Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Bắc Giang 2020-2021

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 03 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021

MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 Ngày thi : 06/3/2021 Thời gian làm bài : 120 phút

I.Phần trắc nghiệm (6 điểm) Câu 1.Nghiệm của phương trình

1 1 1 1 1 1 1 1

.... ....

1.51 2.52 3.53 10.60 x 1.11 2.12 3.13 50.60

          

 

  là :

. 5 . 4 . 7 . 9

A x B x C x D x

Câu 2.Cho 2 16 4 2 1

6 8 2 4 .

a a a

M S

a a a a

  

  

    là tập hợp các giá trị nguyên của ađể M nhận giá trị nguyên. Tập Scó tất cả bao nhiêu tập con ?

.3 .8 .4 .2

A B C D

Câu 3.Cho đường tròn tâm Obán kính Rvà điểm A sao cho OA3 .R Đường thẳng qua Avà cắt đường tròn tại hai điểm B C, .Tính AB AC.

2 2 2 2

. . 5 . . 2 . . 8 . . 3

A AB AC  R B AB AC  R C AB AC R D AB AC  R Câu 4.Có bao nhiêu cặp số



^{x y}^,



^với^x^^0,^y ^⁰thỏa mãn phương trình

4x2 9y 1 3x6 xy

.1 .2 .0 .4

A B C D

Câu 5. Cho tam giác ABCvuông tại A có đường cao ^{AH H BC AB}



^



^; ^^2,^AC^³^CH^.

Diện tích tam giác ABCbằng :

3 3 2

.3 3 .2 2 . .

2 2

A B C D

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị xnguyên để biểu thức 2 3 2 A x

x

 

 nhận giá trị nguyên

.1 .2 .3 .4

A B C D

Câu 7.Gọi M là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ Otrên đường thẳng



²



⁵

y m x m  (với mlà tham số). Giá trị lớn nhất của OMbằng ;

.5 2 .3 2 .4 5 .2 5

A B C D

Câu 8.Cho biểu thức ^{f x}

 

^



^x³^⁶^x^⁷



²⁰²¹^{. Biết}^a^ ³ ³^ ¹⁷ ^ ³³^ ¹⁷ , giá trị của

 

f a là

.1 . 2 .0 . 1

A B  C D 

Câu 9.Biết điểm M x y



0; 0



là điểm mà đường thẳng ^y^{ }



¹ ^{m x}



^²^m^⁶luôn đi qua với mọi m. Giá trị của biểu thức A x ₀²  y₀²là :

. 2 .20 .6 .4

A  B C D

(2)

Câu 10.Cho hai hàm số ^y ^



^m² ^¹



^x^²^và^y ^²^{x m}^{ }¹. Tìm tham số mđể đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song

. 1 . 1 . 2 . 1

A m  B m C m D m 

Câu 11. Cho tam giác ABCcó đường phân giác trong ^{AD D BC}



^



^{sao cho}^{BD a}^ ^,

, .

CD b a b  Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn đi qua 3 điểm A B C, , cắt BC tại M. Độ dài MAđược tính theo công thức nào sau đây ?

2 2 2

. . . .

2

ab ab ab ab

A MA B MA C MA D MA

a b a b a b a b

   

   

Câu 12.Tìm hai tham số m n, để hệ phương trình 2 4 2 x y

mx y n

  

   

 có vô số nghiệm

. 2, 2 . 2, 6 . 2, 2 . 2, 2

A m n  B m n C m  n  D m  n Câu 13.Cho ba số , ,x y zsao cho x1,y2,z3. Giá trị lớn nhất của

1 2 3

yz x xz y xy z

P xyz

    

 là ¹ ¹ ¹



^{a b c}^{, ,}



a b  c ℕ _{. Tổng}_{a b c}_{ } _{bằng :}

.22 .18 .20 .19

A B C D

Câu 14.Cho hệ phương trình

 

2

1 2 1

2 m x my m mx y m

    



  

 ^(với^mlà tham số) có nghiệm



x y0; 0



. Giá trị lớn nhất của x y_{0 0}là :

1 9 1 3

. . . .

