Đề thi vào 10 năm học 2021-2022 tỉnh Thái bình

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THÁI BÌNH NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài không quá 120 phút Câu 1. (2,0 điểm)

Cho

1 1 A x

x

 

 và

1 1

1 1 : 1

x x x

B x x x

   

      ( với x0;x1¿ a) Tính giá trị của biểu thức Akhi ^x9

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm ^x để giá trị của Avà B trái dấu.

Câu 2. (2,0 điểm)

Cho hệ phương trình

2 4 5

2 3

x y m x y m

  

  

 (^mlà tham số)

a) Giải hệ phương trình khi ^m3

b) Tìm ^m để hệ phương trình có nghiệm



^{x y;}



_{thỏa mãn} ^{2 1}x  y ¹ Câu 3. (2,0 điểm)

Cho Parabol

 

^{P y x:  2} và đường thẳng

 

^{d y: 3mx 1 m2} _(mlà tham số) a) Tìm ^m để

 

^d đi qua điểm ^A



^{1; 9}



b) Tìm ^m để

 

^d _cắt

 

^P tại hai điểm phân biệt của hoành độ x x¹; ² Thỏa mãn x¹x² 2x x^{1 2}

Câu 4. (3,5 điểm)

Qua điểm M nằm bên ngoài đường tròn



^{O R;}



kẻ hai tiếp tuyến MA MB; (A B, là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ^MCD không đi qua tâm ^O(^Cnằm giữa M vàD).

a) Chứng minh tứ giác ^MAOB nội tiếp và^{MO AB}. b) Chứng minhMA AD MD AC^.  ^. .

c) Gọi I là trung điểm của dây cung ^CD và E là giao điểm của hai đường thẳng AB và ^OI. Tính độ dài đoạn thẳng ^OE theo R khi 3

OI  R .

d) Qua tâm ^O kẻ đường thẳng vuông góc với ^OM cắt các đường thẳng MA MB; lần lượt tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MPQđạt giá trị nhỏ nhất

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 2 4 16 2 12 1998

P  x  x y x y y

ĐÁP ÁN Câu 1. (2,0 điểm)

Cho

1 1 A x

x

 

 và

1 1

1 1 : 1

x x x

B x x x

   

      ( với x0;x1¿ a) Tính giá trị của biểu thức Akhi ^x9

Thay ^x9(tmđk) vào biểu thức A, ta có:

9 1 3 1 4 3 1 2 2 A 9 1 

   

 

Vậy khi^x9 thì A2 b) Rút gọn biểu thức A

Với x0;x1 thì:

   

   

   

   

2 2

1 1

1 1 : 1

1 1

: 1

1 1

2 1 2 1

: 1

1 1

4 1

1 1 . 4

1

x x x

B x x x

x x x

B x x x

x x x x x

B x x x

x x

B x x x

B x

   

     

  

   

    

   

 

 

 

Vậy với x0;x1 thì

4 B 1

 x



c) Tìm ^x để giá trị của Avà B trái dấu.

Để giá trị của Avà B trái dấu ^{ A B. 0} 1 4

. 0

1 1

4 0

1 x

x x

x

  

 

 



Vì ^{4 0} nên

4 0 1 0 1 1

1 x x x

x        



0; 1

x x _{ }

Để giá trị của Avà B trái dấu thì ^{0 x 1}. Câu 2. (2,0 điểm)

Cho hệ phương trình

2 4 5

2 3

x y m x y m

  

  

 (^mlà tham số)

a) Giải hệ phương trình khi ^m3

b) Tìm ^m để hệ phương trình có nghiệm



^{x y;}



_{thỏa mãn} ^{2 1}x  y ¹ a) Giải hệ phương trình khi ^m3

Với ^m3 ta có hệ phương trình:

2 7 2 7 5 25 5 5

2x 9 4 2 18 9 2 9 2.5 1

x y x y x x x

y x y y x y y

      

    

   

              

    

Vậy với ^m3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất



x y;

 

 5; 1



b) Tìm ^m để hệ phương trình có nghiệm



^{x y;}



_{thỏa mãn} ^{2 1}x  y ¹

Ta có:

 

 

2 4 5 1

2 3 2

x y m x y m

  



  

Từ phương trình

 

2

ta có: y3m2x Thế vào phương trình

 

¹ _{ta có:}

   

 

1 2 3 2 4 5

6 4 4 5

5 10 5 2 1

3 2

3 2 2 1

3 4 2

2

x m x m

x m x m

x m

x m y m x

y m m

y m m y m

    

    

  

  

  

   

   

   

Vậy với mọi giá trị của^mhệ luôn có nghiệm duy nhất



^{x y;}

 

^{ 2m  1; m 2}



Theo đề bài ra ta có:

2 1

 

x  y 1 *

Điều kiện

0 2 1 0 1

0 2 0 22

x m m

y m m

    

  

     

   

 

     

   

   

 

 

2 2 2

2 1

* 1

2 1 2

2 1

2 1 2 1 0

2 1 2 2 2 2 1 0

2 5 2 2 4 2 1 0

2 3 0

2 2 3 3 0

2 1 3 1 0

1 2 3 0

1 0 1 2 3 0 3

2

m m

m m

m m m m

m m m m

m m

m m m

m m m

m m

m tm

m

m m tm

    

  

   

 

       

       

   

    

    

   

 

  

 

    

Vậy ^{m 1} hoặc ^m5 thỏa mãn bài toán.

