Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Quận Hai Bà Trưng 2020-2021

(1)

UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA HỌC CẤP QUẬN

MÔN TOÁN 9 Năm học 2020 – 2021

Câu 1. (5 điểm)

1) Cho a b c, , là các số thực khác 0thỏa mãn a³b³c³ 3abc Tìm giá trị biểu thức a b b c c a

P c a b

  

  

2) Giải phương trình : x² 4x x  2 4 0 Câu 2. (5 điểm)

1) Cho đa thức ^{P x}

 

với hệ số thực thỏa mãn ^P

 

¹ ^²^và^P

 

^{ }¹ ^4.^{Tìm đa}

thức dư trong phép chia đa thức ^{P x}

 

cho đa thức x² 1

2) Tìm các cặp số nguyên



^{x y}^;



^{thỏa mãn}^x² ^²^y² ^²^xy^²^x^⁶^y^{ }^{1 0}

3) Cho a b c, , là các số nguyên dương phân biệt và plà số nguyên tố lẻ sao cho

1; 1; 1

ab bc ca đều chia hết cho .p Chứng mnh rằng 2

3 a b c

p  

 

Câu 3. (3 điểm)

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 4xvới 2 x 4

2) Với các số thực a b c, , thỏa mãn a  b c 3và a² b² c² 9.Chứng minh rằng 1  a 3

Câu 4. (6 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại Acó ABACvà đường cao AH.Gọi E F, là chân các đường vuông góc hạ từ H lên AC AB, .Gọi Ilà giao điểm của AHvà

,

EF BIcắt ACtại điểm .P Đường thẳng qua Asong song với BIcắt BCtại Q 1) Chứng minh Blà trung điểm QH

2) CIcắt ABtại .L Chứng minh

2 2

AP BA

PC  BC và AP AL 1 PC  LB 

3) Gọi M là giao điểm của FEvà CB.Kẻ HT vuông góc với AM.Chứng minh rằng BTC90

Câu 5. (1 điểm) Cho lục giác đều ABCDEF có diện tích 2022cm²và 7 điểm nằm trong lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng tồn tại tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 7 điểm đã cho có diện tích không lớn hơn 337cm²

(2)

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) Cho a b c, , là các số thực khác 0thỏa mãn a³ b³ c³ 3abc Tìm giá trị biểu thức P ^a ^b ^b ^c ^c ^a

c a b

  

  

Ta có a³ b³ c³ 3abc

Suy ra ¹

    

²

 

²



² ⁰ ⁰

2

a b c

a b c a b b c c a

a b c

  

  

            

1: 0 ; ; 3

2 : 6

Th a b c a b c b c a c b a P Th a b c P

               

   

2) Giải phương trình : x² 4x x  2 4 0 Điều kiện xác định :x2

Biến đổi phương trình về dạng



^x^²



²^ ^x^{ }^{2 0}

Vì



^x^²



² ^⁰^và ^x^{ }^{2 0}^{với mọi}^x^²^{nên :}



²



² ⁰

2 0 2

x x

x

  

  

  



Vậy nghiệm của phương trình x2 Câu 2.

1) Cho đa thức ^{P x}

 

với hệ số thực thỏa mãn ^P

 

¹ ^²_và^P

 

^{ }¹ ^4._{Tìm đa}

thức dư trong phép chia đa thức ^{P x}

 

cho đa thức x² 1 Đặt ^{P x}

  

^ ^x^¹



^x^¹

  

^{q x} ^^ax^^b^{. Ta có :}

 

¹ ² ^;

 

¹ ⁴ ^1; ³

P   a b P        a b a b Vậy đa thức dư là  x 3

2) Tìm các cặp số nguyên



^{x y}^;



^{thỏa mãn}^x² ^²^y² ^²^xy^²^x^⁶^y^{ }^{1 0}

Biến đổi phương trình về dạng



^x^{ }^y ¹

 

² ^ ^y^²



² ^{ }^{4 0}² ^²²

1 0 3 1 0 1

1: 2 :

2 2 4 2 2 0

1 2 3 1 2 1

3: 4 :

2 0 2 2 0 2

x y x x y x

Th Th

y y y y

x y x x y x

Th Th

y y y y

        

   

 

   

      

   

         

   

 

         

   

Vậy



x y^;

 

 



1;0 ; 1;2 ; 3;2 ; 3;4

 



     

(3)

3) Cho a b c, , là các số nguyên dương phân biệt và plà số nguyên tố lẻ sao cho ab1;bc1;ca1đều chia hết cho p.Chứng mnh rằng

2 3

a b c

p  

 

