Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Quận Tây Hồ 2020-2021

(1)

ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021

Thời gian làm bài : 150 phút, không kể giao đề Câu 1. (4 điểm) Cho biểu thức

2 7 3 2 1 1 2

: 11

3 2 11 3 2 2 2

x x x x

P x x x x x x

         

                1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm các số thực xđể biểu thức Pđạt giá trị nguyên Câu 2. (4 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức ^A^



^x³ ^¹²^x^⁹



²⁰²⁰^biết^x^ ³ ⁴



^{5 1}^{ }



³ ⁴



^{5 1}^



2) Giải phương trình : ^x^²⁴^



^x^³



^^x² ^⁸^x^⁴⁸

Câu 3. (4 điểm)

1) Cho ba số thực a b c, , khác 0 thỏa mãn a b c 2 b c c a  a b 

  

Chứng minh rằng

2 2 2

a b c

a b c b c c a a b   

  

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y}^,



^{thỏa mãn}^x³ ^ ^y³ ^^x² ^{ }^x ¹

Câu 4. (6 điểm) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Điểm Athay đổi sao cho 60 .

BAC  Đường phân giác trong của góc Acắt BC tại D.

1) Chứng minh 1

. .sin ,

ABC 2

S  AB AC A trong đó S_ABClà diện tích tam giác ABC 2) Chứng minh

2 2 2

2

2 4

AB AC BC

AM 

 

3) Chứng minh rằng 1 ₂ 1 ₂ 3 ₂ 2 AB  AC  AD Câu 5. (2 điểm)

1) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn 3 a b c   2 Chứng minh rằng a² b² c² 2abc1

2) Trên bảng có ghi 2020 số: 1 2 3 2020

; ; ;...;

2020 2020 2020 2020. Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa đi hai số a b, bất kỳ trên bảng và thay bằng số a b 2 .abHỏi sau 2019 lần thực hiện phép xóa, số còn lại trên bảng là số nào ?

(2)

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Rút gọn biểu thức P. Điều kiện xác định : x2,x11 Đặt x 2 a a, 0,a3

 

         

 

    

   

2

2 2

2

9 3 1 1

3 9 : 3

3 9 3 1 3

3 3 3 3 : 3 3

3 3 2 2 3

3 3 : 3 2 2

a a a

P a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a

a a a

P a a a a a

     

         

       

            

 

  

   

Thay x 2 avào P ta được



³ ²



2 2 2

P x

x

  

 

b) Tìm các số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên



³ ²



^{2 2}



³



⁴

2 2 2

P x x P P

x

 

     

 

Pnguyên nên 2P 3 0.Từ đó 4

2 2 3

x P

P

  

 , do x 2 0nên 4 2 3 0

P P

 

 Từ đó 3

2 P 0

   , do P nguyên nên ^P^{ }



^1;0



Với P  1 x   2 4 x 18 Với P 0 x   2 0 x 2 Câu 2.

1) Ta có ^x^ ³ ⁴



^{5 1}^{ }



³ ⁴



^{5 1}^



Xét ^x³ ^^^_³ ⁴



^{5 1}^{ }



³ ⁴



^{5 1}^



^^_³ ^⁴



^{5 1}^{ }

 

⁴ ^{5 1}^{ }



^{3 4}³



^{5 1 .4}^

 

^{5 1 .}^



^x

Hay x³   8 12x x³ 12x  8 0 x³ 12x 9 1 Vậy A1²⁰²⁰ 1

2) Giải phương trình ^x^²⁴^



^x^³



^^x² ^⁸^x^⁴⁸

Điều kiện :  x³ 8x48 0

(3)

 

   

 

2

2 2 2

2 2

2 48 2 3 8 48 0

6 9 2 3 8 48 8 48 9

3 8 48 9

8 48 6 1

3 8 48 3

3 8 48 3 8 48 2

x x x x

x x x x x x x

x x x

x x x x x x

      

            

      

            

 

            

 

Giải (1)

 

¹ ² ⁸ ⁴⁸ ² ¹² ³⁶ ² ² ²⁰ ^{12 0} ⁵ ³¹

6 6

x x x x x x

x x x

         

    

 

 

Giải (2)

 

² ² ⁸ ⁴⁸ ² ^{2 2 7}

0

x x x

x x

   

   

 

Vậy tập nghiệm của phương trình là ^S^



⁵^ ^{31;2 2 7}^



Câu 3.

1) Ta có : ^a ^b ^c ^{2 *}

 

b c c a a b 

  

Nhân 2 vế của (*) với số akhác 0 ta được :

2

a ab ac 2 b c c a a b   a

  

Nhân 2 vế của (*) với số b khác 0 ta được :

2

ab b bc 2 b c c a a b   b

  

Nhân 2 vế của (*) với số c khác 0 ta được :

2

ac bc c 2 b c c a a b   c

  

Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được

2 2 2

a ab ac ab b bc ac bc c

a b c b c c a  a b b c c a   a b b c c a a b     

        

(4)

 

2 2 2

a b c ab bc ac bc ab ac 2

a b c b c c a a b c a c a a b a b b c b c

       

                         

 

2 2 2

a b c a c a b b c 2

b c a a b c

b c c a a b c a a b b c

a b c

a b c b c c a a b

          

                 

     

  

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y}^;



^{thỏa mãn}^x³ ^ ^y³ ^^x² ^{ }^x ¹

3 3 2 1 3 3 2 1

x  y  x   x y   x x  x

Trong khoảng

 

