Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Quận Tân Phú 2020-2021

(1)

ĐÊ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 9 NĂM HỌC 2021-2022. MÔN TOÁN

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. (3 điểm) Cho a. b là các số thực dương thỏa mãn:

2019 2019 2020 2020 2021 2021

a b a b a b

Tính giá trị của biểu thức ^P^²⁰²²^



^a^{ }^b ^ab



²⁰²²

Câu 2. (2 điểm) Giải các phương trình sau :

   

2 2

2

) 7 12 3 6

) 2 4 2 5 3

a x x x x x

b x x x x

     

      Câu 3. (3 điểm)

a) Cho xlà số thực dương, chứng minh rằng ₂1 3 5

3 1 8 x 8

x

  

 b) Cho a b c, , 0và a  b c 3. Chứng minh rằng :

2 2 2

674 674 674 1011

3a 1 3 b 1 3 c 1 2

  

Câu 4. (4 điểm) Cho tam giác ABCnhọn. Đường tròn nội tiếp tâm I của tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với BC CA, tại D E, .Gọi K là điểm đối xứng của Dqua trung điểm M của BC. Dựng đường kính DFcủa đường tròn

 

^I

a) Chứng minh 2BDBABCACvà A F K; ; thẳng hàng

b) Đường thẳng vuông góc với BCtại K cắt tia DE tại Q. Gọi Nlà trung điểm của .

QK Chứng minh BN vuông góc với AK

Câu 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC AB, AC.Trên cạnh ABlấy hai điểm D E, sao cho ADBEvà Dnằm giữa Avà E. Đường thẳng qua E,song song với ACcắt các đường thẳng BC CD, thứ tự tại M N, .Chứng minh rằng

ME CD 2

MN CN

 

  

 

Câu 6. (3 điểm) Tìm các cặp số nguyên



^{x y}^,



^{thỏa mãn}^x⁴ ^^x² ^ ^y²^{ }^y ^{10 0}^

(2)

ĐÁP ÁN

Câu 1.Tính giá trị của biểu thức ^P^²⁰²²^



^a^{ }^b ^ab



²⁰²²

   

     

2019 2019 2020 2020 2021 2021

2019 2019 2020 2020 2019 2020 2020 2019

2020 2020 2021 2021 2020 2021 2021 2020

2019 2019

2020 2020

1 1

1 1 *

a b a b a b

a b a b a a b b

a a b b

    

       

 

 

     

 

 

   

 

  



Th1: Nếu a  1 b 1

Th2: Nếu

 

²⁰¹⁹



¹



²⁰¹⁹



¹



1 * 1 1 1 1 1

a a b b

a b

a a b

a b a b

     

          

Vậy ^a^{   }^b ¹ ^P ²⁰²²^



^a^{ }^b ^ab



²⁰²² ^²⁰²¹

Câu 2.Giải các phương trình

   

        

    

2 2

2

) 7 12 3 6

3 4 3 2 : 2

3 4 3 2 0 1

a x x x x x

x x x x DK x

x x x x

     

       

      

+Nếu x3

       

 

₂ ₂

1 3 4 2 0 3

2 4 2

4 0 4

2 7

2 8 16 9 14 0

x x x x

x x

x x x x x x

 

       

  



  

 

   

      

 

+Nếu 2  x 3

(3)

       

 

₂ ₂

1 3 4 2 0 3

2 4 3

4 0 4

3 2

2 8 16 9 14 0

x

x x x

x x

x x x x x x

 

       

  



  

 

   

      

 

Vậy ^S ^



^2;3;7



) 2 4 2 2 5 3

b x   x x  x Điều kiện : 2 0

2 4

4 0

x x

x

  

  

  

 . Ta có :

  

2

2 4 2 5 3

2 1 1 4 2 5 3

3 3

3 2 1

2 1 1 4

3 0 3( )

1 1

2 1 0( )

2 1 1 4

x x x x

x x

x x tm

x VN

x x

     

        

 

    

   

   



    

    



Vậy ^S ^

 

³

Câu 3.

a) Xét hiệu :

       

