Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Yên Thế 2020-2021

(1)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN THẾ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 02 trang

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI TOÁN 9 Ngày thi 30/10/2020

I.PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6,0 điểm) Hãy lựa chọn các phương án em cho là đúng

Câu 1.Cho A   1! 2! 3! ...n n!



ℕ*



. Tìm n để A là số chính phương

. 4 . 3 . 2 . 5

A n B n C n D n

Câu 2.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai điểm ^A



^{3; 3 ,}^

 

^B ^^3;3



. Đường trung trực của đoạn thẳng ABcó phương trình là :

. . . .

2 2

x x

A y   B y  C y  x D y x Câu 3.Trên mặt phẳng tọa độ Oxycho ba đường thẳng

 

1

2 2

: ;

3 3

d y x

 

2

1 1

: 3 2

d y  x

  ;

  

d3 : 2m3



x3my0. Tìm mđể ba đường thẳng đã cho đồng quy ?

1 1 3 2

. . . .

4 4 2 3

A B  C D 

Câu 4.Cho tam giác ABCcân tại A có  A 30 , AB6 .cmĐộ dài cạnh BCbằng

.6 3 3 .6 .6 2 3 .72 36 3

A  B C  D 

Câu 5.Điều kiện của xthỏa mãn 2x 1 x1là : .

AKhông tồn tại x .B x 2 C x. 1 D x.  1

Câu 6.Dư của phép chia đa thức ^{P x}

 

^ ^x⁹⁹ ^ ^x⁵⁵ ^ ^x¹¹^{ }^x ⁵^cho^x² ^¹^{là :}

.5 .2 5 .4 5 .5 5

A B x C x D x

Câu 7.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy,hệ số góc tạo bởi đường thẳng có phương trình 6

y  xbằng :

.70 .30 .45 .135

A  B  C  D 

Câu 8.Cho đường tròn



^{O cm}^;5



^{, dây}^AB^^{8 .}^cm Khoảng cách từ tâm O đến dây ABbằng :

.3 .6 .4 .5

A B C D

Câu 9.Cho tam giác ABCvuông tại A. Kẻ AH BC HD,  AB HE,  AC



H BC D AB E AC ^,  ^, 



^.Đẳng thức nào sau đây đúng ?

2 2

. . . .

. . . 2 . .

A AD AB AE AC B BD BA CE CA C AD DB AE EC AH D BD BA AH

 

  

(2)

Câu 10. Cho ³^{10 6 3}



^{3 1}



6 2 5 5

x  

   . Giá trị của biểu thức



^x³ ^⁴^x^²⁰²¹



²⁰²⁰

bằng :

2020 2020

.2021 . 2021 .2020 .2021

A B  C D

Câu 11. Tổng các hệ số của đa thức trong khai triển



^x² ^²^{xy y}^ ²



⁷^{bằng :}

.1 .0 .4 . 2

A B C D 

Câu 12.Cho tam giác nhọn ABCcó BAC 30 , kẻ hai đường cao BD CE,



^{D AC E AB}^ ^, ^



^.^GọiS S, 'lần lượt là diện tích ABC ADE, . Tỉ số S'

S bằng :

3 1 1 3

. . . .

4 4 2 2

A B C D

Câu 13.Giá trị của biểu thức M  3 2 2  3 2 2 bằng :

.2 3 . 2 3 . 2 .2

A B  C  D

Câu 14.Cho tam giác nhọn ABCcó ABC  ACB,kẻ đường cao AH,trung tuyến ^{AM M H BC}



^, ^



^.Đẳng thức nào sau đây đúng ?

cot cot cot cot

.tan .tan

2 2

tan tan cos cos

.tan .tan

2 2

C B B C

A HAM B HAM

C B C B

C HAM D HAM

 

   

 

   

Câu 15.Số dư của A3ⁿ^³2ⁿ^³3ⁿ^¹2ⁿ^²khi chia cho 6 là :

.0 .2 .1 .3

A B C D

Câu 16. ⁴ 3 x x



 có nghĩa khi :

