Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Thanh Hóa 2020-2021

(1)

NĂM HỌC 2020-2021 Môn thi : Toán

Bài 1. (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức ²

  3  3

2

1 1 . 1 1

2 1

x x x

A

x

    

   với 1  x 1

2) Tính giá trị biểu thức

5 3

4 2

4 17 9

3 2 11

x x x

P x x x

  

    ^với^x^{thỏa mãn} ²

1 1 4 x

x x 

  Bài 2. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 1

9 20 11 30 13 42 8

x x  x x  x x 

     

2) Giải phương trình 2x²   x 3 3 x³1 Bài 3. (4,0 điểm)

1) Cho ,x ylà các số nguyên



^x^^1;^y^¹



^{sao cho} ⁴ ¹ ⁴ ¹

1 1

x y

y x

 

   là số nguyên Chứng minh x y^{4 4}1chia hết cho y1

2) Tìm số nguyên tố , ,x y zthỏa mãn x^y  1 z²

Bài 4. (6,0 điểm) Cho ABCnhọn, các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H. Trên ,

HB HClấy M N, sao cho AM CM AN; BN a) Chứng minh rằng : AM  AN

b) Gọi Glà giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC.Chứng minh

. .

BG CDCG BD

c) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm Avuông góc với EF,đường thẳng đi qua điểm B vuông góc với DFvà đường thẳng đi qua điểm C vuông góc với

DEđồng quy tại một điểm

Bài 5. (2,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 1₂ 1₂ 1₂ a b c 1 Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2

1 1 1 3

5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a 3

  

     

(2)

ĐÁP ÁN Bài 1.

1) Ta có :

   

 

      

     

          

  

3 3

2

2 2

2 2 2

1 1 . 1 1

2 1

1 1 . 1 1 1 1 1 1

2 1

1 1 . 1 1 2 1

1 1 . 1 1

2 1

1 1 . 1 1 1 1 2 2 1 1

2 1 1 1 1 2 2

x x x

A

x

x x x x x x x

x

x x x x

x x x

x

x x x x x x

x x x x

    

  

          

  

      

      

 

           

      

2) Ta có :

2 2

2

1 4 1 3 1

1 4

x x x x x x

x x        

  . Khi đó :

   

3 2 2

4 3 2

5 4 2

. 3 1 3 3 3 1 1 8 3

. 8 3 . 8 3 8 3 1 3 21 8

. 21 8 . 21 8 21 3 1 8 55 21

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

         

 

5 3

4 2

55 21 4 8 3 17 9

4 17 9 6 3

3 2 11 21 8 3 3 1 2 11 32 16

x x x

x x x x

P x x x x x x x

    

  

    

       

Vậy với 3

0 16

x  P

(3)

1) Điều kiện xác định : x 4;x 5;x 6;x 7

        

2 2 2

2

1 1 1 1

9 20 11 30 13 42 18

1 1 1 1

4 5 5 6 6 7 18

1 1 1 1 1 1 1

4 5 5 6 6 7 18

1 1 1 2( )

11 26 0

13( )

4 7 18

x x x x x x

x tm

x x

x tm

x x

  

     

   

     

      

     

 

             Vậy tập nghiệm của phương trình là ^S ^{ }



^13;2



2) Điều kiện xác định : x 1

       

2 3 2 2

2x   x 3 3 x  1 x 1 2 x   x 1 3 x1 x  x 1

Đặt

2 3

1 2

1 0 a x x b x

    



   



. Khi đó phương trình trở thành :

  

2 2 2 3 0 2 0

2 a b

b a ab a b a b

a b

 

         

 

2 2

2 2 2

1: 1 1 1 1 2 0 0( )

2( )

2 : 2 2 1 1 4 4 4 1 4 5 3 0( )

x tm

Th a b x x x x x x x x

x tm

Th a b x x x x x x x x VN

 

                

               Vậy tập nghiệm phương trình là ^S ^

 

^0;2

Bài 3.

