·y

Tổng quát:V_(I_;k)(M) =M⁰⇔ # »

IM⁰=k·IM# »⇔







x⁰−x_I =k·(x−x_I) y⁰−y_I =k·(y−y_I)

Ví dụ 1

d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểmA(3;−2). Xác định tọa độ điểmBlà ảnh của điểmA

qua phép vị tự tâmOtỉ sốk=2.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 2

d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm ảnh A⁰ của điểm A(3; 4) qua phép vị tự tâm I(2; 5),

k=2.

Lời giải.

. . . .

(35)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

33

. . . . . . . . Ví dụ 3

d Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho ba điểmI(−2; 1),M(1; 1)và M⁰(−1; 1). Xét phép vị tâmI tỉ sốkbiến điểmM thànhM⁰. Tìmk.

Lời giải.

. . . . p Dạng 3.10. Xác định phương trình ảnh của đường thẳng qua phép vị tự

Ví dụ 1

d Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳngd: 2x−3y+1=0. Xác định phương trình ảnh củad qua phép vị tự tâmO, tỉ sốk=−2.

Ví dụ 2

d Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d:







x=1+2t y=3−t

. Xác định phương trình ảnh của d

qua phép vị tự tâmO, tỉ sốk=3.

p Dạng 3.11. Xác định phương trình ảnh của đường tròn qua phép vị tự

Ví dụ 1

d Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng(C): (x−2)²+ (y+1)²=9. Xác định phương trình ảnh của(C)qua phép vị tự tâmO, tỉ sốk=−2.

Ví dụ 2

d Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳng(C): x²+y²−2x+4y−3. Xác định phương trình ảnh của(C)qua phép vị tự tâmO, tỉ sốk= ¹₂.

33

Trang

(36)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

34

Ví dụ 3

d Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng(C): (x+3)²+ (y−1)²=4. Xác định phương trình ảnh của(C)qua phép vị tự tâmA(2; 3), tỉ sốk=−2.

p Dạng 3.12. Một số bài toán hình sơ cấp

Ví dụ 1

d Cho hình vuôngABCDtâmO.

Tìm ảnh củaOqua phép vị tự tâmAtỉ sốk=2.

a)

Tìm ảnh củaBqua phép vị tự tâmOtỉ sốk=−1.

b)

Ví dụ 2

d Cho tam giácABCcó hai đỉnhB,Ccố định, còn đỉnhAchạy trên một đường tròn(O;R). Tìm quỹ tích trọng tâmGcủa tam giácABC.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(37)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Trang

(38)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độOxy, choI(1; 2)vàM(−2; 3).

a) Tìm tọa độ điểmAbiếtV_(I,−3)(M) =A.

b) Tìm tọa độ điểmBbiếtV_(I,2)(B) =M.

(39)

Trang

37

Bài 2. Cho hai điểmM(−3; 5),M⁰(4; 6). Tìm tâmIphép vị biến điểmMthànhM⁰có hệ sốk=2.

Bài 3. Trong mặt phẳngOxycho đường thẳngdcó phương trình3x+2y−6=0. Hãy viết phương trình của đường thẳngd⁰là ảnh củadqua phép vị tự tâmOtỉ sốk=−2.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường tròn(C): (x−1)²+ (y−1)²=4. Tìm ảnh (C⁰) của(C)qua phép vị tự tâmI(−1; 2)tỉ sốk=3.

Bài 5. Trong mặt phẳngOxy, cho đường tròn(C): x²+y²−6x+4y−12=0. Tìm phương trình đường tròn(C⁰)là ảnh của(C)qua phép vị tự tâmI(2; 1)tỉ sốk=−1

2.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâmO. GọiM, N lần lượt là trung điểm củaAB,AD. Tìm

phép vị tự biến tam giácMNOthành tam giácBDC.

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độOxycho phép vị tự tâmI(2; 3)tỉ sốk=−2biến điểmM(−7; 2)thành điểmM⁰có tọa độ là

A. (18; 2). B. (20; 5). C. (−10; 5). D. (−10; 2).

Câu 2. Phép vị tự tâmO tỉ số−3lần lượt biến hai điểmA, Bthành hai điểmC, D. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 3# » AB= # »

DC. B. # »

AB=−3# »

CD. C. # » AB= 1

3

# »

CD. D. # »

AC=−3# » BD.

Câu 3. Phép vị tự tâmOtỉ sốk(k6=0)biến mỗi điểmMthành điểmM⁰. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. # »

OM=−# »

OM⁰. B. # »

OM=−k# »

OM⁰. C. # »

OM=k# »

OM⁰. D. # »

OM= 1 k

# » OM⁰. Câu 4. Cho đường tròn(O;R). Có bao nhiêu phép vị tự với tâmObiến(O;R)thành chính nó?

A. 2. B. Vô số. C. 0. D. 1.

Câu 5. Cho hai đường thẳng cắt nhaudvàd⁰. Có bao nhiêu phép vị tự biếndthành đường thằngd⁰?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

Câu 6. Cho đường tròn(O; 3)và điểmI nằm ngoài(O)sao choOI=9.Gọi(O⁰;R⁰)là ảnh của(O; 3) qua phép vị tựV_(I,5). TínhR⁰.

A. R⁰= 5

3. B. R⁰=15. C. R⁰=9. D. R⁰=27.

Câu 7. Cho tam giácABCvới trọng tâmG,Dlà trung điểmBC. GọiV là phép vị tự tâmGtỉ sốkbiến

điểmAthành điểmD. Tìmk.

37

Trang

(40)

Gv Ths: Phạm Hùng

Trang

38

A. k=−3

2. B. k=−1

2. C. k=3

2. D. k= 1

2.

Câu 8. Xét phép vị tựV_(I,3)biến tam giácABCthành tam giácA⁰B⁰C⁰. Hỏi chu vi tam giácA⁰B⁰C⁰gấp mấy lần chu vi tam giácABC.

A. 6. B. 2. C. 1. D. 3.

Câu 9. Cho hình vẽ bên. Xét phép vị tự tâm Otỉ sốk biến điểmAthành điểmB. Tìmk.

A. 3. B. 2. C. 1. D. 1 2.

O A B

Câu 10.Cho hình vẽ bên. Xét phép vị tự tâmAtỉ sốkbiến

điểmOthành điểmB. Tìmk.

A. 3. B. −2. C. −1. D. 1 2.

O A B

Câu 11. Cho tam giácABCvới trọng tâmG. Gọi A⁰,B⁰,C⁰lần lượt là trụng điểm của các cạnhBC,AC,ABcủa tam giácABC. Khi đó, phép vị tự nào biến tam giácA⁰B⁰C⁰thành tam giácABC?

A. Phép vị tự tâmG, tỉ sốk=3. B. Phép vị tự tâmG, tỉ sốk=2.

C. Phép vị tự tâmG, tỉ sốk=−2. D. Phép vị tự tâmG, tỉ sốk=−3.

A

B A⁰ C

B⁰

C⁰ G

(41)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

39