.3 4 .3 4 .3 4 .3 4

A  x B  x C  x D  x Câu 17.Tổng các ước tự nhiên của số 100 là :

.217 .216 .218 .219

A B C D

Câu 18.Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxycho điểm M,biết rằng M thuộc đường thẳng y 2 xvà cách đều hai trục tọa độ Ox Oy, . Hoành độ của điểm M bằng :

.1 . 1 .2 . 2

A B  C D 

Câu 19.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,khoảng cách từ điểm ^M



^2021;2021



^đến

đường thẳng y x 2bằng :

.2 . 2 .4 .1

A B C D

(3)

Câu 20. Cho biểu thức P 2x 8x 4 2x 8x4 , khẳng định nào dưới đây đúng ?

. 2

A P  với mọi 1

x 2 B P.  2 2x1với mọi 1 2 x 1

. 2 2 1

C P  x với mọi x1 D P.  2với mọi xℝ II.Phần Tự Luận (14 điểm)

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức 2 1 1 2₂ 2

1

x x x x x

P x x x x x x x x

   

  

   

Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của xsao cho giá trị của Plà một số nguyên 2. Cho các số dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  1. Chứng minh rằng :

2 2 2 0

1 1 1

a b b c c a

c a b

  

  

  

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên ,x ythỏa mãn x² y²  xy x y  1 2. Giải phương trình : 2 2x 1 x 3 5x11 0

Câu 3. (2,0 điểm)

Hai vị trí A và B cách nhau 615m và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từ A, B đến bờ sông lần lượt là 118 ,487m m(tham khảo hình vẽ). Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét)

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD,có cạnh bằng a,biết hai đường chéo cắt nhau tại O.

Lấy điểm Ithuộc cạnh AB,điểm M thuộc cạnh BCsao cho ^^IOM ^⁹⁰^



^I^{và M}

không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi Nlà giao điểm của AM CD, và K là giao điểm của OM và BN

1) Chứng minh BIO CMOvà BKM  BCO 2) Chứng minh 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂

CD ^ AM ^ AN

A

B

(4)

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 2ab6bc2ac7abc.Chứng minh

rằng : 4 9 4

2 4 17

ab ac bc

C^ a b a^  c b c^  ^

ĐÁP ÁN I.Trắc nghiệm

1B 2D 3B 4C 5C 6C 7C 8A 9A 10A 11B 12A 13D 14A 15A 16C 17A 18A 19B 20B II.Tự luận

Câu 1.

1) Điều kiện x0;x1ta có :

       

    

  

2 1 2 2 1

1 1 . 1 1 1

2 1 1 2 2 1

1 1

1 2 2

1 1 1

x x x x x

P x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

   

  

       

      

   

  

 

 

  

Ta có với điều kiện x0,x  1 x x  1 x    1 1 P 0

2 2 1

1 2

1 1 1

x x

P x x x x

 

    

   

Do đó 0 P 2.Do P nguyên nên 2

1 1 1( )

1

P x x ktm

x x

     

  Vậy không có giá trị của x để Pnhận giá trị nguyên.

2) Ta có: ¹^^a² ^^{ab bc ca a}^ ^ ^ ² ^



^{a b a c}^



^



. Tương tự

  

2 2

1 1

b ab bc ca b b a b c c ab bc ca c c a c b

       

(5)

Suy ra :

  

2

1 1

1

a b a b

c c a c b c b c a

 

  

    

  

2

1 1

1

1 1

1

b c b c

a a b a c a c a b

c a c a

b b a b c b a b c

 

  

    

 

  

    

Vậy :

2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 0

a b b c c a

c a b c b c a a c a b b a b c

  

        

        

Câu 2.

