SBT Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

(1)

Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương.

Bài tập

Bài 36 trang 10 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc khai phương, hãy tính:

a) ⁹ 169 b) ²⁵

144

c) 1 ⁹ 16

d) 2 ⁷ 81

Lời giải:

a) ⁹ 169 =

2 2

9 3 3

169 13 13

= =

b) ²⁵ 144 =

2 2

25 5 5

144 12 12

= =

c) 1 ⁹ 16

2 2

25 25 5 5

16 16 4 4

= = = =

d) 2 ⁷ 81

2 2

169 169 13 13

81 81 9 9

= = = =

Bài 37 trang 11 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

a) ²³⁰⁰ 23

(2)

b) ^12,5 0,5

c) ¹⁹² 12

d) ⁶ 150

Lời giải:

a) ²³⁰⁰

23 = ²³⁰⁰ 100 10

23 = =

b) ^12,5 0,5

12,5 25 5

= 0,5 = = c) ¹⁹²

12 = ¹⁹² 16 4 12 = = d) ⁶

150 = ⁶ ¹ ¹ ¹

150 = 25 = 25 =5

Bài 38 trang 11 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho các biểu thức:

2x 3

A x 3

= +

− và ^2x ³ x 3

+

−

a. Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa b. Với giá trị nào của x thì A = B?

Lời giải:

a) Để A có nghĩa thì 2x 3 x 3 0

+ 

− Trường hợp 1:

(3)

2x 3 0 2x 3 x 3

x 3

x 3 0 x 3 2

x 3

 −

+   − 

    

 −    

   

Trường hợp 2:

2x 3 0 2x 3 x 3 3

2 x

x 3 0 x 3 2

x 3

 −

+   − 

     −

 −    

   

Vậy x > 3 hoặc 3

x 2

 − thì A có nghĩa

B có nghĩa khi và chỉ khi

2x 3 0 2x 3 x 3

x 3

x 3 0 x 3 2

x 3

 −

+   − 

    

 −    

   

Vậy để B có nghĩa thì x > 3

b) Với x > 3 thì A và B đồng thời có nghĩa Vậy với x > 3 thì A = B

Bài 39 trang 11 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Biểu diễn ^a

b với a < 0, b < 0 ở dạng thương của hai căn thức

Áp dụng tính ⁴⁹ 81

−

Lời giải:

Ta có: a < 0 nên –a > 0; b < 0 nên –b > 0

a a a

b b b

− −

= =

− −

(4)

Áp dụng cho ⁴⁹ 81

−

− Ta có: ⁴⁹

81

−

49 49 7 81 81 9

= = =

Bài 40 trang 11 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) ^63y³ ^y

(

⁰

)

7y 

b) ^48x₅³ ^x

(

⁰

)

3x



c)

45mn2

(m 0;n 0)

20m  

d)

4 6 6 6

16a b

(a < 0; b 0) 128a b



Lời giải:

a)

3 3

2 2

63y 63y

9y 9. y 3. y 3y

7y = 7y = = = =

(do y > 0 nên |y| = y) b)

3 3

5 2

48x 48x 16 16 4 4

3x x x x

3x x

= = = = =

(vì x > 0 nên |x| = x) c)

2 2 2 2 3 n

45mn 45mn 9n 9. n 3n

20m 4 2 2

20m = = = 4 = =

(do n > 0 nên |n| = n)

(5)

d)

4 6 4 6

6 6 2

6 6 2 2

16a b 16a b 1 1 1

128a b 8.a

128a b 8.a 8. a

= = = =

( )

1 1 1

2 2. a 2 2. a 2 2a

= = = −

− (vì a < 0 nên |a| = -a).

