Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Quận Long Biên Vòng 1 2020-2021

(1)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 1

NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN

Câu 1. (6,0 điểm) Cho biểu thức

2

3 2 2

2 4 . 2 8 0

8 2 4 2

x x x

A x x x x x

      

           

1) Chứng minh rằng A ²^x ₂ ⁴ x

 

2) Tính giá trị của biểu thức Abiết 2x   3 x 1 Câu 2. (4,0 điểm) Giải các phương trình sau :

      

2 2

2 2 2 2

4 1 5

1) 4 5 6 4

2) 4 2 4

x x x

x x x x x x

  

  

     

Câu 3. (3,0 điểm)

1) Cho alà tích của 2020 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng



^a^¹



^{không là}

số chính phương

2) Tìm các số nguyên ,x ythỏa mãn điều kiện 4x² 8x38 6 y²

Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A có AB AC.Kẻ đường cao AH



^H^^BC



^,^{phân giác}^{AM M}



^^BC



^{. Kẻ}^MEvuông góc với ABtại E, MFvuông góc với ACtại F

1) Cho AB9cm AC, 12 .cm Tính độ dài các đoạn thẳng BCvà AH

2) Chứng minh rằng BE BA. BH BM. và HElà tia phân giác của góc AHB 3) Chứng minh rằng BE HB

CF  HC Câu 5. (1,0 điểm)

1) Cho a b, là các số thực dương. Chứng minh rằng ^a³ ^^b³ ^^{ab a}



^^b



2) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b c 2020 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 3 3 3 3

2 2 2

5 5 5

3 3 3

b a c b a c

A ab b bc c ca a

  

  

  

(2)

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) Chứng minh rằng A ²^x ₂ ⁴ x

 

 

   

        

2

3 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 4 8

8 2 4 . 2

2 4 2 2 8

2 2 4 .

2 2 2

2 4 2 4

2 2 4 .

x x

A x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x

x x dfcm

x x x

    

         

   

   

 

  

 

  

2) Tính giá trị của biểu thức Abiết 2x  3 x 1 Xét phương trình : ²^x^{   }³ ^x ^{1 1}

 

+Th1: 3

2 3 0 ,

x   x 2 ta có phương trình 2x     3 x 1 x 2( )tm

+Th2: ² ^{3 0} ³



² ³



¹ ⁴

2 3

x     x x     x x

Vậy 4

2;3 S  

  

 . Kết hợp với ĐKXĐ: 4 15

3 4

x  A Câu 2.Giải các phương trình sau :

     

      

2 2

2

4 1 5 2

1) 4 5 6 4 2; 3

4 1 5

2 2 2 3 4

1 1 1 1 5 1 1 5

2 2 2 3 4 2 3 4

4 3 4 2 5 2 3 2 0

x

x x

x x x

x x x x

x x x x x x

  

        

    

  

   

 

       

     

           

1( ) 2( ) x tm

x ktm

 

    . Vậy ^S ^

 

¹

(3)

      

     

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2) 4 2 4

4 2 4 0

4 0 4 0

4 0 4

x x x x x x

x x x x

x x

     

       

 

         

      Vậy ^S ^

 

⁴

Câu 3.

1) Cho alà tích của 2020số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng



^a^¹



không là số chính phương

Vì trong 2020 số nguyên tố đầu tiên chỉ có 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất nên a chẵn và akhông chia hết cho 4 (1). Suy ra a1là số lẻ

Giả sử a1là một số chính phương

2) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn điều kiện 4x² 8x38 6 y²

 

²

   

2 2 2 2 2

4x 8x38 6 y 2x 4x19 3 y 2 x1 3 7y * Ta thấy ²



^x^^{1 2}



²^⋮ ^{ }⁷ ^y²^⋮²^ ^y²^{là số lẻ}

Ta lại có: 7 y²  0 y² 7.Do đó y²    1 y 1 Lúc đó 2



x1



² 18 x1 2;x2  4

Vậy



x y^;

   





2;1 ; 2; 1 ; 4;1 ; 4; 1

 



 

 

 

Câu 4.

1) Cho AB9cm AC, 12 .cm Tính độ dài các đoạn thẳng BCvà AH Ta có : AH BC^.  AB AC^. ^2.SABC

 

^*

Xét tam giác ABCvuông tại A có : AB²  AC²  BC²

E

F

H M A

B

C

(4)

Suy ra ^BC² ^⁹² ^¹²² ^²²⁵^ ^BC^ ^{225 15}^

 

^cm

Thay vào

 

^{* ta có :}^AH^{.15 9.12}^ ^ ^AH ^^7,2

 

^cm

2) Chứng minh rằng BE BA.  BH BM. và HElà tia phân giác của góc AHB Xét BHAvà BEM có :

EBM chung, BEM  BHA90

Suy ra BHAđồng dạng với ^{BEM g g}



^.



^BE ^BM

BH BA

   BE BA.  BH BM. Xét BEH và BMAcó: EBHchung, BE BM

BH  BA 45

BEH BMA BHE BAM

  ∽      

Mà BHA90  BHE EHA45 Suy ra HElà tia phân giác của ^^{AHB dfcm}

 

3) Chứng minh rằng :^BE ^HB CF  HC

Chứng minh :AEM  AFM  EAF 90 tứ giác AEMFlà hình chữ nhật Mà AMlà phân giác của EAFnên tứ giác AEMFlà hình vuông

Do đó AE AF

Xét ABH có HElà phân giác của ^{AHB cmt}

 

^BE ^BH

 

¹

EA AH

  

Chứng minh tương tự : HFlà tia phân giác của AHC ^AF ^AH

 

²

CF HC

 

Từ

   

^{1 , 2} ^{BE AF}^. ^{BH AH}^. ^BE ^BH



^{Do AE} ^AF



⁽^dfcm⁾

EA CF AH HC CF HC

    

Câu 5.

1) Cho a b, là các số thực dương. Chứng minh rằng ^a³ ^^b³ ^^{ab a}



^^b



Ta có : ^a³ ^^b³ ^^{ab a}



^^b



^^a³ ^^b³^^{ab a}



^^b



^⁰

     

   

2 2

0 0

a b a ab b ab a b a b a ab b ab

      

     



^a ^{b a}



^b



² ⁰

    (Luôn đúng với mọi a b, dương) Vậy ^a³ ^^b³ ^^{ab a}



^^b



(5)

2) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b c 2020.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 3 3 3 3

2 2 2

5 5 5

3 3 3

b a c b a c

A ab b bc c ca a

  

  

  

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức

3 3

2

5 2

3 b a

b a ab b

  

 ^{. Ta có :}

   

3 3

3 3 2

2

5 2 5 2 3

3 b a

b a b a b a ab b ab b

       



   

 

3 3 2

3 3 2 2 3 2

2 2 3 3 3 3

5 2 3

5 2 6 3

b a b a ab b

b a ab a b b ab

ab a b a b a b ab a b

    

     

       

Đã chứng minh ở ý 1. Dấu " " xảy ra khi ab Vậy

3 3

2

5 2

3 b a

b a ab b

  

 . Chứng minh tương tự:

3 3 3 3

2 2

5 5

2 ; 2

3 3

c b a c

c b a c

cb c ca a

 

   

 

Vậy ^A^



²^b^^a

 

^ ²^c^^b

 

^ ²^a^^c



^{   }^a ^b ^c ²⁰²⁰

Vậy 1

2020 673

Max A    a b c 3