Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Trường Liên Châu Lần 2 2020-2021

(1)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP TRƯỜNG LẦN 2 NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút, không kể giao đề

Câu 1. (2,5 điểm)

Cho biểu thức ⁴ ⁸ . ^{1 2}

3 9 2

x x x x

P x x x x x

     

     

  

   

a) Rút gọn P

b) Tìm xđể P 1

c) Tìm mđể với mọi xlớn hơn 9 ta có ^m



^x ^³



^{P x}^{ }¹

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Cho ^{f x}

 

là đa thức với hệ số nguyên, biết ^{f x}

 

có giá trị bằng 2017 tại 5 giá trị nguyên khác nhau của .x Chứng minh rằng ^{f x}

 

không thể nhận giá trị 2007 với mọi số nguyên x

b) Tìm số nguyên tố psao cho 2p1bằng lập phương của một số tự nhiên Câu 3. (2,5 điểm)

a) Giải phương trình : x 1 7x 1 14x6

b) Chứng minh rằng với a b 1thì 1 ₂ 1 ₂ 2 1 a 1 b 1 ab

  

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD,có độ dài cạnh bằng .a Elà một điểm di động trên cạnh ^{CD E}



khác C và D, ^{EC ED}^



. Đường thẳng AEcắt đường thẳng BCtại F, đường thẳng vuông góc với AEtại Acắt đường thẳng CDtại K

a) Chứng minh 1₂ 1₂

AE  AF có giá trị không đổi

b) Chứng minh rằng cosAKEsinEKF.cosEFKsinEFK.cosEKF Câu 5. (1,0 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y}^;



^{thỏa mãn}^x²^



²⁰⁰⁷^ ^{y x}



^{  }³ ^y ⁰

(2)

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) ĐKXĐ: x 0,x1,x9, ta có :

 

       

     

  

4 3 8 1 2

. 2

3 3 3 3 1

12 4 8 2 2 12 4 2 2

. .

2 2 2

3 3 3 3

6 2 2

. 1 3

3 3

x x x x x

P x x x x x x x

x x x x x x x

P x x x x x x x

x x x

      

 

  

 

      

   

       

   

     

 

 

  

Vậy 2

3 P x

 x

 ^vớix0,x 1,x9 b) Với x0,x1,x9thì

1 2 1 2 3 1 1( )

3

P x x x x x ktm

   x          



Vậy không có giá trị của x để P 1

c) Với 2

3 P x

 x

 ^thì^m



^x ^³



^{P x}^{ }¹^{trở thành}

 

2mx x  1 2m1 x 1

Vì x 9 0nên 1

2 1 0

m  m 2

Khi đó 1

2 1. x m

 Vậy để 1

2 1

x m

 với mọi x 9thì

1 1 5

9 2 1

2 1 m 9 m 9

m      



Vậy để với mọi x 9ta có ^m



^x ^³



^{P x}^{ }¹^thì^m^ ⁵₉

Câu 2.

a) Giả sử tồn tại x a a , ℤ_để ^{f a}

 

^^{2007 1}

 

(3)

Gọi 5 giá trị khác nhau của xđể ^{f x}

 

^²⁰¹⁷^làx x x x x1, , , ,2 3 4 5

Suy ra f x

 

1  f x

 

2  f x

 

3  f x

 

4  f x

 

5 2017

 

1 2017

 

2 2017

 

3 2017

 

4 2017

 

5 2017 0

f x f x f x f x f x

          

1, , , ,2 3 4 5

x x x x x

 là các nghiệm của đa thức ^{f x}

 

^²⁰¹⁷

 

2017



1



2



3



4



5

  

f x x x x x x x x x x x g x

        , trong đó ^{g x}

 

^{là đa}

thức với hệ số nguyên.

