Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Qùy Hợp 2020-2021

(1)

PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN QUỲ HỢP KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 1

NĂM HỌC 2020 – 2021. MÔN TOÁN 9

Câu 1. (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức

1. A 4 10 2 5  4 10 2 5

2. Cho biểu thức 2 4 4 2 13 20

3 4 2 3 10 8

x x x x

P x x x x

   

  

   

a) Tìm điều kiện của xđể biểu thức Pcó nghĩa và rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của xđể Pnhận giá trị nguyên Câu 2. Giải các phương trình sau :

 

2 2 2

) 5 2019 2021 1

2

) 3 12 21 5 20 24 2 8 3

a x y z x y z

b x x x x x x

       

        

Câu 3. (6,0 điêm)

a) Xác định đa thức bậc bốn ^{f x}

 

^biết ^f

 

⁰ ^¹^và ^{f x}

 

^ ^{f x}



^{ }¹



^{x x}



^^{1 2}



^x^¹



với xℝ

b) Tìm ,x ynguyên dương



^x^ ^y



^{thỏa mãn}^x³ ^⁷^y ^ ^y³ ^⁷^x

c) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc1.Chứng minh rằng :

     

2 2 2

1 1 1 3

2 a b c  b c a  c a b 

  

Câu 4.

1. Cho tam giác ABCvuông tại A, AHvuông góc với BC AD, là đường phân giác.

Gọi HM HN, là đường phân giác của tam giác HAB HAC, a) Chứng minh DM / /ACvà ADMB

b) Gọi AP AQ, là đường phân giác của tam giác AHB AHC, .Chứng minh rằng

2 2 .

PQ  PB CQ

2. Cho tam giác đều ABC,đường cao AH.Lấy điểm M nằm giữa B và C, vẽ MD vuông góc với ABtại D, MEvuông góc với ACtại E. Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích MDElớn nhất

Câu 5. (1,0 điểm)

Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá

(2)

Câu 1.

1. A 4 10 2 5  4 10 2 5 Ta có : A0

  

   

2

2 2

2

8 2 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 6 2 5

8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 5 1

5 1( 0)

A

A do A

         

          

   

2. Cho biểu thức 2 4 4 2 13 20

3 4 2 3 10 8

x x x x

P x x x x

   

  

   

a) Tìm điều kiện của xđể biểu thức Pcó nghĩa và rút gọn P

Để biểu thức Pcó nghĩa

0 0

3 4 0 16

2 0 9

3 10 8 0 4

x x

x

x x x

   

   

 

  

   

     



Vậy 16

0; , 4

x x 9 x thì P có nghĩa Rút gọn :

  

     

  

2 4 4 2 13 20

3 4 2 3 10 8

2 8 8 6 4 16 13 20

2 3 4

1 3 4

3 4 1

2 3 4 2 3 4 2

x x x x

P x x x x

x x x x x x

x x

x x x

x x x x x

   

  

   

       

  

  

   

  

    

b) Tìm các giá trị nguyên của xđể Pnhận giá trị nguyên

(3)

Để Pnguyên 3

2 x

  ^nguyên^^{3 2}^⋮ ^ ^{x x}^, ^{  }^ℤ ² ^x^^U⁽³⁾^{  }



^{1; 3}



 

2 x 1; 1; 3

     vì ²^ ^x ^{ }² ^x^



^1;3;5



^{ }^x



^1;9;25



^{thỏa mãn}

Vậy ^x^



^1;9;25



^thì^P^nguyên

Câu 2. Giải các phương trình sau :

 

2 2 2

) 5 2019 2021 1

2

) 3 12 21 5 20 24 2 8 3

a x y z x y z

b x x x x x x

       

        

a) ĐKXĐ: x5;y2019,z 2021

Phương trình

 

^a ^² ^x^{ }^{5 2} ^y^^{2019 2}^ ^z^²⁰²¹^{  }^x ^y ^z

  

²

 

²



²

5 2 5 1 2019 2 2019 1 2021 2 2021 1 0

5 1 2019 1 2021 1 0

5 1 0 6

2019 1 0 2020

2021 1 0 2020

x x y y z z

x y z

x x

y y

z z

               

