Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Tây Ninh 2020-2021

(1)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021. MÔN TOÁN 9

Thời gian làm bài : 150 phút – Ngày thi: 01/04/2021

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Cho a b c, , là các số tự nhiên thỏa mãn a b cchia hết cho 6. Chứng minh

3 3 3

a b c chia hết cho 6

b) Tìm tất cả các số nguyên



^{x y}^;



thỏa phương trình ^{y x}



²^³



^ ^x³ ^³

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình ⁴



^x²^⁴^x^⁶



^



⁵^x^⁸



^x² ^¹²

b) Tìm mđể phương trình x² 4x  m 7 0có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂thỏa mãn x₁⁴ x₂⁴ 82

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Cho x0và x4,rút gọn biểu thức :

5 4 1 2

2 2 : 2

x x x

T x x x x x

     

     

  

   

b) Cho a b c d, , , là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức :

a b c d 2

b c c d d a  a b 

   

Câu 4. (4,0 điểm)

a) Cho hình chữ nhật ^{ABCD AB}



^^BC



^.^Kẻ^DHvuông góc với ACtại .H Trên tia đối của tia DHlấy điểm M sao cho DM AC.Tính ABM

b) Cho hình bình hành ^{ABCD AB}



^^BC



^.^Gọi^M là trung điểm của BCvà N là giao điểm của AM và BD. Tính tỉ số giữa diện tích hình bình hành ABCDvà diện tích tứ giác MNDC

Câu 5. (4,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC



^AB^ ^AC



nội tiếp đường tròn

 

^T ^{tâm O,}^^BAC ^⁶⁰^

Đường phân giác trong của BACtrong ABCcắt

 

^T ^{tại D}



^D^ ^A



^.Tính

AB AC AD



b) Cho hình vuông ABCDcó diện tích bằng 2021.Xét điểm M thay đổi trên đường chéo AC,gọi E F, lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M lên các cạnh

,

AB BCcủa hình vuông ABCD.Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác DEF

(2)

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Xét ^a³ ^^b³ ^^c³ ^ ^{a a}



² ^{ }¹

 

^{b b}² ^{ }¹

 

^{c c}² ^{ }¹

 

^a^{ }^b ^c





² ¹

 

¹

 

¹



a a   a a a

i chia hết cho 6 (vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp)



² ¹

 

¹

 

¹



b b   b b b

i chia hết cho 6 (vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp)



² ¹

 

¹

 

¹



c c   c c c

i chia hết cho 6(vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp) a b c

i chia hết cho 6 (giả thiết) Vậy a³ b³ c³chia hết cho 6

b) Ta có : ^{y x}



² ^³



^^x² ^³

3

2 2

3 3 3

3 3 ,

x x

y x x M

x x

 

     

  ^vớix M, nguyên

Xét ²



²

  

2 2 2

3 3 3 3 12

3 3 12

3 3 3 3

x x

Mx M

x x x

   

     

  

Do Mxnguyên nên x² 3là ước của 12

3; 1; 0; 1; 3

3 2( ) 1 1( ) 0 1( )

2

1 1( ) 3 5( )

2

x x x x x

x y tm x y ktm x y tm

x y tm x y ktm

       

           

     

Vậy các số nguyên



^{x y}^;



^là



 3; 2 , 0;1 , 1;1

    

Câu 2.

   

     

  

2 2

2 2 2

2 2

)4 4 6 5 8 12

2 12 2 8 4 12 8 12

2 12 12 2 8 12 2 0

12 2 2 12 8 0

a x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

    

        

        

      

2 2

12 2

2 12 8

x x

  



   

 

2 12 2 3 2

x   x x  x i

 

2 8 4 7

2 x 12 x 8 x 4 3 8 x 

      

i

(3)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 8 4 7

2, 3

x x 

 

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂khi

' 4 m 7 m 3 0 m 3

           Với m 3,theo Vi – et ta có : ¹ ²

1 2

4 7 x x

x x m

 

  

 . Ta có x₁⁴ x₂⁴ 82

  

2 18 88 0 4 22 0

m m m m

       

4 0 22 0 m

m

  

    hoặc 4 0

4 22

22 0

m m

m

  

   

  



Kết hợp với điều kiện m 3suy ra 4   m 3thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 3.

a) Với x0,x4ta có :

 

   

5 4 1 2

2 2 : 2

5 4 1 2

2 : 2

. 2

4 4 4 4 4

: 1

. 2 2 4

x x x

T x x x x x

x x x

x x

x x x x

x

x x x x

     

     

  

   

     

 

        

   

   

 

   

      

  

     

   

 

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

)

1 1 4

a b c d

b VT b c c d d a a b

a c b d

b c d a c d a b

a d a c b c b a b d c d

b c d a c d a b

a c ad bc b d ab cd b c d a c d a b

x y a c ad bc b d ab cd

do xy x y

a b c d a b c d

   

   

   

          

     

 

   

     

 

   

  

     

      

       

(4)

 

     

 

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

4

2. 2. 2

a b c d ab bc cd ad VT

a b c d

a b c d a c b d a b c d

a b c d a b c d

      

 

  

         

  

     

Vậy a b c d 2.

b c  c d  d a  a b 

    Đẳng thức xảy ra khi acvà b d Câu 4.

a)

Từ M kẻ đường thẳng song song với ADcắt các đường thẳng BA CD, tại E và F Do DAH  FDM(cùng phụ với ADH ) và AC  DM nên ADC DFM Suy ra DC FM AD, FDEF EA

Do EB EA AB EF FM  EM  EBM cân tại E AMB45

E F

M

H C A

B

D

(5)

b)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC BD, . Ta có :

. .

. 2 .

BMN BCD

S BM BN BM BN

S  BC BD  BM BN (Do M là trung điểm của BC)

Lại có BM / /AD(do ABCD là hình bình hành) BN BM ( ) Ta let ND AD

  

1 1

2 3

BN BM

BN BD

ND BC

    

. 1 1

2 .3 6 6

BMN

BMN BCD

BCD

S BM BN

S S

S BM BN

    

5 5 1 5 12

6 6 2. 12 5

ABCD

MNDC BCD ABCD ABCD

MNDC

S S S S S

     S 

N

M

O B C

A D

(6)

Câu 5.

a)

Gọi Hvà K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D trên các đường thẳng ,

AB AC. Ta có AHD AKD(vì AD chung, HAD KAD) ,

DH DK AH AK

   .

Do BHD CKD DH(  DK DB,  DC)BH KC. Ta có

2 2 .cos 2 .cos30 3

ABAC  AH BH AK KC  AH  AD HAD AD   AD AB AC 3

AD

  

(T)

K

H

A

O

B C

D

(7)

b)

1 1

. , .

2 2

1 1

2 2 .

DEF DEM DMF MEF

DEM AEM DMF MFC

DEF AEFC ABC BEF ABCD

S S S S

S S AE EM S S FC FM

S S S S S BE BF

  

   

     

   

     

Do

2

. ,

2 BE BF BE BF   

  

  đẳng thức xảy ra khi BEBF

 

2 2 2 1

. 2 2 4 4

1 1 3 6063

2 8 8 8

ABCD

DEF ABCD ABCD ABCD

BE BF BE EA AB

BE BF S BF EM EA

S S S S

 

   

       

   

    

6063

DEF 8

S  M là trung điểm AC

Vậy 6063

Min SDEF   M là trung điểm AC

E

F

D B C

A

M