Khi đó f a

 

2017



a x 1



a x 2



a x 3



a x 4



a x g a 5

   

2

Từ (1) và (2) suy ra 2007 2017 



a x 1



a x 2



a x 3



a x 4



a x g a 5

  

Hay 10



a x 1



a x 2



a x 3



a x 4



a x g a 5

   

*

Vì x x x x x₁, , , ,₂ ₃ ₄ ₅là các số nguyên khác nhau, a là số nguyên, ^{g x}

 

là đa thức với hệ số nguyên nên



a x 1

 

, a x 2



,



a x 3

 

, a x 4



,



a x 5



là 5 số nguyên khác nhau và ^{g a}

 

là số nguyên. Do đó vế trái của (*) là tích của ít nhất 5 số nguyên khác nhau. Mà 10 chỉ có thể phân tích thành tích của nhiều nhất bốn thừa số nguyên khác nhau (mâu thuẫn)

Vậy ^{f x}

 

không thể nhận giá trị 2007 với mọi số nguyên ^{x dfcm}

 

b) Tìm số nguyên tố psao cho 2p1bằng lập phương của một số tự nhiên Giả sử ²^p^{ }¹ ^{n n}³



^^ℕ



^,^{suy ra n}^{là số lẻ}^{ }ⁿ ²^m^¹



^m^^ℕ



Khi đó ²^p^{ }¹



²^m^¹



³ ^⁸^m³ ^¹²^m² ^⁶^m^¹

 

3 2 2

4 6 3 4 6 3

p  m  m  m p m m  m

Mà plà số nguyên tố và 4m² 6m 3 1(với mọi m)m1 Suy ra p13là số nguyên tố thỏa mãn

Vậy p13 Câu 3.

a) Giải phương trình : ^x^{ }¹ ⁷^x^{ }¹ ¹⁴^x^^{6 1}

 

ĐKXĐ: x1

Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta được :

  

1 7 1 2 1 7 1 14 6

x  x  x x  x

(4)

  

      

  

2

1 7 1 3 3

1 7 1 3 3 1

1 10 2 0 1( )

5

x x x

x x x do x

x x x tm

x

    

     

 

      

Vậy tập nghiệm của phương trình là ^S ^

 

^1;5

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

       

 

         

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 0

1 1 1 1

1 1 1 1 0

a b ab ab

a ab b ab

ab a ab b

a ab b ab

a b a b a b

a ab b ab

   

   

   

          

 

  

   

 

  

   

             

2 2

2 2 2

2 2 2 2

. 0

1 1 1

. 0 1 0 *

1 1 1 1 1 1

b a a b

ab a b

b a ab b a a ab b ba

ab a b ab a b

  

      

 

   

   

     

Vì a b 1nên ab 1 0.Do đó

 

* đúng với mọi a b 1

Vậy 1 ₂ 1 ₂ 2

1 a 1 b 1 ab,

   với a b 1(dfcm)

(5)

Câu 4.

a) Chứng minh được ^ÂBF ^{ }^{ADK g c g}^{( . . )}^ ÂF ^ ÂK

 

¹

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông KAEtại A với ADlà đường cao, ta có:

2 2 2

 

1 1 1

AK  AE  AD 2

Từ (1) và (2) suy ra 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1₂

AF  AE  AD  a (không đổi) Vậy 1₂ 1₂

AE  AF có giá trị không đổi (đpcm) b) Kẻ ^EH ^^{KF H KF}



^



Ta có : 1 2 .

SKEF  KA EF, mà KA KE .cosAKEnên 1

 

. .cos 1

KEF 2

S  KE EF AKE

Ta lại có SKEF ¹₂EH KF^. ¹₂EH KH HF^.





 

²

H

F

K D C

A B

E

(6)

Từ (1) và (2) suy ra ^{KE EF}^. ^.cos^^{AKE EH KH}^ ^.



^ ^HF



 

. . .

cos . .

. .

sin .cos sin .cos

EH KH HF EH KH EH HF EH KH EH HF

AKE KE EF KE EF EF KE KE EF

EFK EKF EKF EFK

 

     

     

Vậy cosAKEsinEKF.cosEFK sinEFK.cosEKF dfcm( ) Câu 5.

Ta có : ^x²^



²⁰⁰⁷^ ^{y x}



^{   }³ ^y ⁰



^x^¹



² ^²⁰⁰⁵



^x^{ }¹



^{y x}



^{ }¹



²⁰⁰³

Do đó x1là ước của ²⁰⁰³^



^x^{   }¹

 

^{1; 2003}



1 1 2

x   x , thay vào phương trình đã cho ta có y 4007

1 1 0

x    x , thay vào phương trình đã cho ta có y  3

1 2003 2004

x   x , thay vào phương trình đã cho ta có y 3

1 2003 2002

x     x , thay vào phương trình đã cho ta có y  4007 Vậy các cặp số nguyên



^{x y}^;



cần tìm là :



2; 4007 ; 0; 3 ; 2004; 3 ; 2002; 4007

 



 



 

 

