Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Nghi Lộc 2020-2021

PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC Đề chính thức

Đề thi gồm có 01 trang

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021

Môn thi: Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức ^{. 1}

  

³

 

²



²

1 1

x x x x x

P x x

   

 

 

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Tìm xđể P0

Câu 2. (5,0 điểm)

a) Cho xlà số thực thỏa mãn x² 4x 1 0.Tính giá trị của biểu thức

3 3

P x 1

  x

b) Giải phương trình : 3x 2 x 1 2x1 c) Giải phương trình :

 

2

32 30

2

x x

x x

 

 

d) Cho a b, là các số thực dương. Chứng minh ^^a_b^{2 b}_a^{2 }^{2 2}



^{a2 b2}



 

Câu 3. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x² y²  5 xy

b) Với a b c, , là các số nguyên. Chứng minh a³ b³c³chia hết cho 6 khi và chỉ khi a b c  chia hết cho 6

c) Cho các số thực dương , ,x y zthỏa mãn x y z  1.Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức xy yz zx

P z xy  x yz  y zx

  

Câu 4. (4,0 điểm)

a) Cho tam giác ABCvới trung tuyến CM.Điểm Dthuộc đoạn BM sao cho

2 .

BD MDBiết rằng MCD BCD.Chứng minh tam giác ACDvuông b) Cho hình vuông ABCD.Điểm M nằm trên đoạn BD (M khác B và D). Gọi

,

P Qlần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống các đường thẳng ,

BC CD. Chứng minh ba đường thẳng AM BQ DP, , đồng quy

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A có ADlà đường phân giác góc A(D nằm trên cạnh BC).Chứng minh 2 1 1

AD  AB  AC

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) ĐKXĐ: 0

1 x x

 

 



 

  

3 4 4 1 4

1 1 1 1 1

4 4

1 1

) 4 0 1 0 0 1

1

x x

x x x x x x x

P x x x x x

x x

x x

b P x x

x

      

   

    

   

 

       

 Câu 2.

a) Do x0không thỏa mãn hệ thức nên ta có : 1 4 x x

2 3

3

1 1 1

3 52

P x x x

x x x

 

   

         

    

b) Điều kiện : x1. Phương trình viết dưới dạng tương đương:

  

 

²

3 2 1 3 2 1 3 2 1

3 2 1 1( 3 2 1 0)

3 2 1 1 1 1

1 1 1( )

2

x x x x x x

x x do x x

x x x x

x x x tm

x

         

        

        

 

       c) Điều kiện : x30

Phương trình viết dưới dạng tương đương:



^{30 x}



^{3 2 30 x x32x}

Đặt t 30x

   

3 2 3 2 2 2 2 0

t t x x t x t tx x t x

         

 

  

0 30

30 5

5 6 0

x x x x

x x

  

       

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x5

d) Viết bất đẳng thức dưới dạng tương đương :



^{a b a}

 

^{2 ab b 2}



^{ ab. 2ab a}



^{2 b2}

  

^*

Ta có : ^{a b 2 ab 0; 0 2ab a}



^{2 b2}



^



^{a b}₂



²

Để khẳng định BĐT đúng ta cần chứng minh

   

2

2 2 3 2 0

4

a b a ab b a b

     

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b Câu 3.

a) Viết phương trình dưới dạng tương đương:



^{x y}



^{2x y}



^5

Ta có các trường hợp thỏa mãn :

1 2 5 2

1: 2 :

2 5 1 2 1 3

5 2 1 2

3: 4 :

2 1 3 2 5 1

x y x x y x

Th Th

x y y x y y

x y x x y x

Th Th

x y y x y y

     

   

 

   

      

   

         

   

 

            

   

b) Ta có ^{a3 a a a}



^1



^a1



là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 nên a³ a⋮6

Áp dụng kết quả trên ta có : ^{a3   a}

   

^{b 3   b c3c}chia hết cho 6

Vậy ^{a3 b3 c3}



^{a b c }



chia hết cho 6 nên a³b³ c³chia hết cho 6 khi và chỉ khi a b c  chia hết cho 6

c) Sử dụng giả thiết ta viết P dưới dạng :

        

xy yz zx

P x z y z  y x z x  z y x y

     

Áp dụng BĐT ^{ab  a b}₂^



^{a b, 0}



^{. Ta có :}

  

1 2

xy x y

x z y z x z y z

 

   

     

  

1 2

yz y z

y x z x y x z x

 

   

     ^;

  

1 2

zx z x

z y x y z y x y

 

   

     

Cộng các BĐT cùng chiều ở trên ta có :

3 3 1

2 2 3

P Max P    x y z Câu 4.

a)

Xét tam giác MCBcó CDlà đường phân giác nên

2 2

DB BC

BC CM MD  CM   

Gọi P là điểm đối xứng với C qua M, ta có : PC 2PM  BCnên tam giác CPB cân tại C có CDlà đường phân giác nên CD PB

Tứ giác ACBPlà hình bình hành nên PB/ /AC

Từ trên suy ra CDvuông góc với ACnên tam giác ACDvuông tại C

P M

C

A

B

D

b)

Gọi K là giao điểm của MQvới AB, Ilà giao điểm của AMvới PQ ( . . )

KAM MQP c g c MAK PQM

      

QMI AMK

   nên QMI  PQM  AMK  MAK 90  AM PQ Ta có: PC MQ DQ DC  ;  AD DCP ADQ c g c( . . )

Suy ra PDC  QADnên PDC  DQA DAQ DQA90 Vậy PD AQ.Chứng minh tương tự, ta có : QB AP

Như vậy , AM BQ DP, , là các đường cao của tam giác APQnên chúng đồng quy

K

I

Q M P

C A B

D

Câu 5.

Dựng ^{DE  AC E AC}



^



^.AED vuông cân tại E nên ^{AD AE 2 1}

 

^{. Ta có :}

EC DE AC AE AE

AC AB AC AB

   

 

 

1 1 1

. . .sin . .sin

2 2 2

. .sin 45 .

. 2 1 1

. 2 .

1 2 1

ABC ABD ADC

S S S

AB AC AB AD BAD AC AD CAD AB AC AD AB AC

AD AB AC AB AC

AB AC

AD AB AC AB AC

AB AD AC

 

  

   

 

     

  

D B

A E C