Bài 41 trang 11 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) ^x ^{2 x} ¹^x

(

⁰

)

x 2 x 1

− + 

+ +

b) ^{x 1} ^. ^y

(

^{2 y}

)

₄ ¹^x

(

^{1, y 1, y} ⁰

)

y 1 x 1

− +

−   

− −

Lời giải:

a)

( )

2 2

x 2. x.1 1

x 2 x 1

x 2 x 1 x 2. x.1 1

− +

+ + = + +

=

( )

( ) ( )

( )

2 2

x 1

x 1 x 1

x 1

x 1 x 1

− − −

= =

+ + +

= ^x ¹

x 1

−

+ (Vì x 1 0 với mọi x)

+ Nếu 0 x 1 thì x −  1 0 x − = −1 1 x Do đó: ^x ¹

x 1

−

+ =¹ ^x x 1

− +

+ Nếu x 1 thì x − 1 0 x − =1 x −1

(6)

Do đó: ^x ¹ x 1

−

+ = ^x ¹ x 1

− +

b)

( )

2

4 4

y 2. y.1 1 y 2 y 1

x 1 x 1

. .

y 1 x 1 y 1 x 1

− +

− −

− − = − −

( )

2 2

4 4

y 1 y 1

x 1 x 1

. .

y 1 x 1 y 1 x 1

− −

= =

− − − −

( )

²

( ) ( )

y 1 y 1

x 1 .

y 1 x 1 y 1 x 1

− −

= − =

− − − −

+ Nếu 0 y 1thì ^y^{−  }^{1 0} ^y^{− = −}¹

(

^y⁻¹

)

Do đó:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

y 1 y 1 1

y 1 x 1 y 1 x 1 x 1

− −

− = = −

− − − − −

+ Nếu y > 1 thì y 1 0−   y 1− = y 1− Do đó:

( ) ( ) ( )

(

^{y 1}

) ( )

y 1 1

y 1 x 1 y 1 x 1 x 1

−

− = =

− − − − −

Bài 42 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó:

a)

( )

4 2

2

x 2 x 1

x 3 3 x

− + −

− −

(

^x^³

)

; tại x = 0,5

b)

3 2

x 2x 4x 8

x 2

− + +

+

(

^x^{ −}²

)

^{tại x =}⁻ ²

Lời giải:

(7)

a)

( )

4 2

2

x 2 x 1

x 3 3 x

− + −

− −

( )

4 2

2

x 2 x 1

x 3 3 x

− −

= +

− −

(

^x ²

)

² _x² ₁

3 x x 3

− −

= +

− −

(

^x ²

)

² x² 1

3 x x 3

− −

= +

− − Vì x < 3 nên 3 – x > 0 dó đó |3 – x| = 3 – x

(

^x ²

)

² x² 1 x² 4x 4 x² 1

3 x x 3 3 x 3 x

− − − + −

= + = −

− − − −

2 2

x 4x 4 x 1 4x 5

3 x 3 x

− + − + − +

= =

− −

Thay x = 0,5 vào ta được:

4x 5 4.0,5 5 2 5 3 x 3 0,5 2,5 1, 2

− + = − + = − + =

− −

b)

3 2

x 2x 4x 8

x 2

− + +

+

( )

2 2

x . x 2 x . x 2

4x 2 2 4x 2 2

x 2 x 2

+ +

= − + = − +

+ +

x x 2 4x 2 2

x 2

= − + +

+ (với x > -2 thì x + 2 > 0)

= 4x−2 2+ x

Trường hợp 1: Nếu -2 < x < 0 thì

4x−2 2+ x =4x−2 2− =x 3x−2 2 Thay x = − 2 ta được

3x⁻^{2 2} ⁼^3.

( )

⁻ ² ⁻^{2 2} ^{= −}^{3 2} ⁻^{2 2} ^{= −}^{5 2}

(8)

Trường hợp 1: Nếu x0 thì

4x−2 2+ =x 4x−2 2+ =x 5x−2 2 Thay x = − 2 ta được

5x⁻^{2 2} ⁼^5.

( )

⁻ ² ⁻^{2 2} ^{= −}^{5 2} ⁻^{2 2}^{= −}^{7 2}

Bài 43 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x thỏa mãn điều kiện:

a) 2x 3 x 1 2

− =

− b) ^2x ³

x 1

−

− = 2 c) 4x 3

x 1 3 + = +

d) ^4x ³ 3 x 1

+ = +

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: 2x 3 x 1 0

− 

− Trường hợp 1:

2x 3 0 2x 3 x 3

x 1 0 x 1 2

x 1

−    

  

 −    

   

 3

x  2

Trường hợp 2:

2x 3 0 2x 3 x 3

2 x 1

x 1 0 x 1

x 1

−    

    

 −    

   

(9)

