Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Ứng Hòa 2020-2021

(1)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ỨNG HÒA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI

CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 ĐỢT I NĂM HỌC 20-21 ĐỀ THI MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1. (6 điểm)

Cho biểu thức ¹ ² ¹ ⁰

1

1 1 1

x x x x

P x x x x x x

  

  

         

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

Q x

 P

3) Tính giá trị của Pkhi cho x  ³ 7 50  ³ 7 50 Câu 2. (3 điểm)

Chứng minh



²ⁿ ^^{1 2}



ⁿ ^¹



chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n Câu 3. (4 điểm)

1. Giải phương trình : 4 x 1 x² 5x14

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² y² xy  x y Câu 4. (6 điểm)

Cho tam giác ABCnhọn, các đường cao AK BD CE, , cắt nhau tại H 1) Chứng minh AB AE.  AC AD.

2) Chứng minh

2 2 2

KC AC CB BA

KB BA CB AC

 

  

3) Giả sử .

3

HK  AK Chứng minh rằng tan .tanB C3 4) Giả sử S_ABC 120cm²và BAC60. Hãy tính S_ADE

Câu 5.(1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ một chữ số của nó thì số đó giảm đi 31 lần

(2)

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) Rút gọn

  

     

 

  

1 2 1 0

1

1 1 1

1 2 1

1 1 1 1

1 2 1

1 1 1 1

1

1 1 1

x x x x

P x x x x x x

x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x

  

  

         

 

  

     

       

 

     

  

 

 

  

2 2 2 2 2 2

2)

2 2

x x x x

Q x x

P x x

Q x

x

   

    

 

 

    

 

Theo bđt Cô si : 2

2 2 2 x  x   Suy ra giá trị lớn nhất ^Q^{ }



^{2 2 2}^



Dấu " " xảy ra khi 2

x x 2

 x   3) Từ x ³ 7 50  ³7 50

Ta có : x³  7 50 7  50 3 x³ 7² 50

   

3 3 14 0 2 2 2 7 0 2

x x x x x x

          

(do x² 2x 7 0)

Thay 2

2( )

3 2

x tmdk P 

  



(3)

Câu 2.

Do 2ⁿ 1,2 ,2ⁿ ⁿ 1là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích



²ⁿ ^^{1 .2 . 2}

 

ⁿ ⁿ ^^{1 3}



^⋮

Mà



^{2 ,3}ⁿ



^{ }¹



²ⁿ ^^{1 2}



ⁿ ^^{1 3}



^⋮

Câu 3.

1. Giải phương trình : 4 x 1 x² 5x14(1) Điều kiện : x 1

 

   

2 2

1 5 14 4 1 0

6 9 1 4 1 4 0

3 1 2 0

3 0 3

1 2 0

x x x

x x x x

x x

x

     

        

     

  

  

  



Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x3

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x²  y²  xy x y

     

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 1 2 1 2

1 1 2

x y xy x y x y xy x y

x xy y x x y y

x y x y

        

         

       Vì ,x yℤnên :

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0

, 2;2 0;0 1;0 2;1 1;2 0;1

x y x y x y

    

     

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là :



x y^;

            





2;2 ; 0;0 ; 1;0 ; 2;1 ; 1;2 ; 0;1



(4)

Câu 4.

1) Xét hai tam giác vuông ABDvà ACEcó: BAC chung;   D E 90

( . ) AB AD

ABD ACE g g

AC AE

  ∽   hay AB AE.  AC AD. 2) Sử dụng định lý Pytago

 

   

 

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 .

2 2 .

2 .

2 2 . 2

AK KC KC KB BA

AC CB BA

VP BA CB AC BA KC KB AK KC

AK KC KC KC KB KB BA BA KC KB KC KB AK KC

KC KC KB AK KB BA BA AK KB KC KB

KC KC KB

KC KC KB KC

KB KC KB KB KB KC

   

 

 

     

    

     

   

   

 

  

  VT dfcm( )

KB 

3) Ta có ^, ^. ²

 

¹

.

AK AK AK

tan B tanC tan B tanC

BK CK BK CK

   

Mặt khác: tan tan CK

B KHC B KHC

       HK

H

D

K E

A

B C

(5)

Tương tự : ^tanC ^{tan KHB} ^BK ^{tan B tanC}^. ^{BK CK}^. ₂

 

²

HK HK

    

Từ (1) và (2) suy ra



^.



² ² ³² ¹

3 tan B tanC AK Do HK AK

HK

   

     

   

Vậy tan B tanC. 3

4) Ta chứng minh được : ABC∽ADE (câu a) Nên

2 ABC

ADE

S AB

S AD

 

  

  , mà BAC60nên ABD30 Ta suy ra 1

AD2AB. Từ đó ^ABC 4 _ADE 30 ²

ADE

S S cm

S   

Câu 5.

 Giả sử số gạch đi là chữ số hàng đơn vị, ta có ^xc^³¹^{x x}



^^ℕ



10x c 31x 21x c

    

Do 0 c 9. VT21,VP9. Vô lý

 Giả sử số gạch đi là chữ số hàng chục, ta có : 31

xbc xcvới x ℕ 210x3bc10a

Lập luận tương tự để chỉ ra ^x^^0,10â^³^bc^^bc^⋮^{10, 3}â^⋮ ^{ }â



^3;6;9



Ta có các số 310;620;930

 Tiếp tục quá trình trên, ta tìm được các số dạng :

 

31.10 ;62.10 ;93.10^k ^k ^k k 0;1;2;3;...