Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Chuyên 2. LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

(1)

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

Chuyên đề 2. LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A. Kiến thức cần nhớ

1. Với A0,B0 thì: A B.  A. B và ngược lại A. B  A B. Đặc biệt, khi A0, ta có:

 

Â ²^ Â² ^Â^.

2. Với A0,B0 thì A A

B  B và ngược lại A A B  B

3. Bổ sung

 Với A A1, 2,...,A_n 0 thì: A1. A2... A_n  A A1. 2...A_n

 Với a0;b0 thì: a b  a b (dấu “=” xảy ra  a 0 hoặc b0).

 Với a b 0 thì: a b  a b (dấu “=” xảy ra  a b hoặc b0).

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) 8 15 . 8 15; b)



⁶^ ¹¹^ ⁶^ ¹¹



²^.

Giải a) 8 15 . 8 15  64 15  497.

b)



⁶^ ¹¹^ ⁶^ ¹¹



² ^{ }⁶ ¹¹^²



⁶^ ¹¹



⁶^ ¹¹



^{ }⁶ ¹¹

12 2 36 11 22

    .

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: P 2 2 2 . 4 8 . 2 2 2 . Giải

Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng a b và a b nên ta dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính.

Trình bày lời giải

2 2 2 . 4 8. 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 . 4 8

P           

 

4 2 2 . 4 2 2 2 2 . 2 2 . 2

P      

4 2. 2 2

P   .

(2)

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A 102 21 3. Giải

Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng a2 b ta chú ý tới hằng đẳng thức

 

²

2

x xy y x y

Ta cần biến đổi: ^a^² ^b ^



^x^ ^y



², do vậy ta xác định x và y thông qua x y a xy; b. Chẳng hạn: ^x^{ }^y ^{10; .}^{x y}^²¹^

   

^{x y}^; ^ ^{3; 7} .

 

²

3 2. 3.7 7 3 3 7 3 3 7 3 7

A           .

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: B 4 7  8 3 5  2 Giải Tìm cách giải. Đề bài chưa xuất hiện dạng a2 b .

Ta cần biến đổi bài toán về dạng a2 b và giải theo cách trên.

Ta có: B. 2 82 7  16 6 7 2

 

²

 

²

. 2 7 1 3 7 2

B     

. 2 7 1 3 7 2 2 2

B        B .

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: A 2 3 42 3 21 12 3 Giải

Tìm cách giải. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa các căn ở phía trong về dạng a2 b sau đó dùng hằng đẳng thức A²  A và giải như các ví dụ trên.

Trình bày lời giải

Ta có A 2 3 42 3 21 12 3

 

²

2 3 4 2 3 2 3 3 2 3 4 2 3 2 3 3

           

(3)

 

²

2 3 4 4 3 3 2 3 2 3

        

2 3 2 3 4

     . Suy ra A2.

Ví dụ 6: Rút gọn: C 2 2 5 2 2 2 52 Giải Tìm cách giải.

Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng ^a^² ^b ^



^x^ ^y



²^.

Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C x y  x y ta thường tính C² sau đó nhận xét dấu của C, từ đó tìm được C.

Xét ^C² ^{ }² ^{2 5}^{  }² ² ^{2 5}^{ }² ²



²^ ^{2 5}^²



²^ ^{2 5}^²



 

²

 

2 4 2 4 2 5 2 4 2 5 1 4 2 5 1

C          

 

²

2 6 2 5 5 1

C     . Vì C0 nên C 1 5.

Ví dụ 7: Cho x y, thỏa mãn x 1 x²  y 1 y². Chứng minh rằng: x y. Giải

Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có x y, chúng ta cần phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử



^x^^y



.

Dễ thấy x²y² có chứa nhân tử



^x^^y



, do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử



^x^^y



chúng ta vận dụng



^a^ ^b



^a^ ^b



^{ }^{a b} từ đó suy ra: a b

a b

  

 . Lưu ý rằng mẫu số khác 0.

Từ đó chúng ra có lời giải sau:

Từ đề bài ta có điều kiện: x1; y1. - Trường hợp 1: Xét x1;y  1 x y.

- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:

2 2

1 1 0

x y  x  y 

(4)

   

¹

 

¹



0

1 1

x y

x y x y

x y

  

    

  

 

¹ ⁰

1 1

x y x y

x y

 

        

Vì 1

0 0

1 1

x y x y x y

x y

       

   .

Ví dụ 8: Cho 1 2 a 2

 . Tính giá trị biểu thức 16a⁸51a

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011 – 2012) Giải

Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp 1 2 a 2

 vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính a a²; ⁴ và a⁸ bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn giản và không dễ mắc sai lầm.

Trình bày lời giải

2a 1 22a  1 24a24a 1 2

 

2 4

4a 1 4a 1 2 1 2 3 2 2 16a 9 12 2 8 17 12 2

             

8 8 577 408 2

256 289 408 2 288 577 408 2 16

a a 16

       

Xét 8 577 408 2 51 1



2



16 51

16 2

a a

 

  

577 408 2 408 408 2 169

16 16

  

 

Vậy ⁸ 169 13

16 51

16 4 a  a   .

Ví dụ 9: Tính giá trị 1₇ 1₇

S  a b với 6 2 6 2

2 ; 2

a  b 

  .

Giải

Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể dẫn đến sai lầm. Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các hằng đẳng thức để tính dần dần.

(5)

Từ đề bài suy ra: a b  6; ab1 Ta có: ^a²^^b²^



^{a b}^



²^²^ab^⁴;

 

³

 

3 3

3 6 6 3.1. 6 3 6

a b  a b  ab a b   

Xét



^a²^^b²



^a³^^b³



^^a⁵^^{a b}² ³^^{a b}³ ²^^b⁵^^a⁵^^b⁵^^{a b}² ²



^{a b}^



5 5

4.3 6a b 1 6

Từ đó tính được: a⁵b⁵ 11 6

Xét



^a²^^b²



^a⁵^^b⁵



^^a⁷^^{a b}² ⁵^^{a b}⁵ ²^^b⁷^^a⁷^^b⁷^^{a b}² ²



^a³^^b³



Suy ra: 4.11 6a⁷b⁷1.3 6a⁷b⁷41 6

7 7

1 1

41 6

S b a

a b

      .

Ví dụ 10: Cho b0; a b. Chứng minh đẳng thức:

2 2

a a b a a b

a b    

  

Giải

Đặt vế phải là:

2 2

a a b a a b

B     

Ta có B0

Xét 2 2 ²



²

 

²



²

2. .

2 2 2 2

a a b a a b

B

   

  

 

2 2

2. ;

4

a a b

B a   B a b

   

Vì B0 nên B a b .

Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 11: Cho các số thực x y; thỏa mãn:



^x^ ^x²^²



^y^{ }¹ ^y²^²^y^³



^²

Chứng minh rằng: x³y³3xy1

Giải

Đặt y 1 z từ giả thiết ta có:



^x^ ^x²^²



^z^ ^z²^²



^^{2 *}

 

Nhân hai vế với x² 2 x ta được

(6)



^x²^{ }² ^x²

 

^z^ ^z²^²

 

^² ^x²^{ }² ^x





²

 

²



² ²

 

2 z z 2 2 x 2 x z z 2 x 2 x 1

           

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với z² 2 z ta được



^x^ ^x²^²

 

^z²^{ }² ^z²



^²



^z²^{ }² ^z





^x ^x² ^{2 2}

 

² ^z² ² ^z



     

 

2 2

2 2 2

x x z z

     

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:

0 1 0 1

x        z x y x y Xét ^x³^^y³^³^xy^



^x^^y

 

^x²^^xy^^y²



^³^xy^^x²^^xy^^y²^³^xy

 

²

2 2

2 1

x xy y x y

     

Vậy x³y³3xy1. Điều phải chứng minh.

C. Bài tập vận dụng

2.1. Tính:



²^ ³^ ⁵



²^ ³^ ⁵



²^ ³^ ⁵



^ ²^ ³^ ⁵



Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: ^A^

  2 325 5   2 322 6.2 624.

2.2. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.

a) ^A^ ³^ ^{5 . 3}



^ ⁵



¹⁰^ ²



^;

b) ^B^ ²



^{3 1}^

 

²^ ³



^.

Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có ^A^ ³^ ^{5 . 3}



^ ^{5 . 2}

 

^{5 1}^{ }



⁶^^{2 5 .}



^{5 1 . 3}^

 

^ ⁵





^{5 1 .}

 

² ^{5 1 . 3}

 

⁵

 

^{5 1 .}

 

^{5 1 . 3}

 

⁵



       



⁵ ^{2 5 1 . 3}

 

⁵

 

^{2 3} ^{5 . 3}

 

⁵



^{2. 9 5}

 

⁸

          .

Vậy A là số tự nhiên.

b) Ta có ^B^



^{3 1 . 4}^



^^{2 3} ^



^{3 1 .}^

 

^{3 1}^



²

(7)



^{3 1 .}

 

^{3 1}



^{3 1} ²

B      . Vậy B là số tự nhiên.

2.3. Rút gọn biểu thức:

a) 3 10 20 3 6 12

5 3

P   

 ;

b) 2 3 6 8 4

2 3 4

Q    

  .

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có: ^{10 3}



²



^{6 3}



²

 

³ ²



¹⁰ ⁶



5 3 5 3

P

    

 

 



³ ^{2 . 2}

 

⁵ ³



3 2 2

5 3

P

 

  

 .

b) Ta có 2 3 2 2 6 8



² ³ ^{4 1}



²



1 2

2 3 4 2 3 4

Q

  

    

   

    .

2.4. Rút gọn các biểu thức:

a) ⁶ ²



⁶ ³ ²



⁶ ²



⁶ ³ ²



2 C

      

 ;

b) 9 6 2 6

D  3 

 .

a) 1 2 3 2 2 2 3 2 6 1 2 3 2 2 2 3 2 6 2

C            



¹ ² ³

 

² ¹ ² ³



² ¹ ² ³



¹ ² ³



2 2

C

         

 

2 2 2 2 C  .

b) ^{3. 3 2 2}

 

⁶ 3. 2 2 2 1 6

3 3

D

    

 

 

²

 

3 2 1 2

3 3 1

 

 

   

 

    .

(8)

2.5. Cho x 32. Tính giá trị Bx⁵3x⁴3x³6x²20x2018. (Thi học sinh giởi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2012 – 2013)

Hướng dẫn giải – đáp số Từ x  2 3, bình phương hai vế ta được:

 

2 2

4 4 3 4 1 0 *

x  x  x  x 

Ta có ^B^^x³



^x²^⁴^x^{ }¹



^x²



^x²^⁴^x^{ }¹

 

⁵ ^x²^⁴^x^{ }¹



²⁰¹³

Kết hợp với (*) ta có: B2013.

2.6. Tính giá trị biểu thức Ax²2002x2003 với

   

 

27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2 13 3 13 3 : 13 2

x

    



   

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2002 – 2003) Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: ^{27 10 2}^ ^



⁵^ ²



² ^{ }⁵ ²^.

 

²

27 10 2  5 2  5 2

Tử số là:



⁵^ ²

 

²^{. 5}^ ²

 

^ ⁵^ ²

 

²^{. 5}^ ²





⁵ ^{2 .23}

 

⁵ ^{2 .23}



^{46 2}

     .

Xét a 13 3 133; a0.

  

2 13 3 13 3 2 13 3 13 3

a       

 

2 2 13 4 2 13 2

a a

      .

Do đó

 

46 2 46

2 13 2 : 13 2

x 

  .

Vậy giá trị biểu thức A46²2002.46200392205. 2.7. So sánh:

a) 6 20 và 1 6 ; b) 17 12 2 và 2 1;

(9)

c) 28 16 3 và 3 2

a) Ta có ⁵^^{2 5 1}^{ }



^{5 1}^



² ^ ^{5 1}^{ } ⁶^¹

Vậy 6 20  1 6 .

b) Ta có ^{17 12 2 =}^ ^{9 12 2}^ ^^{8 =}



³^^{2 2}



²

 

²

= 32 2 = 22 21= 2 1  2 1 .

c) 16 16 3 12 = 



42 3



²= 42 3

 

²

= 3 2 3 1=  3 1 = 3 1   32. Vậy 28 16 3  32.

