Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Nho Quan 2020-2021

UBND HUYỆN NHO QUAN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (5,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A 8 2 15  8 2 15

2) Cho biểu thức 1 1

; 1

1 1

x x x

P Q

x x x

 

  

   ^{(với 0 x 1)}

a) Tính giá trị của P tại x 6 2 5

b) Chứng minh tích .P Qkhông phụ thuộc vào x c) Tìm xđể P Q 2

Câu 2. (4,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường thẳng

 

^{: 2 1}

 

¹



²

2 2

d y m x m

m m

   

  ^,

m là tham số). Giả sử

 

^d cắt hai trục tọa độ Ox Oy, theo thứ tự tại A và B a) Khi m3,tìm tọa độ các điểm A B, và tính diện tích tam giác OAB

b) Tìm tất cả các giá trị của msao cho tam giác OABcân tại O (O là gốc tọa độ) Câu 3. (2, 5 điểm) Giải các phương trình sau :

 

²

2

) 1 5 4 1

)4 3 2 2 1 4 3 3

a x x

b x x x x x

   

     

Câu 4. (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y,}



^{thỏa mãn 2x2 3y24x19}

Câu 5. (5,5 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm Abán kính .

AH Từ đỉnh Bkẻ tiếp tuyến BIvới đường tròn tâm A(điểm Ilà tiếp điểm, I và H không trùng nhau), tiếp tuyến BIcắt đường thẳng ACtại D

a) Chứng minh bốn điểm A H B I, , , cùng thuộc một đường tròn

b) Cho AB4cm AC, 3 .cm Tính số đo góc ABI(làm tròn đến phút)

c) Gọi HKlà đường kính của đường tròn tâm .AChứng minh IAD KADvà BC BI DK

Câu 6. (1,5 điểm)

Cho ,x ylà các số thực dương thỏa mãn



^{x 1}



^{y  1}



⁴. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 4

x y S  y  x

Câu 1.

   

 

2 2

1) 8 2 15 8 2 15 5 3 5 3

5 3 5 3 2 3

A       

     

2) a) Ta có : ^{x  6 2 5 }



^{5 1}



^{2  x  5 1}

Suy ra : 1 5 1 1 5 2 5 2 5

1 5 1 1 5 5

P x x

    

   

  

1 1 1

) 1 1 1 1 1

x x x x

b Q x x x x x

 

    

    

Xét 1 1

. . 1

1 1

x x

P Q x x

 

 

 

Vậy tích .P Qkhông phụ thuộc vào x



¹

 

^{2 1}



²

1 1 1 2

2 ) 2. 2 1

1 1 1

1 1

x x

x x x

c P Q

x x x

x x

  

    

             

2 2

2 2 1 2 0 1 0 1

1 1

P Q x x

x x

 

               Kết hợp với điều kiện 0 x 1là các giá trị cần tìm.

Câu 2.

a) Khi m3,tìm tọa độ các điểm A B, và tính diện tích tam giác OAB Với m3có phương trình

 

^{d :y 4x1}

Cho ^{0 1 1;0 ; 0 1}

 

^0;1

4 4

y   x A  x   y B

 

AOBvuông tại O, nên ^{1 . 1 1. .1 1}

 

2 2 4 8

SAOB  OA OB  dvdt

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho tam giác OABcân tại O

AOBcân tại O, do đó OAOB.Nếu ^{m 1}

 

^{d :y 1}không cắt trục Oxsuy ra 1

m

Cho 1 1

0 0;

2 2

x y B

m m

 

       

Cho

   

1 1

0 ;0

2 1 2 1

y x A

m m

 

     

   

   

2 2 1

1 1

2 2 1 1;2

m m

OA OB

m m m

   

    

   

 

 

 

2 2 1 0

2 2 1 4

1;2 3

m m m

m m

m m

     

 

      

Vậy có 2 giá trị m0hoặc 4

m 3thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 3.

a) Giải phương trình :



^x1



^{2  5 4x1}

 

 

  

2

2 2

2

4 1 0 1

1 5 4 1 4

2 6 4 1 15 10 5 0

1

1 4

4 1 1

1 3 1 0 1

3

x x

x x

x x x

x x

x

x x x

x x

x

  

 

 

      

   

 

    

 

  

    

    

   



Vậy x1là nghiệm của phương trình .

b) Giải phương trình 4x x 3 2 2x 1 4x² 3x3 ĐKXĐ: 1

x 2. Phương trình đã cho viết lại thành :

 

   

2

2 2

4 4 3 3 2 1 2 2 1 1 0

2 3 0

2 3 2 1 1 0

2 1 1 0

x x x x x x

x x

x x x

x

         

   

        

  



2

1( )

*)2 3 0 4 3 0 3

( ) 4 x tm

x x x x

x ktm

 

       

  



*) 2x    1 1 0 x 1( )tm

Câu 4.Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y;}



^{thỏa mãn 2x23y24x19 1}

 

 

^{1 2}



^x1



^{2 3 7}



^{ y2}

  

²

Để phương trình có nghiệm thì ^{7 y2   0 0 y2  7 y2}



^0;1;4



Từ (2) ta có : ^{3 7}



^{ y2}



^{⋮2 7 y2⋮2 y}là số nguyên lẻ  y²    1 y 1 Với y² 1thay vào (2) ta được x2hoặc x  4

Do đó ta được các cặp số nguyên



^{x y;}



^là

  

2;1 , 2; 1 , 4;1 , 4; 1

 



 

 



Câu 5.

a) Chứng minh bốn điểm A H B I, , , cùng thuộc một đường tròn

Do BIlà tiếp tuyến của

 

^{A BI  AI  AIB90 I}thuộc đường tròn đường kính

 

¹

AB ^{ AHB90}



^{AH BC}



^H thuộc đường tròn đường kính ^AB

 

²

Từ (1) và (2)4điểm A H B I, , , cùng thuộc một đường tròn đường kính AB b) Cho AB4cm AC, 3 .cm Tính số đo góc ABI (làm tròn đến phút) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC,đường cao AHta có :

K

D

I H

A

B

C

2 2 2 2 2

 

1 1 1 1 1 25 144 12

4 3 144 AH 25 5 cm

AH  AB  AC      

12 AI AH 5

   (vì cùng bằng bán kính đường tròn tâm A)

sin 3 36 52'

ABI 5 ABI

      

c) Gọi HKlà đường kính của

 

^A . Chứng minh IAD KADvà BC BI DK +)Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : ^{BI BH}

 

¹

BAI BAH

 

  



90 90

BAI BAH BAI BAH IAD HAC

                Mà HAC KAD IAD KAD

+)Xét ADIvà ADK có : ^{AD chung,IAD KAD cmt AI( );  AK}



^R



( . . ) 90

ADI AKI c g c AKD AID

         (hai góc tương ứng)

 AKDvuông tại K

Xét AKDvuông và tam giác AHCvuông có :^{AK  AH}



^R



^{,KAD HAC(đối}

đỉnh)^{ AKD AHC cgv( gn)DK HC}

 

² (hai cạnh tương ứng) Từ (1) và (2) suy ra BC BH HC BI DK dfcm( )

Câu 6.

Từ giả thiết



^{x 1}



^{y   1}



^{4 xy  x  y 3}

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có :

1 1

3 1 2

2 2 2

x y x y

xy x y    x y x y

           

Mà x⁴ y⁴

    

^{x2 2 y2 2 x2 y2}



²

S y x y x x y

     



 

 

   

2 2

4 3

2 2

4 4

x y

x y x y

x y x y

  

 

 

 

 

   

 

Đẳng thức xảy ra khi x y 1.Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 khi x  y 1