         

     

 

     

      



Vậy x6,y 2020,z  2020

b) Ta có: ³^x² ^¹²^x^^{21 3}^



^x^²



² ^{ }^{9 0}^và⁵^x² ^²⁰^x^^{24 5}^



^x^²



² ^{ }^{4 0}

Đặt a  3x² 12x21;b 5x² 20x24, DK a: 0,b 0

2 2 2 8 3

a b x x

     

Phương trình (2) có dạng a b a² b²



^a ^{b a}



^b ¹



⁰ ^a ^b ^{1 0}



^{do a} ^b ⁰



          

Với a     b 1 0 a b 1mà a² b²  2x² 8x    3 a b 2x² 8x3

2 4 1

a x x

    

Ta có phương trình 3x² 12x21 x² 4x1 Xét vế trái : ³^x² ^¹²^x^²¹^ ³



^x^²



² ^{ }⁹ ^{9 3}^

Và vế phải : ^{ }^x² ⁴^x^{  }¹



^x^²



² ^{ }^{3 3}

Dấu " " xảy ra khi x   2 0 x 2

(4)

Vậy phương trình (2) có nghiệm x2 Câu 3.

a) Xác định đa thức bậc bốn ^{f x}

 

^biết ^f

 

⁰ ^¹^và ^{f x}

 

^ ^{f x}



^{ }¹



^{x x}



^^{1 2}



^x^¹



với xℝ

Gọi đa thức bậc bốn ^{f x}

 

^{có dạng :} ^{f x}

 

^ax⁴^bx³ ^cx² ^dxe a b c d e



^{, , , ,} ℝ^,a ⁰



Ta có : ^f

 

⁰ ^{  }¹ ^e ¹

 

         

       

   

4 3 2

3 2

1 1 1 1 1

( ) ( 1) 1 1 1 1

( ) ( 1) 4 3 2 4 3 2

f x ax bx cx dx e

f x a x b x c x d x e

f x f x ax a x bx b x cx c x dx d x

f x f x ax x a b x a b c a b c d

    

         

             

           

Mà ^{f x}

 

^ ^{f x}



^{ }¹



^{x x}



^^{1 2}



^x^{ }¹



²^x³^³^x² ^ ^x

1

4 2 2

2 1 2

4 3 2 1 5

0 2

1 a a

a b b

a b c

a b c d c

d

 

 

     

 

     

     

  

 

¹ ⁴ ² ³ ⁵ ² ¹

2 2

f x x x x x

     

b) Tìm x y, nguyên dương



^x^ ^y



^{thỏa mãn}^x³^⁷^y^ ^y³^⁷^x

     

   

3 3 2 2

2 2

7 7 7

( )

7 0

x y y x x y x xy y x y

x y ktm x y x xy y

x xy y

        

 

            Do x y, ℤ^,x²  xy y²  7 x y, 2

Nếu ² ² ² 1( )

2 2 2 7 2 3 0

3( ) y tm

x y y y y

y ktm

 

             Tương tự nếu x   1 y 2

Vậy có các cặp nghiệm thỏa mãn



^{x y}^;

    

^



^{2;1 ; 1;2}



c) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc1.Chứng minh rằng :

     

2 2 2

1 1 1 3

a b c  b c a  c a b  2

  

(5)

Đặt 1 1 1 1

, , , 1

a b c abc

x y z xyz

     . Ta có :

     

 

2 2 2

1 1 1

; ;

1 1 1

3

1 1

3

x y z

a b c y z b c a z x c a b x y

x y z

a b c b c a c a b y z z x x y

x y z x y z x y z x y z

y z z x x y y z z x x y

x y z x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z

y z z x x y y z

  

     

    

     

       

     

     

     

      

   

       

1 3

1 1 1 1 1 1 1

3 3

2

z x x y

x y z x y y z z x

 

 

   

 

   

                       Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho cặp số



^x^ ^y

 

^, ^y^^z

 

^, ^z^^x



     

       

     

3 3

1 1 1

3 .3. 1

1 1 1 1 1 3

3 .9 3

2 2 2

x y y z z x

y z z x x y x y y z z x

x y y z z x x y y z z x

y z z x x y

 

      

  

     

   

  

 

          

  

     

Suy ra điều phải chứng minh.