Vậy với 3

x 2 hoặc x 1 ta có:

2x 3 x 1 2

− =

−

2x 3 x 1 4

 − =

−

( )

2x 3 4 x 1

 − = −

2x – 3 = 4x – 4

2x – 4x = -4 + 3

-2x = -1 x 1

 = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy 1

x = 2. b) Điều kiện:

2x 3 0 2x 3 x 3

x 1 0 x 1 2

x 1

−    

  

 −    

   

 3

x  2

Với 3

x 2 ta có:

2x 3 x 1

−

− = 2 2x− =3 2 x 1−

( )

2x 3 4 x 1

 − = −

2x – 3 = 4x – 4

2x – 4x = -4 + 3

-2x = -1

(10)

x 1

 = 2 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy không tồn tại x

c) Điều kiện xác định: 4x 3 x 1 0

+  + Trường hợp 1:

4x 3 0 4x 3 x 3 3

4 x

x 1 0 x 1 4

x 1

 −

+   − 

     −

 +    − 

    −

Trường hợp 2:

4x 3 0 4x 3 x 3

x 1

x 1 0 x 1 4

x 1

 −

+   − 

     −

 +    − 

    −

Vậy với 3

x 4

 − hoặc x −1 ta có:

4x 3 x 1 3

+ = +

4x 3 x 1 9

 + = +

( )

4x 3 9 x 1

 + = +

4x + 3 = 9x +9

9x – 4x = -9 + 3

5x = -6 x 6

5

 = − (thỏa mãn điều kiện)

Vậy 6

x 5

= − .

(11)

d) Điều kiện:

4x 3 0 4x 3 x 3 3

4 x

x 1 0 x 1 4

x 1

 −

+   − 

     −

 +    − 

    −

Vậy với 3

x 4

 − ta có:

4x 3 x 1 3

+ =

+  4x+33=3 x 1+

( )

4x+ =3 9 x 1+

4x + 3 = 9x +9

9x – 4x = -9 + 3

5x = -6 x 6

5

 = − (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không tìm được giá trị của x

Bài 44 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai số a, b, không âm. Chứng minh:

a b 2 ab

+  (Bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm)

Dấu bằng xảy ra khỏi nào.

Lời giải:

Vì a ≥ 0 nên a xác định, b ≥ 0 nên b xác định Ta có: ( a - b )² ≥ 0 ⇔ a - 2 ab + b ≥ 0

(12)

⇒ a + b ≥ 2 ab ⇔ a b 2 ab + 

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

Bài 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với a ≥ 0 và b ≥ 0, chứng

minh a b a b

2 2

+  +

Lời giải:

Vì a ≥ 0 nên a xác định, b ≥ 0 nên b xác định

Ta có: ( a - b )² ≥ 0 ⇒ a - 2 ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2 ab

⇒ a + b + a + b ≥ a + b + 2 ab

⇒ 2(a + b) ≥

( )

^a ²^{+ 2 ab +}

( )

^b ²



( ) ( )2 a b ( a b)2

2 a b a b

2 4

+ +

+  +  

(

^a ^b

)

²

a b a b a b

2 4 2 2

+ + + +

   

Bài 46 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với a dương, chứng minh a + 1 a ≥ 2 Lời giải:

Cách 1:

Với a > 0 nên a xác định

Ta có: ^ ^a ⁻ ¹_a ^² ⁼

( )

^a ² ⁻^{2. a.} ¹_a ⁺^ ¹_a ^²

(13)

a 2 1

= − +a = 1

a 2

+ −a Vì

1 2

a 0

a

 −  

 

  với mọi a dương nên

a 1 2 0

+ − a

a 1 2

 + a (điều phải chứng minh) Cách 2: Do a dương nên 1

a dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số a và 1 a Ta có:

a + ¹ 2 a.¹ 2 a  a =

a 1 2

 + a (điều phải chứng minh).

Bài tập bổ sung

Bài 4.1 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giá trị của ⁴⁹

0,09 bằng A) 7

3 B)70

3 C) 7

30

(14)

D) 700 3

Hãy chọn đáp án đúng.

Lời giải:

Chọn đáp án B Vì ⁴⁹

0,09

49 7 70

0,3 3

= 0,09 = = .