2.8. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:

2 2

1 1

a b  b  a Chứng minh rằng a²b² 1.

b) Chứng minh rằng số 2009²2009 .2010² ²2010² là số nguyên dương.

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có a 1a²  b 1b² .

Bình phương hai vế không âm, ta được:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 2 1 1 1 1

a  a a  a b  b b  b a a b b . Bình phương hai vế không âm, ta được:

   

2 2 2 2 4 4 2 2

1 1 0

a a b b a b a b 



^a² ^b²



^a² ^b² ¹



⁰

    

Do a, b là hai số dương khác nhau nên a²b²0

2 2

1 0 a b

    hay a²b²1. Điều phải chứng minh.

b) Đặt a2009, ta có:

  

²



²

 

²

2 2 2 4 3 2

1 1 2 1

a a a  a  a a  a a  a

(10)

   

²

 

²

4 2 2

2 1 1 1

a a a a a a

       



^a² ^a ¹



²⁰⁰⁹² ^{2009 1}

      là số nguyên dương.

2.9. Cho b0; a b. Chứng minh đẳng thức:



²



2

a b  a b  a a b

Hướng dẫn giải – đáp số Đặt A a b  a b ta có A0.

Xét ^A²^{ }^a ^b^^2.



^a^ ^b



^a^ ^b



^{ }^a ^b

 

2 2 2 2

2 2 2.

A a a b A a a b

       

Vì A0 nên ^A^ ²



^a^ ^a²^^b



. Suy ra điều phải chứng minh.

2.10. Cho x₁ 3 5 và x2  3 5 . Hãy tính: Ax x1. ; 2 Bx1²x2²; Cx1³x2³; D x1⁵x2⁵

Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: Ax x1. 2  3 5 . 3 5  9 5 2.

Ta có: Bx1²x2²  3 5 3 56.

Ta có: ^C^



^x¹^^x²

 

^x¹²^^{x x}^{1 2}^^x²²



^



³^ ⁵^ ³^ ⁵

 

⁶^²



 

C 3 5 3 5 .4

    

 

C 6 2 5 6 2 5 .2. 2

    



^{5 1} ^{5 1 .2 2}



^{4 10}

C     .

Xét



^x¹²^^x²²



^x¹³^^x²³



^^x¹⁵^^{x x}¹² ²³^^{x x}¹³ ²³^^x²⁵

 

5 5 2 2

1 2 1 2 1 2

6.4 10 x x x x x x

    

 

5 5

1 2

24 10 x x 4 3 5 3 5

      

 

5 5

1 2

24 10 x x 6 2 5 6 2 5 .2. 2

      

 

5 5

1 2

24 10 x x 5 1 5 1 .2 2

      

5 5

1 2 20 10

D x x

    .

(11)

2.11. Rút gọn biểu thức: 7 5 7 5

3 2 2 7 2 11

A     

 .

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải – đáp số Xét B 7 5 7 5

  

2 7 5 2 7 5 7 5 7 5

B       

2 14 2 49 5 14 4 11

B     

Mà B0 nên B 144 11.

Từ đó suy ra: ¹⁴ ^{4 11}



^{2 1}



² ²



^{2 1}



¹

7 2 11

A     A   

 .

2.12. Cho x y, là các số thực thỏa mãn: x 1 y y y 1 x x Tìm giá trị nhỏ nhất của S x²3xy2y²8y12.

Hướng dẫn giải – đáp số Tập xác định x1;y1.

 Trường hợp 1: Xét x y 1 suy ra:

 

2 2

1 3.1.1 2.1 8.1 12 6 1

P     

 Trường hợp 2: Xét ít nhất x1 hoặc y1. Ta có:

1 1 0

x xy y x  y 



^x ^y

 

^. ^x ^xy ^y



_x^x^{  }₁¹ ^y_y¹₁ ⁰

     

  

      

. 0

1 1

x y x y

x y x xy y

x y

 

     

  



^x ^y



^.^^x ^xy ^y _x ₁^x^ ^y_y ₁^ ⁰

         

Mà x1;y1 nên 0

1 1

x y

x xy y

x y

    

   Suy ra x y  0 x y

Ta có: S x²3x²2x²8x12

 

²

2 2 8 12 2. 2 4 0

S x x S x

        

(12)

Dấu bằng xảy ra khi x2.

Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi ^x^^{2 2}

 

. Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x2. 2.13. Rút gọn các biểu thức sau:

4 5 3 5 48 10 7 4 3

P     ;



^{3 1}



⁶ ^{2 2. 3} ² ¹² ¹⁸ ¹²⁸

Q       .

a) Ta có: P 4 5 35 48 10 4 4 33

 

²

4 5 3 5 48 10 2 3

P    

 

4 5 3 5 48 10 2 3

P    

4 5 3 5 28 10 3

P   

4 5 3 5 25 10 3 3

P    

 

²

4 5 3 5 5 3

P   

 

4 5 3 5 5 3

P   

4 5 3 25 5 3 4 25 9 3

P        .

b) ^Q^



^{3 1}^



⁶^^{2 2. 3}^ ²^ ¹²^ ^{16 8 2}^ ^²



^{3 1}



⁶ ^{2 2. 3} ² ¹²



⁴ ²



²

Q      



^{3 1}



⁶ ^{2 2. 3} ² ^{2 3} ⁴ ²

Q      



^{3 1}



⁶ ^{2 2 3} ³ ^{2 3 1}

Q     



^{3 1}



⁶ ^{2 2 3} ^{3 1}



^{3 1}



⁶ ^{2 2 2} ³

Q        

(13)



^{3 1}



⁶ ^{2 4} ^{2 3}



^{3 1}



⁶ ²



^{3 1}



Q       



^{3 1}



⁴ ^{2 3}



^{3 1}



^{3 1}



²

Q       .

2.14. Rút gọn biểu thức:

a) 6 2 5 13 48

3 1

A   

 

b) 2 3 3 13 48

6 2

T   

 

a) Ta có: 6 2 5 12 4 3 1 3 1

A    

 

 

²

6 2 5 2 3 1

3 1 3 1

A

     

 

 

 

²

6 2 3 1 6 2 3 2 3 1

3 1 3 1

A

 

  

 

 

 

6 2 3 1 3 2 3 1

3 1 3 1

A

   

 

 



^{3 1}



² 3 1 3 1 3 1 1 A

 

  

  .

b) Ta có 2 3 3 13 4 3 ^{2 3} ³



^{2 3 1}



²

6 2 6 2

T

  

 

 

 

2

2 3 3 1

2 3 3 2 3 1 2 3 3 1

6 2 6 2 2 3 1

T

 

    

  

  

 

2. 2 3 4 2 3 3 1

1

3 1 3 1

3 1

T   

   

 

 .

2.15. Rút gọn biểu thức: 2 10 30 2 2 6 2 2 10 2 2 : 3 1

A   

   .

(14)

Ta có:

   

 

10 2 3 2 2 3 3 1

. 2 2 10 2

A

   

 

   

 

10 2 . 2 3 3 1 . 2 2 10 2

A

  

 

2 3 3 1 4 2 3 3 1

. .

2 2 4 2

A    

 



^{3 1}



² 3 1 3 1 3 1 3 1 1

. .

4 2 2 2 4 2

A

    

    .

2.16. Biết x 2 2 3  6 3 2  3 . Tính giá trị biểu thức: Sx⁴16x².

Xét ^x²^{ }² ²^ ³^{ }^{6 3 2}^ ³^²



²^ ²^ ³



^{6 3 2}^ ^ ³



 

2 8 2 2 3 2 3 4 2 3

x      

2 8 2 2 3 2 6 3 3

x     

 

8 x2 2 2 3 6 3 3

      .

Bình phương hai vế ta được:

  

2 4

64 16 x x 4 2  3 6 3 32 2 3 6 3 3 

 

2 4

64 16x x 32

   

4 2

16 32

x x

   .

2.17. Cho



^x^²⁰¹⁹^



^x^²⁰¹⁹



²^²⁰²⁰

 

^y^²⁰¹⁹^



^y^²⁰¹⁹



²^²⁰²⁰



^²⁰²⁰^.

Tính giá trị của A x y.

Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x2019a y; 2019b.

Đẳng thức đã cho có dạng:



^a^ ^a²^^{2020 .}

 

^b^ ^b²^²⁰²⁰



^^{2020 *}

 

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với a²2020a, ta được:

(15)



^a²^²⁰²⁰^^a²

 

^b^ ^b²^²⁰²⁰

 

^ ^a²^²⁰²⁰^^a



^.2020

 

2 2

2020 2020 1

b b a a

     

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với b²2020b, ta được:



^a^ ^a²^²⁰²⁰

 

^b²^²⁰²⁰^^b²



^^2020.



^b²^²⁰²⁰^^b



 

2 2

2020 2020 2

a a b b

     

Từ (1) và (2) cộng vế với vế và rút gọn ta được:

0 2019 2019 0

a b   x  y 

Vậy A  x y 4038. 2.18. Rút gọn biểu thức:

 

2 2

5 6 9 2

: 2 1

3 2 9 3

x x x x x

A x x x x x

   

 

    

Ta có:

     

      

2 3 3 3 3 2

: 2 3

3 2 3 3

x x x x x x x

A x x x x x x

      

      

Điều kiện xác định   3 x 3,

 

3 2 3 3 3

: 2 3

3 3 2 3

x x x x x x

A x x x x x x

     

      

3 1 3 1

.2 3 2 3

x x

A x x

 

 

  .

2.19. Cho biểu thức ^P^



â²⁰¹³^⁸â²⁰¹²^¹¹â²⁰¹¹

 

^ ^b²⁰¹³^⁸^b²⁰¹² ^¹¹^b²⁰¹¹



^.

Tính giá trị biểu thức của P với a 4 5 và b 4 5. (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2012 – 2013)

Hướng dẫn giải – đáp số Xét a 4 5 bình phương hai vế ta được:

2 2

8 16 5 8 11 0

a  a  a  a 

Xét b  4 5 bình phương hai vế ta được:

2 2

8 16 5 8 11 0

b  b  b  b  .

   

2011 2 2011 2

8 11 8 11

Pa a  a b b  b 0

 P .

(16)

2.20. Cho 3 3

; 0 2 x 2 x

    và 32x 3 2 x a.

Tính giá trị của biểu thức

6 2 9 4x2

P x

 

 theo a.

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013 – 2014) Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: ³ ²^x ²



³ ²^x



^{3 2}^x



^{3 2}^x

P x

     





³ ²x ^{3 2}x



² 3 2x 3 2x

P x x

     

 

   



^{3 2}³ ^x² ^{3 2}^{3 2}^x

 

³ ²⁴^x ^{3 2}



⁴

P x x x x x x a

  

  

      .

2.21. Tính giá trị của biểu thức: A2x³3x²4x2

Với 5 5 5 5

2 2 3 5 1

2 2

x         .

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số

Đặt 5 5 5 5

2 2 , 0

2 2

a   a

     .

Xét ^a² ^{ }⁴ ^{2 4}^⁵^₂ ⁵ ^{ }⁴ ⁶^^{2 5} ^{ }⁴



^{5 1}^



² ^{ }³ ⁵

3 5

 a 

6 2 5 6 2 5

3 5 3 5 1 1

2 2

x  

        

5 1 5 1

1 2 1

2 2

 

    

 

² ²

2 1 1 2 1 2 2 1 0

x    x  x   x  x  . Ta có: A2x³3x²4x2



²

 

²



2 2 1 2 1 1 1

A x x  x  x  x   .

2.22. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4. Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.

(17)

Hướng dẫn giải – đáp số Đặt số đó là ab. Theo đầu bài, ta có:

2 2

ab a b aba  a bb 10a a2 2a b a 2 b 10

     

 a chẵn. Đặt ^a^²^{K K}



^^ℕ



^²^K^² ^b ^¹⁰^^K^ ^b ^⁵. Do b9 nên b0;1; 4;9.

 Nếu b 0 K   5 a 10 (loại)

 Nếu b 1 K    4 a 8 Số đó là 81

 Nếu b 4 K    3 a 6 Số đó là 64 (đã cho)

 Nếu b 9 K   2 a 4 Số đó là 49.