Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Quận Ba Đình 2020-2021

PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2019-2020. MÔN TOÁN 9 Câu 1.

a) Cho 1

2 3 1.

a 

 Tìm giá trị của a³6a6 b) Cho

2020 9 2020 9

99...99.99...99

cs cs

A . Hỏi A có bao nhiêu chữ số Câu 2.

a) Giải phương trình 2x²   x 1 2x 1 x 2x1

b) Tìm cặp số nguyên



^{x y;}



^{thỏa mãn x x}



^{2 6x12}



^{ y327}

Câu 3.

a) Cho a b c, , là ba số tự nhiên liên tiếp. CMR: a³b³c³chia hết cho 3

b) Cho biểu thức A 1³ 2³3³ .... 2019 ³ 2020 .³Tìm số dư khi chia Acho 3 Câu 4.

Cho hình vuông ABCDtâm O, trên cạnh AB BC, lấy M, N tương ứng sao cho BM CN

a) Chứng minh MON vuông cân

b) ANcắt DCtại E ON, cắt BEtại F. Tìm vị trí M N, để các tứ giác ABEC MBFN, là hình bình hành

c) Chứng minh CF BE

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác OMBN Câu 5.

Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a b 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

2 2

6 3

A a b ab

a b

   



ĐÁP ÁN Câu 1.

  

  

³



3

1 2 3

) 1 1 1 3

2 3 2 3 2 3

6 6 1 3 6 1 3 6

6 3 10 6 6 3 6 10 a a

a a

      

  

      

     

2020 2020

2020 9 2020 9 2020 9 2020 9 2020 9

10 10

2020 9 2020 9 2020 9

2020 20

) 99...99.99...99 10...000 1 .99...99 10...000.99...99 99...99 99...99.00...00 99...99 99...99800...00

cs cs cs cs cs

cs cs cs

cs

b A  

     

 

  

19

1

cs

Vậy Acó 2019 2019 1 1 4020    chữ số Câu 2.

a) Giải phương trình 2x²   x 1 2x 1 x 2x1 1

: 2

DK x 

 

 

 

   

  

2 1 1 2 1 2 1

2 1 2 1 1 2 1 1 0

2 1 1 2 1 1 0

x x x x x

x x x x

x x x

      

 

 

         

     

Th1: x 2x  1 1 0. Đặt ^{2 1 2 1}



⁰



2 t x x t  t

    

Phương trình đã cho có dạng :

 

       

2

2 3

3 2

2

. 1 1 1 2 2 0

2

1 1 0 1 2 0 1

2 0( )

t t t t t t

t t t t t t

t t VN

        

 

           

  

 Vậy t  1 2x   1 1 x 1

Th2: 2x   1 1 x 1( )tm

Vậy x1là nghiệm của phương trình

b) Tìm cặp số nguyên



^{x y,}



^{thỏa mãn x x}



^{2 6x12}



^{ y3 27}

 

 

     

2 3 3 2 3

3 2 3 3 3

2 2

6 12 27 6 12 27

6 12 8 19 2 19

2 2 2 . 19

x x x y x x x y

x x x y x y

x y x x y y

        

         

 

        

Ta có :



²

 

^{2 2}



²



²



^{2 2.}



^{2 .}



^{2 3 2 2 2 3 2 0}

4 4 2 4

y y y y

x  x y y  x  x  x    

 

Do ,x ylà số nguyên nên x 2 yvà



^x2

 

^{2  x2}



^{y y2}là ước của 19 Th1:

  

²



²

  

²



²

2

2 1 3

2 2 19 3 2 3 2 19

5 2 3

6 0 0

3

x y x y

x x y y y y y y

x y x y

y y x

y

    

 

 

 

           

 

 

 

 

   

      

  



  

²



²

  

²



²

2 :

2 19 2 19

2 2 11 19 19 1

Th

x y x y

x x y y y y y y

     

 

 

 

         

 

 

(không có giá trị y nguyên)

Câu 3.

a) Vì a b c, , là 3 số tự nhiên liên tiếp   b a 1;c  a 2

   

 

