Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Diễn Châu 2020-2021

(1)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: TOÁN – Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1. (6,0 điểm)

a) Cho x 3 5  3 5 1. Tính giá trị biểu thức

3 2

3

2 3 4 2

2

x x x

P

x

  

 

b) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn: a b c³ 2024c. Chứng minh rằng

3 3 3 6

S a b c ⋮

c) Giải phương trình nghiệm nguyên : x²xy2019x2020y2021 0 Bài 2.(4,0 điểm) Giải các phương trình sau :

 

2 2

) 6 26 6 2 1

)2 5 2 1 6 10

a x x x

b x x x x

   

    

Bài 3. (3,0 điểm)

a) Cho ,x ylà hai số dương thỏa mãn x y 6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức ² 6 8

Q x 2x y

x y

    

b) Cho a b c, , 0thỏa mãn a  b c 3.Chứng minh rằng :

2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

    

  

Bài 4. (6,0 điểm) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến ,

MA MB



^{A B}^, là các tiếp điểm). Kẻ các đường kính ACvà BD,đường thẳng MO cắt AB CD, lần lượt tại Ivà K. Gọi Hlà chân đường vuông góc hạ từ điểm Bđến đường kính AC

a) Chứng minh rằng BH AC. 2MB CH.

b) Gọi giao điểm của MCvà BH là E. Tính BEtheo Rvà MOd

c) Trên tia đối của tia DAlấy điểm Fbất kỳ. Gọi giao điểm của ACvà FKlà N. Chứng minh NIK  AFI

Bài 5. (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng cho 2020 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được ít nhất 253 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1

2

(2)

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Ta có : 6 2 5 6 2 5

3 5 3 5 1 1

2 2

x  

       



^{5 1}



²



^{5 1}



² 5 1 5 1

1 1 2 1

2 2 2 2

   

       

Ta có : ³ x 2 ³ 2 1  2  1

   

2

3 2 2 2

2 1 1 2 2 1

2 3 4 2 2 2 2 2 2

x x x x

x x x x x x x x x

        

         

Thay x² 2x1vào ta được : 2x 1 2x 2 1

Vậy 1

1 1 P  



b) Ta có ^a^{ }^b ^c³ ^²⁰²⁴^c^{   }^a ^b ^c



^c³ ^^c



^²⁰²²^c



^{1 . .}

 

¹



²⁰²²

a b c c c c c

      

Vì



^c^¹

 

^{c c}^¹



là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6, 2022 6⋮



¹

 

¹



^{2022 6 1}

 

a b c c c c c

       ⋮ . Mặt khác :

   

             

3 3 3

1 1 1 1 1 1 6 2

a b c a b c

a a a b b b c c c

    

         ⋮

Từ (1) và (2) suy ra S a³b³ c³⋮6

c) Giải phương trình nghiệm nguyên x² xy2019x2020y2021 0 Ta có : x²xy2019x2020y2021 0

      

2 2020 2020 2020 1

1 2020 1 1.1 1 . 1

x xy x x y

x y x

      

        

1 1 2021

1: 2020 1 2021

1 1 2021

2 : 2020 0 2019

x y y

th x x

x y y

th x x

    

 

    

 

     

 

    

 

(3)

Vậy



x y^;

 





2021; 2021 ; 2019; 2021

 



 

Bài 2.

a) Giải phương trình :x²6x26 6 2 x1 Điều kiện : 1

x 2

   

     

2

2 2

8 16 2 1 6 2 1 9 0

4 2 1 3 0 1

x x x x

x x

        

     

Vì



^x^⁴



² ^⁰(với mọi x);



²^x^{ }^{1 3}



² ^^0,^{với mọi}^x^{ }¹₂

 

¹ ^{4 0} ⁴ ^{4( )}

2 1 3 4

x x

x tm x x

    

   

  

 

 Vậy x4

b) Giải phương trình: ²^x² ^⁵



^x^²



^x^{ }^{1 6}^x^^{10 1}

 

ĐK: x 1

       

     

  

2

2 2

1 2 2 5 2 1 2 1 0

2 2 4 2 1 2 1 2 1 0

2 2 2 2 1 1 2 2 1 0

2 2 1 2 4 1 0

x x x x

x x x x x x

x x x x

       

          

 

           

       

 

2

8 0

2 1 2

4 17 15 0 2

1 2 4

x x x x

x

x x

      

   

  

   

 



0( ) 8( ) 3( )

5( ) 4 x ktm x tm x tm x ktm

 

 



  

 



. Vậy ^S ^

 

^3;8

(4)

Bài 3.

a) Cho x y, là hai số dương thỏa mãn x y 6.Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức ² 6 8

2

Q x x y

x y

    



²



² ³ ⁶ ⁸ ⁴

2 2 2

x y x y

Q x

x y

 

