Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Quận Long Biên 2020-2021

(1)

QUẬN LONG BIÊN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2 Năm học 2020-2021

Môn : TOÁN

Câu 1. (6,0 điểm)

1) Giải phương trình : 4x² 20x28 3 x² 15x20

2) Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện x  y z 0.Chứng minh rằng

3 3 3 3

x  y z  xyz

3) Cho các số nguyên a b c, , thỏa mãn điều kiện



^a^^b

 

³^ ^b^^c

 

³ ^ ^c^^a



³ ^³⁷⁸

Tính giá trị của biểu thức A     a b b c c a Câu 2. (3,0 điểm)

1) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn điều kiện : a b cchia hết cho 12.

Chứng minh ^P^



^a^^{b b}



^^{c c}



^^a



^⁵^abcchia hết cho 12 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên , ,x y zthỏa mãn điều kiện :

3 3 3 2020

x  y z    x y z Câu 3. (3,0 điểm)

1) Cho ,x ylà hai số thực dương. Chứng minh rằng:

2 2

3 3

x y x y 4 0 y  x  y  x   2) Cho số thực xthỏa mãn 0 x 2.Tìm GTNNcủa biểu thức :

4 100

2 2021

A x  x 



Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, ba đường cao AK BD CE, , cắt nhau tại H

1) Chứng minh : BD BH. BC BK. và BH BD. CH CE. BC² 2) Chứng minh BH  AC.cotABC

3) Gọi M là trung điểm của BC.Đường thẳng qua Avuông góc với AMcắt đường thẳng BD CE, lần lượt tại , .Q P Chứng minh rằng MPMQ

Câu 5. (1,0 điểm) Trên bảng, ngưởi ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa 2 số a b, bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng a b 2lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu ? Tại sao ?

(2)

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) Giải phương trình : 4x² 20x28 3 x² 15x20 Đặt ^t^ ^x² ^⁵^x^^7,



^t ^⁰



^ ^x² ^⁵^x^{ }⁷ ^t²^{. ĐKXĐ:}^x^^ℝ

Phương trình trở thành : 2t3t² 1

  

2

1

3 2 1 0 1 3 1 0 1

0( ) 3

t

t t t t

t ktm

 

         

   



2 2 2

1 5 7 1 5 6 0

3

t x x x x x

x

 

            Vậy phương trình có tập nghiệm ^S ^

 

^2;3

2) Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện x  y z 0.Chứng minh rằng

3 3 3 3

x  y z  xyz Ta có : ^x     ^y ^z ⁰ ^z



^x ^y



 

³

 

3 3 3 3 3 3 3 ( )

VT x  y z x  y  x y   xy x y  xyzVP dfcm 3) Cho các số nguyên a b c, , thỏa mãn điều kiện



^a^^b

 

³^ ^b^^c

 

³ ^ ^c^^a



³ ^³⁷⁸

Tính giá trị của biểu thức A     a b b c c a Đặt a b x b,  c y c,      a z x y z 0

Ta có : x³  y³z³ 3783xyz378 xyz126

Do , ,x y zlà số nguyên có tổng bằng 0 và ^xyz^¹²⁶^^xyz^{ }

   

^{2 . 7 .9}^ ^nên

2 2 7 7 9 9

7; 9 ; 2; 9 ; 7; 2

9 7 9 2 2 7

x x x x x x

y y y y y y

z z z z z z

         

     

               

     

               

     

(3)

1) Ta có :

   

⁵

  

⁶

 

^*

P ab bc ca  abc a b c abbcca  abc Do



^a^^{b b}



^^{c c}



^^a

 

^ ^a^{ }^b ^{c ab}



^^bc^^ca



^^abc

Giả sử a b c, , đều chia 2 dư 1   a b cchia 2 dư 1 (1) Mà a b c⋮12  a b c⋮2(theo giả thiết) (2)

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn nên điều giả sử là sai

Trong ba số a b c, , có ít nhất 1 số chia hết cho 2^⁶^abc^⋮^{12 **}

 

Từ (*) và (**) suy ra 12P⋮

2) Ta có ^x³ ^{ }^x ^{x x}



^¹



^x^^{1 3}



^⋮

Tương tự ta có: ^y³ ^ ^y^⋮^3,^z³^ ^z^⋮³^



^x³^ ^x

 

^ ^y³^ ^y

 

^ ^z³^ ^z



^⋮³

Biến đổi phương trình thành



^x³^ ^x

 

^ ^y³ ^ ^y

 

^ ^z³ ^^z



^²⁰²⁰^{mà 2020 3}^⋮

Vậy không tồn tại ba số nguyên , ,x y zthỏa mãn điều kiện :

3 3 3 2020

x  y z    x y z Câu 3.

1) Ta có : x y ₂ x² y² ²xy



^x ^y



² ₀

y x xy xy

  

     với mọi ,x y0

2 2

2 0; 1 0 2 1 0

3 3

4 0

x y x y x y x y

y x y x y x y x

x y x y

y x y x

      

              

      

     

2) Ta có : ⁴ ¹⁰⁰ ²⁰²¹ ⁴ ^{36 2}

 

¹⁰⁰ ³⁶ ¹⁹⁴⁹

2 2

A x x

x x x x

   

             Mà 0    x 2 2 x 0

Áp dụng BĐT: a b 2 abvới a b, 0, dấu" " xảy ra khi ab,ta có :

100 5

36 120

x x 3

x

    

 

 

(4)

 

4 5

36 2 24

2 x x 3

x

     

  

 

 

4 100 4 100

2021 36 2 36 1949 2093

2 2

A x x

x x x x

   

              

Vậy 5

2093 3

Min A  x

Câu 4.

1) Chứng minh BH BD.  BC BK. và BH BD. CH CE.  BC² Xét BHKvà BCDcó: KBH chung ;BKH  BDC 90

( . ) BH BK

BHK BCD g g

BC BD

  ∽   BH BD.  BC BK.

Cmtt CH KC . .

CHK CBE CH CE BC CK

BC CE

  ∽    

Cộng vế với vế hai đẳng thức ta được :

Q

P

M E H

D

K A

B

C

(5)

 

²

. . . .

. . .

BH BD CH CE BC BK BC KC

hay BH BD CH CE BC BK KC BC

  

   

2) Chứng mnh BH  AC.cotABC

Chứng minh ( . ) BH BE

BEH CEA g g

CA CE

 ∽  

Xét BECvuông tại E

cot BE BH BE cot .cot

ABC ABC BH AC ABC

CE CA CE

         

3) Gọi M là trung điểm của BC.Đường thẳng qua Avuông góc với AM cắt đường thẳng BD CE, lần lượt tại Q và P. Chứng minh rằng : MPMQ

Chứng minh ( . ) PA AH

PAH AMB g g

AM MB

 ∽  

Chứng minh ( . ) QA AH

QAH MAC g g

AM MC

 ∽  

Do ( ) QA PA

MB MC gt

AM AM

   PAQA QMPcân tại MMP MQ

Câu 5.

Tổng tất cả các số ban đầu trên bảng S    1 2 3 .... 99 100 5050   Qua mỗi bước ta thấy tổng giảm đi 2

Lúc đầu tổng S 5050, sau 99 bước số còn lại sẽ là 5050 2.99 4852 