3 3

3 3 3 3

3 3 2 3 2

3 2 3 2

1 2

3 3 1 6 12 8

3 9 15 9 3 3 5 1

a b c a a a

a a a a a a a

a a a a a a

       

        

       

Vậy a³ b³ c³chia hết cho 3 b) Theo phần a,



²³ ³³⁴³

 

⋮^{3; 53} ⁶³⁷³



⋮3;...; 2018



³ 2019³2020³



⋮3

Nên Achia cho 3 dư 1. Ta có :

     

   

 

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

1 2 3 ... 2019 2020

1 2 2020 3 2019 .... 1010 1012

1 2022 2 2.2020 2020 2022. 2 3.2019 2019 ... 2022 1010 1010.1012 1012

1 2022 2 2.2020 2020 2 3.2019 2019 .... 1010 1010.1012 A     

       

      

   

 



        ¹⁰¹²²



Do 2022 chia hết cho 3 nên Achia cho 3 dư 1.

Câu 4.

a) Chứng minh MON vuông cân

Ta có ABCDlà hình vuôngOBOC;OBM  OCN 45 , BOC 90

( . . ) ,

OBM OCN c g c OM ON MOB NOC

        

Ta có : MON  MOB BON  NOC  BON  BOC90 Suy ra MON vuông cân tại O

H

F

E

O N

M

C A B

D

b) ANcắt DCtại E ON, cắt BEtại F. Tìm vị trí M N, để các tứ giác ABEC MBFN, là hình bình hành

*Tứ giác ABEClà hình bình hành  NBNC NA, NE +)Khi NB NC ABN  CNE g c g( . . )NA NE

+)Khi NB NCONlà đường trung bình của BCDON / /CD/ /ABmà OM ON



^MONvuông tại O)OM  ABM là trung điểm của AB

Vậy khi M N, lần lượt là trung điểm của AB AC, thì tứ giác ABEClà hình bình hành

*Tứ giác MBFNlà hình bình hành NF / /MB NF, MB +)Khi NF / /MB/ /CDmà OBODN là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB(chứng minh trên)

+)Khi Nlà trung điểm của BC,mà ON / /DEhay OF / /DE

Flà trung điểm của 1

BEON  NF 2CE

 

Mặt khác, khi M N, lần lượt là trung điểm của AB BC, thì OMBNlà hình vuông

 

NF MB ON

  

Vậy khi M N, lần lượt là trung điểm của AB BC, thì tứ giác MBFNlà hình bình hành c) Chứng minh CF  BE

+)Xét ANBcó / / NC NE CE AB

NB NA

  (định lý Ta-let)

Mà , MB NE / /

NC BM NB AM MN BF

MA NA

     (định lý Ta-let đảo)

BFN MNO

    (hai góc đồng vị)^{ BFN  MNO45 }



^MONvuông cân tại O +)Xét NCOvà NFBcó: ^{NCO NFB}



^{45 ; }



^{ONC  BNF}(đối đỉnh)

( . ) NC NO ( . . )

NCO NFB g g NFC NBO c g c NF NB

  ∽     ∽

NFC NBO

    , mà NBO45  NFC 45

+)Ta có : BFC BFN  NFC 45 45 90 CF BE d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác OMBN

Ta có :chu vi tứ giác OMBN bằng C_OMBN OM ON  BM  BN

Mà ON OM BN, MAC_OMBN 2OM  AB2OH  AB AB AB2AB (không đổi). Dấu " " xảy ra M là trung điểm của AB

Vậy chu vi tứ giác OMBNnhỏ nhất bằng 2ABkhi M là trung điểm của AB.

Câu 5. Ta có :

   

 

3 3 3

2 2 2

6 6

3 3 3

A a b ab a b ab a b 2 ab

a b a b ab

         

  

Thay 6

2 8 3

a b A 4 2 ab

     ab 



   

²

3 1

8 3 3 8 *

2 2

A ab ab

ab ab

      

 

Do a b, dương, áp dụng BĐT Cô si ta có : a b 2 ab ab1 Nên A8khi 1

2 1

ab a b

a b

 

  

  



Vậy Min A   8 a b 1