1) Ta có ^x²^ ^y² ^^{xy x y}^{   }¹



^{x y}^

 

² ^ ^x^¹

 

² ^ ^y^¹



² ^⁴

Ta có bảng giá trị tương ứng :

2 2 0 0 0 0

1 0 0 2 2 0 0

1 0 0 0 0 2 2

x y x y

 

 

Vậy các số



^{x y}^;



cần tìm là

  

1;1 , 1;1 , 1; 1

 





2) Điều kiện : 1 x 2

2 2

2 2 2

2 2 1 3 5 11 0 2 2 1 3 5 11

9 1 4 2 5 3 5 11 2 5 3 3

3 3 1( )

12( )

2 5 3 9 6 11 12 0

x x x x x x

x x x x x x x

x x x tm

x ktm

x x x x x x

           

           

  

  

             Vậy ^S ^

 

¹

(6)

Câu 3.

Gọi C D, lần lượt là hình chiếu của A B, lên bờ sông. Đặt ^{CE x}^



⁰^{ }^x ⁴⁹²



Ta có : ^CD^ ⁶¹⁵² ^



^{487 118}^



² ^⁴⁹²

Quãng đường di chuyển của người đó bằng AE EH

 

²

2 1182 492 4872

x x

    

Ta có với mọi a b c d, , , thì ^a² ^^b² ^ ^c² ^^d² ^



^{a c}^

 

² ^ ^{b d}^

  

² ¹

Thật vậy,

 

¹ ^^a² ^^b² ^^c² ^^d² ^²



^a² ^^b²



^c² ^^d²



^



^{a c}^

 

² ^ ^{b d}^



²



^a² ^b²



^c² ^d²



^{ac bd}

 

²

    

Nếu ^{ac bd}^ ^{ }⁰

 

² luôn đúng. Nếu ac bd 0, bình phương 2 vế ta được :

 

2 trở thành



^{ad bc}^



² ^^0.Dấu đẳng thức xảy ra ad bc Áp dụng (1) thì :



⁴⁹²

 

² ^{487 118}



² ^{779,8( )}

AE EB  x x    m Dấu đẳng thức xảy ra khi ⁴⁸⁷^x^^{118 492}



^ ^x



^{ }^x ⁹⁶^m

Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780m 492-x x

487m 615m

118m

C D

A

B

E

(7)

Câu 4.

1) Xét BIOvà CMOcó : 45

IBO MCO

    (tính chất đường chéo hình vuông) BO CO (tính chất đường chéo hình vuông)

BOI COM

   (cùng phụ với BOM) BIO CMO g c g( . . )

Ta có BIO CMO cmt( )CM BI(cặp cạnh tương ứng)BM  AI Vì CN / /ABnên BM AM IA AM / /

IM BN CM  MN  IB  MN 

Ta có OI OM do BIO



  CMO



 IOM cân tại O IMO  MIO 45 Vì IM / /BN  BKM  IMO 45  BKM  BCO

2) Qua A kẻ tia Axvuông góc ANcắt CD tại E Chứng minh ADE ABM g c g( . . ) AE AM Ta có ANEvuông tại A có ADNEnên

  

²



²

. .

. . . .

2 2

AEN

AD NE AN NE

S    AD NE AN AE  AD NE  AN AE Áp dụng định lý Pytago vào ANEta có : AN²  AE²  NE²

E

K

N O M

C A B

D

I

(8)

 

² ²

2 2 2 2 2

2 2 2

. 1

.

1 1 1

. ;

1 1 1

AN AE AD AN AE AN AE

AN AE AD Do AE AM CD AD

AE AN AD CD AM AN

     

    

  

Câu 5.

Từ giả thiết : 2ab6bc2ac7abc a b c, , , 0

Chia cả 2 vế cho 2 6 2

0 7

abc    c a b

Đặt 1 1 1 , , 0

; ;

2 6 2 7

x y z

x y z

z x y

a b c

 

    

  



Khi đó 4 9 4 4 9 4

2 4 2 4

ab ac bc

C  a b a c b c  x y  x z  y z

     

 

4 9 4

2 4 2 4

2 4

C x y x z y z x y x z y z

x y x z y z

               

  

2 2 2

2 3 2

2 4 17 17

2 x y 4 x z y z

x y x z y z

     

                