  

        

   

Áp dụng BĐT Cô-si ta có : 3 6 3 6 8 8

2 . 6; 2 . 4

2 2 2 2

x x y y

     

Mặt khác



^x^²



² ^⁰(với mọi x),

 

6 2 2 3 x y

  Do đó Q     0 3 6 4 4 9

Dấu " " xảy ra

2 0 6

3 6 2( )

2 4 8 2 x x y

x x

y tm x

y y

  

  

  

   

 



Vậy Q_min   9 x 2;y 4

b) Cho a b c, , 0thỏa mãn a  b c 3.Chứng minh rằng :

2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

    

  

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có :

         

   

2 2

2

1 1

1 1 1 1

1 1 2 2

1 1 1

1 2

a b a b

a ab b

a a a

b b b

a ab b

b a

 

        

 

   

 Tương tự :

(5)

       

2 2

1 1

1 2 ; 1 3

1 2 1 2

b bc c c ca a

b c

c a

   

     

 

Cộng theo vế các bất đẳng thức

     

1 , 2 , 3 ta được :

 

2 2 2

1 1 1

1 1 1 3 2

a b c ab bc ca a b c

a b c

b c a

       

      

  

6 3

2 abbcca

 

Mặt khác



^a^{ }^b ^c



² ^³



^ab^^bc^^ca



^^ab^^bc^^ca^³

Do đó : ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1

6 3 3

1 1 1

a b c

b c a

  

    

   . Dấu " " xảy ra    a b c 1

Vậy ₂ ¹ ₂ ¹ ₂ ¹

 

1 1 1

a b c

a b c dfcm

b c a

  

    

  

Bài 4.

a) Chứng minh được MAO MBO ch( cgv)MA MB

Kết hợp OAOBMOlà đường trung trực của ABIlà trung điểm AB Từ đó suy ra OI là đường trung bình của tam giác ABCIO/ /BC

MOA BCH

    (đồng vị)

P N E

H K

I D

C B

A

O M

F

(6)

Từ đó chứng minh được hai tam giác vuông MAOvà BHCđồng dạng



^{g g}^.



 

¹ ^. ^.

BH CH

BH OA MA CH MA OA

   

Mà , . 2 .

2

OA AC MAMBBH AC MB CH

b) Vì BH / /MAnên áp dụng định lý Taletvào tam giác CMAta có :

 

²

2

EH CH EH CH

MA  CA  MA  OA Từ (1) và (2) 2

2 BH EH BE EH BH

    

Tam giác ABCcó cạnh AClà đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên là tam giác vuông, theo hệ thức lượng ta có :

   

2 . 2 . 3

BH  AH CH  RCH CH

Thay (1) vào (3) và kết hợp BH 2EHta được :

2 2 2 2

2

2 2 2

2

. . 2 . 2

2 BH R .BH R R MA R d R

BH R BH

MA MA MA R d

R d R

BE d

  

      

  

c) Qua O kẻ đường vuông góc với IK cắt IN tại P Khi đó ta có OP/ /AI(cùng vuông góc OI)nên NP NO

PI  OA Mặt khác OK / /AF(cùng vuông góc ) NK NO

AB  KF  OA Do đó suy ra ^NP ^NK ^PK ^{/ /}^IF ^FIK ^PKI

 

^*

PI  KF     

Mặt khác tam giác PIKcân đỉnh H (OPlà trung trực của IK),nên

 

^**

PIK PKI

  

Từ (*) và (**) FIK  NIK mà FIK  AFI (so le trong)

( )

NIK AFI dfcm

    Bài 5.

Gọi ,A A_i _jlà hai điểm xa nhau nhất trong các điểm thuộc tập hợp 2020 điểm đã cho.

(7)

Giả sử A_klà điểm cách xa đoạn thẳng A A_i _jnhất. Khi đó tam giác A A A_i _j _klà tam giác có diện tích lớn nhất không lớn hơn 1.

Vẽ các đường thẳng đi qua các điểm , ,A A A_i _j _klần lượt song song với các cạnh của

i j k

A A A

 . Ta được 4 tam giác nhỏ bằng nhau và một tam giác lớn chứa cả 4 tam giác nhỏ. Tam giác lớn có diện tích không quá 4 đơn vị. Do đó, tam giác lớn chứa tất cả 2020 điểm đã cho.

Ta có 2020 chia cho 4 được 505 như vậy có ít nhất 1 trong 4 tam giác có 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 chứa ít nhất 505 điểm trong 2020 điểm đã cho . Chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau. Ta có 505 chia cho 2 được 252 dư 1 nên theo nguyên tắc Dirichlet suy ra có 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

2chứa 253 điểm trong 2020 điểm đã cho .