Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Thanh Oai 2020-2021

(1)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2020-2021. MÔN TOÁN 9 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5 điểm)

1) Cho biểu thức 3 ²



³



3

2 3 1 3

x x x x

A x x x x

  

  

   

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

2) Chứng minh rằng A 2 2 2 ...  2 2 2(2020 chữ số 2) Câu 2. (5 điểm)

1) Giải phương trình sau : x 2 4 x 2x² 5x3

2) Tìm các số nguyên xđể biểu thức x⁴ 2x³2x²  x 3là một số chính phương Câu 3. (4 điểm)

1) Cho ^{P x}

 

^ ^x⁴ ^^ax³ ^^bx² ^^cx^^d^,^{trong đó}^{a b c d}^{, , ,} là hằng số. Biết

 

² ^6,

 

⁴ ^12,

 

⁶ ^18.

P   P   P   Tính

 

⁰

 

⁸ ^437.

 

²

2020

P P P

A    



2) Với các số dương a b, thỏa mãn a³ b³6ab8.Tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2

1 3

P ab

a b ab

  

 Câu 4. (5 điểm)

1) Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm

 

^O ^có^{D E F}^{, ,} theo thứ tự là là trung điểm của BC AC AB, , .Gọi Hlà trực tâm của tam giác ABC

a) Chứng min tam giác HABvà tam giác ODEđồng dạng

b) Kẻ các đường thẳng DM / /OA EN, / /OB FG, / /OC



^M ^^{AH N}^, ^^BH ^,^G^^CH^).

Chứng minh các đường thẳng DM EN FG, , đồng quy

2) Từ điểm M nằm trong tam giác ABCcho trước lần lượt vẽ các đường vuông góc MA MB MC', ', 'đến BC CA AB, , .Tìm vị trí của M để tích MA MB MC'. '. 'đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5. (1 điểm) Cho dãy gồm 1000 số: 7;77;777;7777;……;777….7. Chứng minh trong dãy trên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013

(2)

Câu 1.

1) a) ĐKXĐ: x0,x9

    

     

  

      

  

2 3

3 3

1 3

3 2 3 3 3 1

1 3

3 2 12 18 4 3

1 3

3 8

3 8 24 8

1 3 1 3 1

x x x x

A x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x

x x x x x

x x x x x

  

  

 

      

  

      

  

 

   

  

    

b) Tìm GTNN của A

1 9 1 9 9 9

1 1 2

1 1 1 1 1

2.3 2 4

CO SI

x x

A x x

x x x x x



  

         

    

  

Vậy 9

4 1 4( )

Min A x 1 x tmdk

    x  



2) Chứng minh rằng A 2 2 2 ...  2 2 2(2020 chữ số 2)

1

2 1

3 2

2020 2019

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

...

2 2 2 2

A

A A

A A A

 

      

       

     

2 2 2 ... 2 2 2( )

A dfcm

       

(3)

Câu 2.

1) Giải phương trình sau : x 2 4 x 2x² 5x3

Điều kiện : 2 x 4. Phương trình đã cho tương đương với :

  

   

 

2 1 1 4 2 2 5 3

3 1

3 2 1

2 1 1 4

1 1

3 2 1 0

2 1 1 4

3

1 1

2 1 0

2 1 1 4

x x x x

x x

x

x x x

       

 

    

   

 

          

 



    

    



Với 2 x 4thì 1 1

1; 1;2 1 5

2 1 1 4 x

x  x   

    nên

 

1 1

2 1 0

2 1 1 4 x

x  x   

    Vậy x3

2) Tìm các số nguyên xđể biểu thức x⁴ 2x³2x²  x 3là một số chính phương Đặt x⁴ 2x³ 2x²   x 3 y²(với y là số tự nhiên)

Ta có : ^y² ^



^x⁴ ^²^x³ ^ ^x²

 

^ ^x² ^{ }^x ³

 

^ ^x² ^ ^x

 

²^ ^x² ^{ }^x ³



Ta sẽ chứng minh : ^a² ^ ^y² ^



^a^²



²^với^a ^^x² ^^x

Thật vậy,

2

2 2 2 1 11 2 2

3 0

2 4

y a x   x x     y a

 



²



² ² ³ ² ³ ^{1 3} ¹ ² ¹ ⁰ ²



²



²

2 4

a  y  x  x  x     y  a

  Do ^a² ^ ^y² ^



^a^²



² ^ ^y² ^



^a^¹



²

Hay



^x² ^ ^x

 

^ ^x²^{ }^x ³

 

^ ^x²^{ }^x ¹



² ^^x²     ^x ^{2 0} ^^x_x^ ¹₂ Vậy ^x^



^{1; 2}^



(4)

1) Cho ^{P x}

 

^ ^x⁴ ^^ax³ ^^bx² ^^cx^^d^,^{trong đó}^{a b c d}^{, , ,} là hằng số. Biết

 

² ^6,

 

⁴ ^12,

 

⁶ ^18.

