Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Trà Vinh 2020-2021

SỞ GD VÀ ĐT TỈNH TRÀ VINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2020 – 2021 . MÔN TOÁN 9

Câu 1. (4 điểm)

Cho biểu thức ^{2 3 3} : 1 ^{2 2}

3 3 9 3

x x x x

M x x x x

     

           

1) Rút gọn M 2) Tìm xđể 1

M  2 Câu 2. (2 điểm)

Cho a  b c 0.Tính giá trị của biểu thức ^{N a3 b3 c a}





Câu 3. (3 điểm) Giải hệ phương trình 4 5

2 2 1 7

x y

x y x y

 

     



Câu 4. (3 điểm) Giải phương trình







Câu 5. (2 điểm) Cho ba số dương , ,x y zthỏa mãn 1 1 1 1 x 1 y 1 z 2.

   ^{Tìm giá}

trị lớn nhất của biểu thức Pxyz

Câu 6. (4 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Gọi I K, theo thứ tự là hình chiếu của Htrên AB AC, .Đặt ABc AC, b

1) Tính AH AI AK, , theo b c, 2) Chứng minh

3 3

BI c CK b

Câu 7. (2 điểm) Từ một điểm Aở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến ,

AB ACvới B C, là các tiếp điểm. Trên đoạn OBlấy điểm N sao cho BN 2ON. Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Tính tỉ số AM

AO

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) Điều kiện x0,x9

   

2 3 3 3 3 3 2 2

9 9 9 : 3 3

2 6 3 3 3 1

9 : 3

3 3 3 3

9 . 1 3

x x x x x x x

M x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x x x

        

 

     

        

 

 

      

  

   

  

  

   

2) Để 1

M  2thì 3 1 3 1

2 2 0

3 3

x   x  

 

     

6 3

0 3 0 2 3 0 9

2 3

x x do x x

x

 

        



Vậy x9thì 1 M  2 Câu 2.

Vì a      b c 0 c a b. Ta có :

 

   

 

3 3 2 2

3 3 2 2

3 3 3 2 2 3

.0 0 N a b c a b abc

a b a b a b abc a b a ab a b b abc

ab a b c ab

    

      

      

      

Câu 3.Giải hệ phương trình :

 

 

4 5 1

2 2 1 7 2

x y

x y x y

  



    



Từ (1): x4y5, thế vào (2):

2 4y 5 2y  4y   5 y 1 72 2y 5 3y 4 7

Với ^{5 2 2}





y   2 y  y       y x

Với ^{5 4 2 2}





2 y 3 y y y x

            

Với ^{4 2 2}





y   3 y  y      y x Vậy



 



   

 

Câu 4.Giải phương trình :







Điều kiện : x² 5x 2 0

 

2 5 4 3 2 5 2 6 1

x  x  x  x 

Đặt ^{x2 5x 2 t t}





2 2

2

2 3 6 0 3 4 0 4( )

1( )

4 5 2 16 2

7

t tm

t t t t

t ktm

t x x x

x

 

           

 

        

Vậy nghiệm của phương trình là x2hoặc x 7 Câu 5.

Ta có : 1 1 1 1 1 1

2 1 1

1 x 1 y 1 z  1 x  1 y  1 z

     

  

1 1 2 1 1

y z yz

y z y z

  

    (bất đẳng thức Cô si cho , ,x y zlà số dương)

  

1 2

1 1 1

yz

x y z

 

  

Tương tự :

     

1 1

2 ; 2

1 1 1 1 1 1

xz yz

y  x z z  y x

     

Nhân vế với vế ta được :

   

1 1 1 8 1

. . 1 8

1 1 1 1 1 1 8

xyz xyz xyz

x y z  x y z    

     

Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là 1 1 8   x y z 2

Câu 6.

1) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH:

2 2 2

2 2

1 1 1 1

1 1

AH AB AC AH

b c

   



Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHBvuông tại H, đường cao HI:

2

2 2 2

1 1

. .

1 1 1

AI AB AH AI c AI

c

b c b c

    

 

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHCvuông tại H, đường cao HK:

2

2 2 2

1 1

. .

1 1

AK AC AH AK b AK

c b

b c b c

    

 

2) Xét tam giác BACcó / / BI IH BI AB c HI AC

AB AC IH AC b

    

Xét tam giác BACcó / / CK HK HK AB c HK AB

AC AB CK AC b

    

b'

c'

K

I H

A C

B

Xét HIK và ABCcó : IHK  BAC90 ; HIK  ABC HAK

( . ) HI AB c

HIK ABC g g

HK AC b

  ∽   

Do đó :

3

3 . . . .

c c c c BI HK HI BI b  b b b IH CK HK CK Vậy

3 3

BI c CK  b Câu 7.

Gọi Klà trung điểm BN.Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CN MN MC

 

Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC(Do AB AC, là hai tiếp tuyến tại ,

A Bcủa (O) cắt nhau tại A)MB MC

Xét tam giác MBNcó ^MBMN





MKvừa là trung tuyến vừa là đường cao của MBN MK OB

Mà 1

/ / 3

AM BK AB OB AB MK

OA OB

    

Vậy 1

3 AM

AO 

K

M N

C B

O A