3 2 2

2 2 2

3 1 3 1

1 3 5 9 15 3 3

3 1 8 8 8 3 1 8 3 1 0

x x

x x x

x x x x

 

   

 

    

     (với mọi x0)

2

1 3 5

3 1 8 x 8

x

   

 . Dấu " " xảy ra khi x1 b) Áp dụng kết quả câu a ta được :

2 2

1 3 5 674 1011 1685

3 1 8 a 8 3 1 4 a 4

a a

 

    

 

(4)

Tương tự thì : 674₂ 1011 1685 674₂ 1011 1685

3 1 4 b 4 ;3 1 4 c 4

b c

 

   

 

Cộng tương ứng :

 

2 2 2

674 674 674 1011 5055 1011 5055 1011

3 1 3 1 3 1 4 a b c 4 4 .3 4 2

a b c

 

        

  

Dấu " " xảy ra khi a  b c 1 Câu 4.

a) Chứng minh 2BDBABCACvà A F K, , thẳng hàng Gọi T là tiếp điểm của ABvới

 

^I

Ta có : BT BD AT,  AE CD, CE

Mà ^BA^^BC^^AC ^^BT ^^TA^^BD^^DC^



^AE^^EC



2 ( )

BD AE BD CE AE EC BD dfcm

      

Gọi P O, lần lượt là giao điểm của CIvới FK AB, Gọi độ dài các cạnh BC AC AB, , tương ứng là a b c, ,

2

CK BD a c b CK a c b BC CK BK a b c

BC BC a CM a CK CK a c b

      

       

 

P O

F

M K D

T E

I A

B C

(5)

AO b AO b bc BO  a AB b a  AOb a

 

CI AC b a CI a b

IO AO c CO a b c

 

   

  Áp dụng định lý Talet

  

       

 

. .

CP CK a c b CP CP CI a b a c b

CI CM a CO CI CO a b c a

a b a c b a b a c b PC

PO a a b c a b a c b b a b c

    

     

 

     

  

       

Xét tam giác CBOcó :

  

 

. . . a b a c b . 1

BK PC AO a b c b

CK PO AB a c b b a b c b a

  

   

    

Theo định lý Mê-lê-na-uyt A P K, , hay A F K, , thẳng hàng

b) Đường thẳng vuông góc với BCtại K cắt tia DEtại Q. Gọi Nlà trung điểm của QK.Chứng minh BN vuôn góc với AK

CIlà trung trực của DE.



⁹⁰



^{( . )}

CID QDK ICD CID QDK g g

          ∽ 2

2

CD ID CD ID CD ID FD

QK GK NK DK NK DK DK

      

Mà BK FD

CD BK

NK DK

  

( . . )

BKN FDK c g c NBK KFD

  ∽    

Suy ra BN vuông góc với AK

Câu 5.

(6)

Ta có : / / ME BE ME AC

AC BA

 

DEN có / / AC AD AC EN

EN DE

 

 

2

2 2

. .

.

. . 2

ME ME AC BE AD AD EN AC EN BA DE AB DE

ME AD AD

ME EN AD AB DE AD DE DE AD

ME AD AD AD CD

MN AD DE AE AE CN

   

  

   

   

      

   

 Câu 6.

Với ,x ylà các số nguyên

2 2

4 2 2 2 1 1

10 0 10

2 2

x  x  y  y  x   y    

    ^



^x²^ ^y



^x² ^{   }^y ¹



¹⁰

M

N

A

C B

D

E

(7)

Vì



^x² ^ ^y

 

^ ^x² ^{  }^y ¹



²^x² ^{ }^{1 1}^nên

2

2 2

2

2 2

2 2 2 2

5 1 1

1 2 4

2 1 1

1 5 3

10 4 2

1 1 6

4 2

1 1 10 5

x y x x

x y y

x y x x

x y y

x y x x

x y y

x x

x y x y y

       

      

 

        

 

      

  

       

      

 

        

 

      

 Vậy tập hợp các cặp số nguyên



^{x y}^;



^{là :}

               



1;4 ; 1;4 ; 1; 3 ; 1; 3 ; 2;6 ; 2;6 ; 2; 5 ; 2; 5       

