Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Đống Đa 2020-2021

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI 9 NĂM HỌC 2020 – 2021 . MÔN TOÁN

Câu 1. (5 điểm)

1. Tìm tất cả các số tự nhiên nđể



¹



²



₁

6 n n n

p  

  là số nguyên tố

2. Giải phương trình ^{x 1 6 x}



^{x1 6}



^x



^1

Câu 2. (5 điểm)

1. Cho ba số thực khác 0 a b c, , thỏa mãn điều kiện : 0

a  b c và ^{1 1 1 1} a   b c a b c

  . Tính giá trị của biểu thức :



^{2021 2021 2021}



2021 2021 2021

1 1 1

A a b c

a b c

 

      

 

2. Tìm tất cả các bộ số nguyên



^{x y z; ;}



^{thỏa mãn}



^{x y}



^{x y}



^{8z 10}

Câu 3. (2 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc1.Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức: _{2 2 2 2 2 2}

2 3 2 3 2 3

a b c

A a b  b c  c a

     

Câu 4. (7 điểm)

Cho đoạn thẳng AB8cmvà một điểm M bất kỳ nằm trên đoạn thẳng AB, trên một nửa mặt phẳng bờ AB,dựng hai hình vuông AMCDvà BMEF.Gọi giao điểm của đường thẳng AEvà BClà điểm N,giao điểm của đường thẳng ACvà

BElà P

a) Chứng minh bốn điểm A N P B, , , cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh rằng DN FN. MN²và 3 điểm N P F, , thẳng hàng

c) Tìm vị trí các điểm M trên đoạn thẳng ABđể độ dài đoạn thẳng MNđạt giá trị lớn nhất.

Câu 5. (1 điểm) Một hình hộp chữ nhật có các kích thước là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm, có thể tích ^{a cm}

 

³ . Biết khi đặt hình hộp chữ nhật đó lên mặt bàn thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là ^{a cm}

 

² . Tìm giá trị nhỏ nhất của a

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) Ta có :



¹



²



₁



³

 

^{2 2}



6 6

n n

n n n

p    

  

Với n  0 P 1không phải số nguyên tố Với n  1 P 2là số nguyên tố

Với n  2 P 5là số nguyên tố Với n  3 P 11là số nguyên tố Với n4thì



^n3



^{6và n2  2 17}



^{n3 ,}

 

^{n2 2}



thì luôn tồn tại một số chẵn nên khi đó P là hợp số Vậy Plà số nguyên tố thì ^n



^1;2;3



2) Giải phương trình ^{x 1 6 x}



^{x1 6}



^x

  

^{1 *}

Điều kiện xác định : 1 x 6. Đặt t x 1 6x

  

     

2

2 2

1 2 1 6 6

5 2 1 6 1 6 5

2

t x x x x

t x x x x t

       

         

Thay vào

 

* ta được :

  

2

2 2

1( )

5 1 2 5 2 3 5 2

3 1 6

2 2 5

t ktm

t t t t x

t x x

x

  

 

               

Vậy ^{S }

 

^2;5

Câu 2.

1. Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1

a   b c a b c    a b c a b c 0

   

     

 

0 c a b c ab 0

a b a b

a b

ab c a b c abc a b c

  

 

     

   

   

0

0 0

0

a b a b

a b b c c a b c b c

c a c a

   

 

 

           

     

 

. Khi đó ta có :

 

   

   

   

2021 2021 2021

2021 2021 2021

2021 2021

2021

2021 2021

2021

2021

2021

1 1 1

. 1 1

A a b c

a b c

A a a a

a a a

a a

 

      

 

 

 

          

  



2. Nếu z 0 8^z 10không là số nguyên,



^{x y}



^{x y}



^{ z}

 

^{* không thể}

xảy ra

Nếu ^{z 0}



^{x y}



^xy



^11

11 6 1 6

1: 2 :

1 5 11 5

11 12 1 12

3: 4 :

1 1 11 11

x y x x y x

Th Th

x y y x y y

x y x x y x

Th Th

x y y x y y

     

   

 

   

      

   

         

   

 

   

        

   

Nếu z 1 8^z 10là số chẵn và chia 4 dư 2^



^{x y}



^xy



là số chẵn.