1) Đặt ⁴ ¹ ^; ⁴ ¹ ^{; ,}

  

^,



^{1, ,} ⁰

1 1

x a y m

a b m n b n

y b x n

 

    

 

Theo đề bài ta có :

an bm b an b n b a m an bm

b n an bm n bm n b n

b n bn

   

        

   

⋮ ⋮ ⋮

ℤ

⋮ ⋮ ⋮

Mặt khác, x⁴ 1⋮y1;y⁴ 1⋮x1(với ,x ylà số nguyên) a m.

 b n ℤnên am n⋮ a n⋮ a b⋮

(4)

 

4 1 1 4 4 1 4 1 1 4 4 1 1

x y y x y y x y y

  ⋮      ⋮    ⋮  Vậy x y⁴ ⁴⋮y1

2) Ta có :

2 2

1

xy  z z và x^ykhác tính chẵn, lẻx z, khác tính chẵn lẻ Mà x z, là các số nguyên tố nên ta xét các trường hợp sau :

) 1:Th x 2,z 2

   ta có :

  

2 2

2^y  1 z 2^y  z  1 z1 z  1 z 1;z1là lũy thừa của 2

Đặt ^{1 2}



^, ^*, ^,



1 2

u v

z u v v u u v y

z

  

    

  



ℕ

Khi đó ² ² ² ^{2 2}



¹



² ² ² ₁¹

2 1 1

u

v u u v u

v u

u v



   

         

3( ) 3 z tm y

 

   ) 2 :Th z 2,x 2

   ta có :

1 4 3

y y

x    x  , do x là số lẻ nên x3,y 1(ktm) Vậy



^{x y z}^{; ;}

 

^ ^2;3;3



Bài 4.

a) Chứng minh rằng AM  AN Xét AMCvuông tại M, đường cao ME

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có : ^AM² ^ ^{AE AC}^.

 

¹

O

G

N M H

F

D

E A

B C

(5)

Xét ANBvuông tại N, đường cao NF

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có : ^AN² ^ ^{AF AB}^.

 

²

Xét AEBvà AFCcó : AEB AFC 90 , CABchung

 

( . ) AB AE . . 3

AEB AFC g g AE AC AF AB

AC AF

  ∽    

Từ

     

^{1 , 2 , 3} ^ ^AN ^ ^AM

b) Chứng minh BG CD. CG BD. Xét AEFvà ABCcó : AB AE

AC  AF (chứng minh trên);CABchung ( . )

AEF ACB g g AFE ACB

  ∽    

Chứng minh tương tự, ta có : AFD ACB ,

GFB BFD FB FC

     lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài tại

đỉnh Fcủa FGD BG CG FG . .

BG CD CG BD

BD CD FD

 

    

 

c) Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của ABCOAOBOC BAO ABO

    (vì ABOcân tại O);BCO CBO(vì CBOcân tại O)

CAO ACO

   (vì ABOcân tại O)

 

2 ACB BAO ACB ABC CAB 180 ACB BAO 90

                 

Lại có : AEF  ACB AEF  BAO90  AOEF Chứng minh tương tự, ta có : AOFD OC, DE

Vậy đường thẳng đi qua điểm Avuông góc với EF,đường thẳng đi qua điểm B vuông góc với DFvà đường thẳng đi qua điểm C vuông góc với DEđồng quy tại điểm O

Bài 5.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacoxki, ta có :

 

2

2 2 2

2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3

3

a b c a b c

a b c a b c a b c

          

   

   

 

            

 

Mặt khác, ta có : ⁵^a² ^²^ab^²^b² ^



²^a^^b

 

² ^ ^a^^b

 

² ^ ²^a^^b



²

(6)

2 2

 

1 1

2 1 5a 2ab 2b a b

 

   . Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

 

³ ³

1 1 1 1

3 .3 9

a a b abc

       

 

 

   

2 1 1 1 2 1

2 9 2

2 9

a b

a b a b a b

   

           Từ (1) và (2) suy ra

2 2

1 1 2 1

5a 2ab 2b 9 a b

 

   

 

 

Chứng minh tương tự, ta có :

2 2 2 2

1 1 2 1 ; 1 1 2 1

9 9

5b 2bc 2c b c 5c 2ac 2a c a

   

       

   

    . Do đó:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 3

3 3

5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a a b c

 

      

 

     

Dấu " " xảy ra khi a  b c 3