(6)

1. Cho tam giác ABCvuông tại A, AHvuông góc với BC AD, là đường phân giác.

Gọi HM HN, là đường phân giác của tam giác HAB HAC,

a) Chứng minh DM / /ACvà ADMB

Áp dụng tính chất tia phân giác AD HM, tương ứng của tam giác ABC AHB, ta có :

 

, 1

DB AB MB HB DC  AC MC  HA

Xét ABC,HBAcó : ^BAC ^BHA



⁹⁰



ABH ABC

    

  



 

( . ) DB MB 2

ABC HBA g g

DC MC

  ∽  

Từ (1) và (2) suy ra DB MB

DC  MC. Theo định lý Ta – let đảo ta có MD/ /AC

*Chứng minh ADMN

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : DN / /AB

N

M H D

B

A C

(7)

Tứ giác AMDNcó : ^{/ /} / /

MD AC

DN AB AMDN

 

 là hình bình hành

Lại có ADlà phân giác MANnên AMDNlà hình thoi. Hơn nữa, MAN 90, khi đó AMDNlà hình vuông. Vậy ADMN dfcm( )

b) Gọi AP AQ, là đường phân giác của tam giác AHB AHC, .Chứng minh rằng

2 2 .

PQ  PB CQ

Ta có: CAP PAH  HACvà CPA PAB PBA(góc ngoài) Mà PAH  PAB,HAC  PBA, do đó CAP CPA

 CAPcân ở CCACP.Tương tự BABQ

Khi đó PQ AB ACBC BP; BCAC CQ; BCAB. Suy ra :

  

 

   

 

2

2 2 2

2 2

2 . 2

2 2 2 .

2 . 2 .

2 .

BP CQ BC AC BC AB BC BC AB AC AB AC

BC AB AC BC AB AC AB AC BC BC AB AC AB AC

AB AC BC PQ

  

   

     

    

   

N M

H D B

A C

P

Q

(8)

Vậy PQ 2PB CQ.

2. Cho tam giác đều ABC,đường cao AH.Lấy điểm M nằm giữa B và C, vẽ MD vuông góc với ABtại D, MEvuông góc với ACtại E. Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích MDElớn nhất

Đặt ABAC BCa AH, h.Nhận xét a h, là các đại lượng không đổi. Ta có :

   

. . 2

2 2 2 1

ABC

ABC ABM ACM

MD AB ME AC a S

S S S MD ME

       a

Hơn nữa ^. ²

 

²

2 2

ABC ABC

AH BC ah S

S h

    a

Từ (1) và (2) suy ra MDME h Hạ EK DM,ta có 1

2 .

SMDE  DM EK

D

K

E

H A

B M C

(9)

Mà EK ME.sinEMKvà



⁹⁰

 

⁹⁰



⁶⁰

EMK CMK CME DMB CME B C

                  

Do đó 1 3

. sin 60 .

2 4

SMDE  DM ME   DM ME

Áp dụng bất đẳng thức

 

² _.

 

² ²

4 4 4

a b DM ME h

ab  DM ME 

   

Khi đó 3 3 ²

. .

4 8

SMDE  DM ME  h (không đổi)

Dấu " " xảy ra  MDME M là trung điểm của BC Vậy giá trị lớn nhất của S_MDElà ² ³

 

8

h dvdt khi M là trung điểm của BC

Câu 5. Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá

Gọi a_iℕ*,i1,...7là số con cá mỗi người câu được Giả sử a₁a₂ a₃ ...a₇

*Trường hợp 1: a₄ 14

Khi đó a₁a₂ a₃a₄ 14 13 12 11 50    a₅ a₆ a₇ 50

* Trường hợp 2: a₄ 14, khi đó a₅ a₆ a₇ 16 17 18 51   Vậy a₅ a₆ a₇ 50