Bài 4: Phép đối xứng tâm A. Các câu hỏi hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 13 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng
I I
M'=Đ (M)M Đ (M')= Lời giải:
M'=Đ (M)I nghĩa là phép biến hình này biến điểm I thành chính nó hoặc biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’
Trường hợp 1: M I M'=Đ (M) M II Suy ra M=Đ (M')I
Trường hợp 2: M I suy ra M=Đ (M')I thì I là trung điểm của MM’
Suy ra với MI và phép biến hình biến mỗi điểm M’ thành M sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng M’M
Vậy M=Đ (M')I .
Hoạt động 2 trang 13 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình bình hành ABCD.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua O vuông góc với AB, cắt AB ở E và cắt CD ở F. Hãy chỉ ra các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm O.
Lời giải:
Hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo suy ra O là trung điểm mỗi đường nên A và C đối xứng nhau qua tâm O, B và D đối xứng nhau qua tâm O.
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:
AEO=CFO= 90
OA = OC (do O là trung điểm AC)
AOE=COF (hai góc đối đỉnh)
Suy ra AEO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra OE = OF (hai cạnh tương ứng)
Nên O là trung điểm EF
Hay E và F đối xứng nhau qua tâm O.
Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-4; 3). Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O.
Lời giải:
Gọi A’(a, b) là ảnh của A’ qua phép đối xứng tâm O Suy ra a = 4 và b = -3. Khi đó A’(4; - 3).
Hoạt động 4 trang 14 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chọn hệ tọa độ Oxy, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O chứng minh lại tính chất 1.
Lời giải:
Gọi M(x; y), N(a; b) bất kì.
M’(x’; y’), N’(a’; b’) là ảnh của M, N qua phép đối xứng tâm O.
Khi đó, ' '
x x
y y
= −
= −
suy ra M’(-x; -y) '
'
a a
b b
= −
= −
suy ra N’(-a; -b)
Suy ra M N' '= − + − +( a x; b y) (1)
Ta có : MN= −(a x;b−y) −MN= − + − +( a x; b y) (2) Từ (1) và (2) M' N'= −MN
Vậy M’N’ = MN.
Hoạt động 5 trang 15 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các chữ sau, chữ nào là hình có tâm đối xứng?
H A N O I
Lời giải:
Các chữ có tâm đối xứng là: H, N, O, I
Hoạt động 6 trang 15 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm một số hình tứ giác có tâm đối xứng.
Lời giải:
Các tứ giác có tâm đối xứng là: hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật.
B. Bài tập
Bài tập 1 trang 15 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.
Lời giải:
Gọi A' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O, khi đó O là trung điểm của AA'
A A
A '
A '
x x
y y
= −
= − A ' xA ' 1
y 3
=
= − Suy ra A’(1; -3)
Để tìm ảnh của đường thẳng d ta có thể dùng các cách sau:
Cách 1:
Cho y = 0 ta được x = -3.
Cho x = -1 ta được y = 1.
Do đó, đường thẳng d đi qua B(-3; 0) và C(-1; 1).
Ta có: B’ = ĐO(B) = (3; 0) và C’ = ĐO(C) = (1; -1).
Đường thẳng B’C’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O . B C' '= − −( 2; 1)suy ra nB'C' = −(1; 2) là vectơ pháp tuyến của B'C'
Mà B’C’ đi qua B’(3; 0) nên có phương trình: 1(x – 3) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 3 = 0
Cách 2:
Đường thẳng d đi qua B(−3; 0)
Do O không thuộc d nên gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O thì nó song song với d.
Do đó d’ có phương trình x − 2y + c = 0 (c 3) .
Gọi B' là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O ta có: B’(3; 0) Vì B'd ' suy ra 3 + c = 0 suy ra c = −3 (thỏa mãn).
Vậy ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là đường thẳng d′ có phương trình x − 2y – 3 = 0
Bài tập 2 trang 15 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm đối xứng?
Lời giải:
Hình tam giác đều không có tâm đối xứng, nó có 3 trục đối xứng.
Hình ngũ giác đều không có tâm đối xứng, nó có 5 trục đối xứng.
Hình bình hành và lục giác đều là những hình có tâm đối xứng.
Bài tập 3 trang 15 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm một hình có vô số tâm đối xứng.
Lời giải:
Hình có vô số tâm đối xứng là: Đường thẳng và hình gồm hai đường thẳng song song.