Mà



^{x y}



^{x y}



^{2xlà số chẵn}



^{x y}

 

^{; x y}



là số chẵn



^{x y}



^{x y}



⁴

   ^⋮ , mà 8^z 10không chia hết cho 4. Nên z1không thể xảy ra Vậy bộ số nguyên



^{x y z, ,}



^là



6;5;0 , 6; 5;0 , 12; 1;0 , 12;11;0

 



 

 

 





Câu 3.

2 2 2 2 2 2

2 3 2 3 2 3

a b c

A a b  b c  c a

      . Ta có :

 

2 2 2 2 2

2 2

2 3 1 2 2 2 2

1

2 3 2 2 2 2 1

a b a b a ab a abc

a a

a b ab a abc b bc

         

  

     

Tương tự:

   

2 2 2 2

1 1

2 3 2 1 ; 2 3 2 1

b c

b c  c ac c a  a ab

       

1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 1 .

1 1 1

2 1 1 1 2

b bc

A b bc c ac a ab b bc b bc abc bc abc ab bc

b bc

A b bc b bc bc b

   

                    

 

            Dấu " " xảy ra khi a  b c 1.

Vậy 1

2 1

Max A    a b c Câu 4.

a) Chứng minh bốn điểm A N P B, , , cùng thuộc một đường tròn Hình vuông AMCDcó đường chéo AC, CAM 45  PAB45 Hình vuông BMEFcó đường chéo BE, EBM 45  PBA45 Suy ra tam giác PABvuông cân ở P, suy ra APBE

Xét tam giác EAB,có AP EM, là các đường cao cắt nhau tại C, suy ra C là trực tâm tam giác EAB suy ra BC,  AE hay BN  AE

Tứ giác ANPBcó ANB APB90nên là tứ giác nội tiếp Suy ra 4 điểm A N P B, , , cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng DN FN. MN²và 3 điểm N P F, , thẳng hàng Xét tứ giác ADNC,có ADC  ANC 90nên nội tiếp

 

45 1 . DNA DCA

      Tương tự ^{ENF  EBF 45 2}

 

N P

F D

E

C

A M B

Từ (1) và (2) suy ra DNA ENF 45 . Vì E N A, , thẳng hàng nên D N F, , thẳng hàng. Suy ra MNF  MEF 90 MN DF

Xét tam giác DMFcó DMF  DMC EMF 90 , từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có DN FN. MN²

Ta có tứ giác ENCPnội tiếp vì ENC  EPC 180  CEN  NPChay APD NEM

  

Mặt khác tứ giác MNEFnội tiếp, suy ra MFN  NEM , suy ra APD MFN

   hay APD DFMmà AP/ /MF,suy ra D P F, , thẳng hàng.

Lại có D P N, , thẳng hàng. Do đó 4 điểm D N P F, , , thẳng hàng

c) Tìm vị trí các điểm Mtrên đoạn thẳng ABđể độ dài đoạn thẳng MNđạt giá trị lớn nhất.

Ta có :

 

2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1

2 2 4 16

MN MD MF MA MB MA MB MA MB AB

 

          

  

Câu 5.

Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật đó là , ,x y z

Từ giả thiết, ta có ^{axyz2z x}



^y



^{xy xy z}



^{ 1}



^{2z x}



^{ y}



^{ z 2.Ta có}

   

 

3 2

4 16

1 2 4

1 1

z z

xy z z x y z xy xy xyz

z z

       

 

Xét hiệu

 

   

 

3 3

2 2

4 3 4 3

16 108 0, 2

1 1

z z

xyz z z

z z

 

    

 

Suy ra

 

3 2

16 108.

1 xyz z

z

 

 Dấu " " xảy ra tại x3,y  z 6 Vậy mina108