P   P   P   Tính

 

⁰

 

⁸ ^437.

 

²

2020

P P P

A    



Biết ^P

 

^{ }² ^6,^P

 

^{ }⁴ ^12,^P

 

^{ }⁶ ^18.^Tính

 

⁰

 

⁸ ^437.

 

²

2020

P P P

A    

 Đặt ^{Q x}^{( )}^^{P x}

 

^³^x^^Q

 

^{ }² ^Q

 

^{ }⁴ ^Q

 

^{ }⁶ ⁰

2; 4; 6

    là nghiệm của ^{Q x}

 

^,^mà^{Q x}

 

là đa thức bậc 4 nên Q(x) có dạng :

      

    

2 4 6

( ) 2 4 6 3

Q x x x x x m

P x x x x x m x

    

      

Tính được ^P

 

⁰ ^{ }^{48 ,}^{m P}

 

^{ }⁸ ^{408 48}^ ^m

48 408 48 437.6 3030 3

2020 2020 2

m m

A    

   

2) Với các số dương a b, thỏa mãn a³b³6ab8.Tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2

1 3

P ab

a b ab

  



Ta có : ^a³ ^^b³ ^⁶^ab^{ }⁸



^a^{ }^b ²

 

â² ^âb^^b² ^²â^²^b^⁴



^{   }⁰ ^a ^b ²

 

2 2 2 2

2

2 2

1 3 1 1 1 3

2 2

4 6 9

2 2 2

P ab ab

a b ab a b ab ab ab

P a b ab a b

       

 

   

  

Dấu bằng xảy ra   a b 1

Vậy 9

2 1

Min P   a b

(5)

Câu 4.

1)

a) Chứng minh tam giác HABvà tam giác ODEđồng dạng Chứng minh được ED/ / AB OD, / /AH(cùng vuông góc BC)

/ /

BH OE(cùng vuông góc AC)

;

ABH DEO BAH EDO

       (góc có cạnh tương ứng song song)

 

( . )

ABH DEO g g dfcm

  ∽

b) Kẻ các đường thẳng DM / /OA EN, / /OB FG, / /OC



^M ^^{AH N}^, ^^BH ^,^G^^CH^).

Chứng minh các đường thẳng DM EN FG, , đồng quy Từ câu a, suy ra 1

/ / 2 OD  AH

Chứng minh được tứ giác AMDOlà hình bình hành suy ra OD AM MH,dẫn đến tứ giác MODH là hình bình hành. Nên DMđi qua trung điểm Icủa OH

Chứng minh tương tự có EN FG, đi qua I, nên các đường thẳng DM EN FG, , đồng quy

N

M

F H E

D O A

B C

G

(6)

góc MA MB MC', ', 'đến BC CA AB, , .Tìm vị trí của M để tích MA MB MC'. '. 'đạt giá trị lớn nhất.

Đặt MA' x MB, ' y MC, ' z BC,  a AC, b AB, c

 

1 2

ABC BMC AMC BMA 2 ABC

S S S S  axbycz axbycz  S

     

³ ³

1 1 8

'. '. ' . . .

3 27

ax by cz SABC

MA MB MC xyz ax by cz

abc abc abc

 

 

     

 

Dấu " " xảy ra axbycz,suy ra diện tích các tam giác BMC AMC AMB, , bằng nhau, khi đó M là trọng tâm tam giác ABC

Vậy MA MB MC'. '. 'lớn nhất khi M là trọng tâm tam giác ABC Câu 5.

Tách 2013 3.11.61 trong đó 3,11,61đôi một nguyên tố cùng nhau

Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 3 và 11, đó là những số có số chữ số là bội của 6 Đó là những số 777777 (6 chữ số), 777777777777 (12 chữ số ,….,777…77 (996 chữ số) Số số hạng của dãy trên là :



996 6 : 6 1 166



 

Khi chia 166 số trên cho 61 thì có 166 số dư, mà số dư của các phép chia này chỉ nhận 61 giá trị từ 0 đến 60, nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại 2 số trong dãy trên có cùng số dư khi chia cho 61hiệu của hai số đó chia hết cho 61.

Hiệu của hai số có dạng 77...7.10ⁿ(có ksố 7, 6 k 990)

A' C'

B' A

B

C

M

(7)

Mà



^{10 ,61}ⁿ



^¹suy ra 77...7 chia hết cho 61

Vậy trong 1000 số đã cho tồn tai ít nhất một số chia hết cho 2013.