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho Parabol

 

^{P y x:  2} và đường thẳng

 

^{d y: 3mx 1 m2} _(mlà tham số) a) Tìm ^m để

 

^d đi qua điểm ^A



^{1; 9}



b) Tìm ^m để

 

^d _cắt

 

^P tại hai điểm phân biệt của hoành độ x x¹; ² Thỏa mãn x¹x² 2x x^{1 2}

a) Tìm ^m để

 

^d đi qua điểm ^A



^{1; 9}



Đường thẳng

 

d y: 3mx 1 m²

đi qua điểm A



1; 9



2 2

2

9 3 .1 1 3 9 1 0 3 10 0

m m

m m

m m

    

    

   

Phương trình có ^{  }

 

^{3 24.10 49 0 }

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

3 49 2 5 3 49

2 2 m

m

   



 

  



Vậy ^{m 2} hoặc ^m5 để thỏa mãn bài toán

b) Tìm ^m để

 

^d _cắt

 

^P tại hai điểm phân biệt của hoành độ x x¹; ² 2

x x  x x

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

 

2 2

2 2

3 1

3 1 0 *

x mx m

x mx m

  

    

để

 

d

cắt

 

P

tại hai điểm phân biệt của hoành độ x x¹; ²

 

^* có hai nghiệm phân biệtx x¹; ²

 

²



²



2 2

2

0

3 4 1 0

9 4 4 0

5 4 0

m m

m m

m m

  

   

   

   

 Với mọi giá trị của ^m thì

 

^d _{luôn cắt}

 

^P tại hai điểm phân biệt của hoành độ

1; 2

x x

Áp dụng hệ thức Viet với phương trình (*) ta có:

1 2

2 1 2

3

1 x x m

x x m

 



 

 Theo đề bài ra ta có:

 

1 2 1 2

2

2 2

2

3 2 1

2 2 3 0

2 3 2 0

x x x x

m m

m m

m m

 

  

   

   

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

3 25 2.2 2

3 25 1

2.2 2

m m

   



    



Vậy

1 m 2

hoặc ^m2 để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4. (3,5 điểm)

Qua điểm M nằm bên ngoài đường tròn



O R;



kẻ hai tiếp tuyến MA MB; (A B, là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ^MCD không đi qua tâm ^O(^Cnằm giữa M vàD).

a) Chứng minh tứ giác ^MAOB nội tiếp và^{MO AB}. b) Chứng minhMA AD MD AC^.  ^. .

c) Gọi I là trung điểm của dây cung ^CD và E là giao điểm của hai đường thẳng AB và ^OI. Tính độ dài đoạn thẳng ^OE theo R khi 3

OI  R .

d) Qua tâm ^O kẻ đường thẳng vuông góc với ^OM cắt các đường thẳng MA MB; lần lượt tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MPQđạt giá trị nhỏ nhất

Q P E

C I

B A

M O

D

a) Chứng minh tứ giác ^MAOB nội tiếp và^MOAB.

Vì MA MB; là hai tiếp tuyến của

 

^O cắt nhau tại M (với A B; là hai tiếp điểm)

 

;

90 MA OA MB OB MAB MBO

  

   

Mà MA MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Xét tứ giác

MAOB có tổng hai góc đối MAO MBO  180 Do đó tứ giác ^MAOB là tứ giác nội tiếp

Lại có ^{MA MB cmt}

 

_; OA OB R  vì ^{A B; }



^{O R;}



;

M Othuộc đường trung trực của đoạnAB

MOlà đường trung trực của đoạn AB MO AB

  (đpcm)

b) Chứng minhMA AD MD AC^.  ^. . Xét ^MCA và MADcó:

 

MAC MDA (góc tạo bởi tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ^AC)

 MCAđồng dạng với MAD (g.g)

 

. .

MA AC

MA AD MD AC dpcm MD AD

   

c) Gọi I là trung điểm của dây cung ^CD và E là giao điểm của hai đường thẳng ABvà OI. Tính độ dài đoạn thẳng ^OE theo R khi 3

OI R .

Gọi Hlà giao điểm của ^OM vàAB thì ^{OM  AH }OHE  90

Xét

 

^O _{có I} là trung điểm của dây cung CDOI CDOIM  90 Xét ^OHE và^OIM ta có:

MOE chung

  90

OHE OIM  

 OHEđồng dạng với ^OIM (g.g)

 

. . 1

OH OE

OH OM OE OI OI OM

   

OAM vuông tại Acó ^{OM AH} . 2

OH OM OA

  (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2)

2

3 ( )

3 OA R

OE R dpcm

OI R

   

d) Qua tâm ^O kẻ đường thẳng vuông góc với ^OM cắt các đường thẳng MA MB; lần lượt tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MPQđạt giá trị nhỏ nhất

MAB cân tại M (vì MA MB và có ^MO là trung trực)

MO đồng thời là đường phân giác ^AMB

MPQ cân tại ^{M MP} là phân giác đồng thời là trung tuyến

O là trung điểm của PQPQ2OP

Ta có: ^{1 . . .}

 

MPQ 2

S_  MO PQ MO OP OA AM  AP

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: AM AP2 AM AP. 2R

2 2

.2 2 min 2

MPQ MPQ

S R R R S R

    

Dấu “=” xảy ra ^{ AM  AP} và ^{AM AP R.  2 AM  AP R OM R 2} Vậy M ở vị trí sao cho ^{OM R 2} để thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 5. (0,5 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 2 4 16 2 12 1998

P  x  x y x y y

Điều kiện y0

Ta có:

   

   

2

2 2

2 2

max

3 4x 16 2 12 1998

2 9 2x 6 6 4x 4 2020

2 3 2 2020

2020 2, 1 ( )

P x y x y y

x y y x y x

x y x

P x y tm

      

          

      

    