4 4 2 4

A B C  D

Câu 15. Cho hệ phương trình

4 1 13

2 2 3

1 6

2 2 1

x y x y x y x y

   

  



  

  



có nghiệm



x y0; 0



. Tính y₀ x₀

là :

0 0 0 0 0 0 0 0

. 4 . 2 . 2 . 3

A y x  B y x  C y x   D y x 

Câu 16.Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Giả sử AB6cm BH, 4 .cm Tính BC

.10 . 9 . 10,5 . 8 2

A cm B BC  cm C BC cm D BC  cm Câu 17.Phương trình 2x  5 3 xcó bao nhiêu nghiệm

.4 .2 .1 .0

A B C D

Câu 18.Cho đường tròn



^{O R}^;



và hai điểm A B, cố định nằm ngoài đường tròn sao cho 2 .

OA R Điểm Cnằm trên đoạn thẳng AOsao cho

2

OC  Rvà điểm M thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của MA2MBbằng

(3)

. .4 .3 .2

A BC B BC C BC D BC

Câu 19.Cho đường tròn tâm O có bán kính OA R ,dây cung BCvuông góc với OAtại trung điểm M của đoạn thẳng OA,kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B,tiếp tuyến đó cắt

OAtại E. Độ dài đoạn thẳng BElà :

.3 . 2 . 3 . 3

2

A R B R C R D R

Câu 20.Cho các hàm số y 0,5x3;y  6 x y mx;  có đồ thị lần lượt là các đường thẳng d d₁, ,₂ _m. Với những giá trị nào của tham số mthì _mcắt d d₁, ₂tại hai điểm A B, sao cho Acó hoành độ âm, Bcó hoành độ dương ?

. 0,5 1 . 1 0,5; 0

. 1 0,5 . 0,5 1, 0

A m B m m

C m D m m

      

II.TỰ LUẬN Câu 1. (5,5 điểm)

1. Cho biểu thức 3 9 3 1 2 0

2 2 1 1

x x x x x

A x x x x x

  

   

          a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị của xđể Anhận giá trị nguyên

2. Cho đường thẳng ^{d y ax b a}^: ^ ^



^⁰



^{đi qua}^M

 

^1;4 ^{và cắt}^Ox^{tại điểm}^A^có

hoành độ dương, cắt Oytại B có tung độ dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P OA OB 

Câu 2. (3,5 điểm)

1. Giải phương trình : ⁷^x² ^⁵^x^{ }⁶



¹¹^x^¹



^x² ^³

2. Cho a b c, , là các số nguyên dương thỏa mãn a b là số nguyên tố và 3c2 ab bc ca  .Chứng minh rằng 8c1là số chính phương.

Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác ABC AB BC CA



 



ngoại tiếp đường tròn tâm I. Lấy ,

E F lần lượt trên các đường thẳng AC AB, sao cho CB CE BF  đồng thời chúng nằm về cùng phía với Aso với đường thẳng BC.Các đường thẳng BEvà CF cắt nhau tại G

a) Chứng minh rằng bốn điểm C E I G, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Trên đường thẳng qua Gvà song song với AClấy điểm Hsao cho HG AF đồng thời H nằm khác phía với C so với đường thẳng BG.Chứng minh rằng

1

EHG 2 CAB

  

Câu 4. (1 điểm) Cho các số thực dương , ,x y zthỏa mãn x y z  3.Chứng minh rằng :

1 1 1

xy x y  yz y z  zx z x  3

     

(4)

ĐÁP ÁN I.TRẮC NGHIỆM

1A 2B 3C 4A 5D 6B 7A 8D 9B 10D 11C 12C 13A 14A 15B 16B 17D 18D 19C 20C

II.TỰ LUẬN Câu 1.

1.

a) Rút gọn biểu thức A

    

  

     

  

3 3 3 1 1 2 2

2 1

2 3

6 3

2 1 2 1 1

x x x x x

A x x

x x

x x x

x x x x x

      

  

 

  

  

    

) 1 2 b A 1

  x



Với xℤ,để ^A^{ }^ℤ ^x ^{ }¹ ^U⁽²⁾^{    }



^{2; 1}



^x



^0;4;9



2.

  

 

4 4

) ;0 , 0; 0, 0

4 4

) 4 5 9

M d a b b a

d Ox A b d Oy B b b a a

b a

OA OB b a a

a a a

      

 

        

 

   

             

  Dấu bằng xảy ra khi ⁴ ^a ^a ²



^a ⁰



^b ^{6( )}^tm

a        Vậy giá trị nhỏ nhất của Pbằng 9

Câu 2.