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng a b c

Thấy rằng ab1;bc1;ca1đều chia hết cho p suy ra a b c, , đều không chia hết cho p

Từ giả thiết bc1;ac1đều chia hết cho p ta suy ra



^bc^{ }¹

 

^ac^¹



^⋮^p^^{c b}



^^{a p}



^⋮ mà c không chia hết cho p b a p⋮ Tương tự ta cũng có : cb p⋮ , suy ra b a pvà c b  p

Ta có : ^b^



^b^^a



^{  }^a ^p ^a^và^c^{ }^b



^c^^b



^{    }^p ^a ^p ^a ²^p

Nếu a   1 b 1 ab1 ,⋮p b  1 b a p⋮ dẫn đến 2⋮pmà p là số nguyên tố lẻ nên trái với giả thiết. Vậy a2. Sử dụng các dữ kiện :

2, , 2 2 2

3 3

a b c a a p a p

a b a p c a p       p a p

          

Câu 3.

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 4

P x  xvới 2 x 4 Tìm GTNN của P:

Vì ^P^{ }⁰ ^P² ^{ }^{2 2}



^x^^{2 4}



^^x



^²^{, do đó}^P^ ²^vì^P^⁰

Vậy 2 0 2

2 4 0 4

x x

Min P

x x

  

 

       Tìm GTLN của P

Vì P0,ta xét ^P² ^{ }^{2 2}



^x^^{2 4}



^ ^x



Áp dụng BĐT AM-GM ta có : ²



^x^^{2 4}



^ ^x



^{    }^x ^{2 4} ^x ²

Do đó P² 4, dấu " " xảy ra khi x    2 4 x x 3

(4)

Vậy P_max   2 x 3

2) Với các số thực a b c, , thỏa mãn a  b c 3và a²b² c² 9.Chứng minh rằng   1 a 3

Từ giả thiết ta có : ₂ ₂3 ₂ 9

b c a

  



  



Sử dụng bất đẳng thức ²



^b²^^c²



^



^b^^c



²ta suy ra :



²

  2 2   

2 9a  3a a 2a  3 0 a1 a3 0

Vì 1 0

1 3 1 3

3 0

a a a a

a

  

       

  

Từ giả thiết a² b² c²  9 a²  9 b² c² 9 Do đó 3  a 3

Câu 4.

1) Chứng minh Blà trung điểm QH

O L

Q

P

I E

F

H A

B C

(5)

Do AQ/ /BPtheo định lý Talet ta có : BH IA

BQ  IH mà Ilà trung điểm AHnên IAIH , dẫn đến BH 1

BQ  hay Blà trung điểm QH 2) CIcắt ABtại L.Chứng minh

2 2

AP BA

PC  BC và AP AL 1 PC  LB  Ta có AP QB BH BH BC. ₂

PC  BC  BC  BC , sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABCta có BH BC. BA², từ đó suy ra

2 2

AP QB BH BA PC  BC  BC  BC Chứng minh tương tự ta có :

2 2

AL AC LB  BC Suy ra

2 2 2 2

2 2 2 1

AP AL AB AC AB AC

PC LB BC BC BC

     

3) Gọi M là giao điểm của FEvà CB.Kẻ HTvuông góc với AM.Chứng minh rằng BTC90

Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông AHB AHC, với ,

HE  AC HF  ABta có AF AB.  AH²  AE AC.  AEF∽ABC, dẫn đến .

AEF ABC

   Gọi O là trung điểm của BCOAOBOCnên tam giác AOCcân tại O, suy ra OAC  OCA.Từ đó suy ra :

90

AEF OAC B C

        nên OAEFnên Ilà trực tâm AOM dẫn đến OI  AM hay ^OI ^ ^AT

 

^*

Tam giác ATHvuông tại T,có AI TI HIhay ^IA^^IT

 

^**

Từ (*) và (**) suy ra OTlà trung trực của ATdẫn đến OT OAOBOCnên tam giác BTCvuông tại T

Câu 5.Bổ đề: Lấy 3 điểm trong một hình bình hành, khi đó tam giác tạo bởi 3 điểm đó có diện tích bé hơn hoặc bằng nửa diện tích hình bình hành

Áp dụng: Gọi Olà tâm của lục giác đều, khi đó lục giác chia thành 3 hình bình hành là ABCO CDEO EFAO, , .Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại một hình bình

(6)

hành chứa ít nhất 3 điểm và theo bổ đề 3 điểm này tạo thành tam giác có diện tích nhỏ hơn nửa diện tích hình bình hành, hay diện tích không lớn hơn 337cm²