0;1 không có số nguyên nào nên ^x² ^{ }^{x x x}



^{ }¹



⁰^{với mọi}

 

\ 0;1

x_ℤ x²  x 0,với mọi x_ℤ. Do đó

 

^^x ³ ^{  }^x³ ^x² ^{ }^x ¹

Và ^{ }^x³ ^x² ^{    }^x ¹ ^x³ ^x² ^{  }^x ^{1 2}



^x² ^^x



 

³

 

³

 

³

3 2 1 1 3 2 1 1

x x x x x x x x x

                  Từ đó

 

^^x ³^ ^y³^{  }



^x ¹



³

Nếu



^{x y}^,



là nghiệm nguyên của phương trình đã cho thì :

 

 

³

       

3 1

; 1; 0 ; 0; 1

0;1

y x

x y x y x y

x

   

      

 



Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn đề bài



^{x y}^;

 

^



^x^^1;^y^^{0 ;}

 

^x^^0;^y^¹

 

(5)

1) Chứng minh 1

. .sin ,

ABC 2

S  AB AC A trong đó S_ABClà diện tích tam giác ABC

Kẻ đường cao BKcủa 1

2 .

ABC SABC BK AC

  

Trong tam giác vuông BKA, sin BK .sin

A BK AB A

 AB   1 . .sin

ABC 2

S AB AC A

 

2) Chứng minh

2 2 2

2

2 4

AB AC BC

AM 

 

Kẻ đường cao AHcủa tam giác ABC

       

2 2 2 2 2 2

2 2 . 2 1

2

AM AH HM AB BH HM

AB HM MB HM HB AB MB HM HB AB BC HM HB

    

         

       

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

AM AH HM AC CH HM

AC HM CH CH HM AC MC CH HM AC BC CH HM

    

         

Lấy (1) +(2) ta được :

K

H D M A

B

C

(6)

   

 

2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 .

2 2

2 .

2 2

2 4

BC BC

AM AB HM HB AC CH HM

BC BC

AM AB AC HM HB CH HM AB AC

AB AC BC AM

     

        

   

3) Chứng minh rằng 1₂ 1₂ 3 ₂ 2 AB  AC  AD Sử dụng kết quả câu 1, ta có :

1 1

. .sin 30 .

2 4

1 1

. .sin30 .

2 4

1 3

. .sin 60 .

2 4

ABD

ACD

ABC

S AB AD AB AD

S AC AD AC AD

S AB AC AB AD

  

Mà 1 1 3

. . .

4 4 4

ABD ACD ABC

S S S  AB AD AC AD AB AC

 

¹ ¹ ¹₂ ¹ ₂

. 3 . 2.

AD AB AC AB AC

AB AC AB AC

 

        

 

Từ đó : ³ 2. ¹₂ ¹ ₂ ¹ ₂ ¹ ₂ ³ ₂

2

AD AB AC AB AC AD

 

     

 

Dấu bằng xảy ra khi AB AC Câu 5.

1) Ta có : â² ^^b² ^^c² ^²âbc^{ }¹ â² ^^b² ^^c² ^²âbc^{ }^{1 0 *}

 

Do đó 3 3

2 2

a b c      a b c

Nên ^a²^^b² ^^c² ^²^abc^{ }¹



^{a b}^



² ^²^{ab c}^ ² ^²^abc^¹

 

2

2 2

3 5

2 2 1 2 1 2 3

2 c ab c abc ab c c c 4

 

           

 

(7)

Do vai trò của a b c, , như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử c b a  .

Mà 3 1

2 2

a b c    c . Xét hàm số bậc nhất biến tlà :

 

²



¹



² ² ³ ⁵₄^,

f t  t c  c  c với t ab và

 

2

2 3

0 2

4 4

a b c t ab

  

 

  

   

Ta có

 

⁰ ² ² ³ ⁵ ² ² ³ ⁹ ¹ ² ³ ² ¹ ⁰

4 2 16 8 4 8

f  c  c  c  c   c   

    (với mọi )c

   

2 2 2

2

3 3 1

5 1

2 2. 2 . 1 2 3 2 0

4 4 4 2

c c c c

f c c c

          

      

     

        

 

 

với mọi c

Từ đó ta có ^{f t}

 

^⁰^{với mọi}

3 2

0 2 ,

4 c t

  

 

 

  tức là bất đẳng thức (*) đúng.

Đằng thức xảy ra khi

 

2

3 2 1

4 2

1 . 1

2 0

4 a b

c

ab a b c

c c

 

  

   

      



   

 

 

 



2) Giả sử các số trên bảng đang là a a₁, ,...,₂ a_k. Ta cho tương ứng bảng này với tích



2a11 2



a2 1 ... 2

 

a_k 1



Sau mỗi lần biến đổi, tích trên bị mất đi hai thừa số



²^a^^{1 2}



^b^¹



nhưng lại được thêm vào thừa số ²



^{a b}^{ }²^ab



^{  }¹



²^a^^{1 2}



^b^¹



Do đó, tích trên có giá trị tuyệt đối không thay đổi, chỉ đổi dấu Vì tích ban đầu bằng 0 (do có chứa thừa số 1010

2. 1

2020

  

 

 nên số cuối cùng scũng phải có tích bằng 0 nghĩa là tích cuối cùng bằng 1

2 1 0

s   s 2