 

     

2 2

2 2 2 2

1.7 5 6 11 1 3

7 5 6 11 1 3 0

5 5 10 3 2 6 1 3 0

x x x x

x x x x x x x

    

      

         

(5)

   

  

2 2 2

2 2

2

5 1 2 3 3. 2 3 1 0

1 2 3 5 3 0

2 3 1

3 5

)2 3 1 1

3 2 11 0

0 2

) 3 5 1

8 4

x x x x x x

x x x x

x x

x x x PTVN

x x x

x

         

      

   



  



 

     

  



 

     

 

2) Ta có :^4c² ^^c² ^^{ab bc ca}^ ^ ^



^{c a c b}^



^



Gọi ^d



^{c a c b}^,

 

^, ^{c a}

 

^{c b}



^{a b d} ^d ¹ ⁽^{do a b}

d a b

 

           

⋮ là số nguyên tố)

Th1: d   1 c avà c b nguyên tố cùng nhau nên



2, 2 ;

c a x c b    y x ynguyên dương)

Nên ^{a b x}^{ } ² ^ ^y² ^



^{x y x y}^



^



là số nguyên tố nên x y    1 x 1 y

    

2 2 2 2

4c  c a c b   x y 2c xy  1 y y y  y

 

²

8c 1 4y2 4y 1 2y 1

       là số chính phương

Th2:^{d a b}^{    }^{c a}



^{a b x c b}^



^; ^{ }



^{a b y}^



^,^{với ,}^{x y}nguyên dương và nguyên tố cùng nhau

       

¹ ¹

a b c a c b a b x a b y x y x y

                Ta có: ⁴^c² ^



^{c a c b}^



^

 

^ ^{a b xy}^



² ^^{xy y y}^



^¹



là số chính phương Mà ;y y1là hai số tự nhiên liên tiếp nên y0(vô lý do ynguyên dương)

(6)

Câu 3.

a) Gọi ^BI ^^CE ^

 

^{N CI}^, ^^BE ^

 

^M ^,^ÎBE^{cân tại I}^{ }ÎEB^{ }ÎBM

 

¹

90

 

90 2 IBM BIM

IBM ICN ICN CIN

    

   

     

Từ (1) và (2) suy ra IEB  ICN 180

ICG GEI

      tứ giác CIEGlà tứ giác nội tiếp b) Chứng minh được tứ giác AFCI nội tiếp

(Vì 180

2 2 180

ABC BAC BCA

AFC       IAC ICA AIC

          

Chứng minh được tứ giác AEIBnội tiếp (vì EAI  IFC ICF  IBE) Do tứ giác CIEGvà AFCI nội tiếp, nên EGI  ECI  AFI

Hơn nữa, do IAB IEBnên GEI  FAI  GEI∽FAI

Suy ra EG EG AF HG AF AI

BI  EI  AI  GE  GE  BI

Nhưng HGE AEB AIB HGE∽AIB Từ đó suy ra

2 EGH BAI CAB

   

Câu 4.

Ta chứng minh



^{x y}^{ }¹



² ^³



^{xy x y}^{ }



^{với mọi ,}^{x y}

N M

H G F

E

I A

B C

(7)

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với :



² ²

  

2 x  y  1 2xy2x2y 6 xy x y 



^{x y}

 

² ^x ¹

 

² ^y ¹



²

      . Dấu " " xảy ra   x y 1

Do đó ¹ ³

1 xy x y  x y

    , với ,x y 0. Dấu " " xảy ra   x y 1 Tương tự ta suy ra

1 1 1 3 3 3

1 1 1

x y y z z x

xy x y  yz y z  zx z x   

     

Dấu " " xảy ra ^{   }^{x y z} ^{1 1}

 

Ta chứng minh 1 1 1 9 m n  p  m n p,

  với mọi , ,m n p 0 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với :

1 n p m 1 p m n 1 9

m m n n p p

        

n m p m p n 6

m n m p n p

   

 

        

     

Theo bđt Cô si ta thấy bất đẳng thức trên luôn đúng. Dấu " " xảy ra  m n  p Do đó :

   

3 3 3 9 3

1 1 1 2 3 3 2

x y  y z  z x  x y z 

        

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh . Dấu " " xảy ra    x y z 1