Bài 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
A. Lý thuyết
1. Căn bậc hai của một thương
Định lí. Với số a không âm và số b dương, ta có: a a b = b . Ví dụ 1. Tính:
a) 144 25 ;
b) 64 121. Lời giải:
a) 144 144 12
25 = 25 = 5 ;
b) 64 64 8
121= 121 =11.
2. Quy tắc khai phương một thương
Muốn khai phương một thương a
b, trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương của các số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
a a
b = b (với a ≥ 0, b > 0).
Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:
a) 49 144 ;
b) 25 49: 64 16 . Lời giải:
a) 49 49 7
144 = 144 =12;
b) 25 49: 25 : 49 5 7: 5 64 16 = 64 16 =8 4 =14. 3. Quy tắc chia hai căn bậc hai
Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
a a
b = b (với a ≥ 0, b > 0).
Ví dụ 3. Tính:
a) 75 3 ;
b) 63 : 2 1 4 12 . Lời giải:
a) 75 75 25 5
3 = 3 = = .
b) 63 : 2 1 27 : 25 27 25:
4 12 = 4 12 = 4 12
27 12 81 9 4 25. 25 5
= = = .
Chú ý. Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có:
A A
B = B .
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:
a) 9a2
64 ;
b) 63a
7a với a > 0.
Lời giải:
a)
2 2 2
9a 9a 9 . a 3
| a | 64 = 64 = 64 =8 .
b) 63a 63a 9 3
7a = 7a = = với a > 0.
B. Bài tập tự luyện Bài 1. Tính:
a) 121 256;
b) 15 149 ;
c) 4,9 16,9. Lời giải:
a) 121 121 11
256 = 256 =16.
b) 15 64 64 8
149 = 49 = 49 =7 ;
c) 4,9 49 49 7
16,9 = 169 = 169 =13. Bài 2. Tính:
a) 3 48 ;
b) 245 5 ;
c)
7
5 7
24 3 . 8
.
Lời giải:
a) 3 3 1 1
48 16 4
48 = = = .
b) 245 245 49 7
5 = 5 = = .
c)
7 7 7 7
5 7 5 7
5 7
24 24 3 . 8
3 . 8 3 . 8 3 . 8
= =
7
2 5
3 3 3
= 3 = = .
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
a)
2 4
x 9x
y . y với x < 0, y ≠ 0;
b)
4 2
3xy . 36x
y với y > 0;
c) 2xy .3 642 4
x y với x > 0, y ≠ 0.
Lời giải:
a) Ta có:
2 2
4 4
x 9x x 9x
. .
y y y y
=
2 2 2 2
x 9 . x x 3 | x |
. .
y (y ) y | y |
= = .
Vì x < 0 nên |x| = − x.
Vì y ≠ 0 nên y2 > 0. Suy ra | y2 | = y2.
Do đó
2
2 2 3
x 3 | x | x 3 . ( x) 3x
. .
y | y | y y y
− −
= = .
Vậy
2 2
4 3
x 9x 3x
y . y y
= − với x < 0, y ≠ 0.
b)
2 2 2
4 4
2 2 2
6 . (x )
36x 36x
3xy . 3xy . 3xy .
y y y
= =
2 2 2 2
(6x ) | 6x |
3xy . 3xy .
| y | y
= = .
Vì x2 ≥ 0 nên | x2 | = x2. Vì y > 0 nên |y| = y.
Do đó 3xy .| 6x |2 3xy . 6x2 18x3
| y | = y = .
Vậy
4
3 2
3xy . 36x 18x
y = với y > 0.
c) 3 2 4 3
2 4
64 64
2xy . 2xy .
x y x y
=
2
3 3
2 2 2 2
8 8
2xy . 2xy .
| x | . | y | x . (y )
= = .
Vì x > 0 nên |x| = x.
Vì y ≠ 0 nên y2 > 0. Suy ra | y2 | = y2.
Do đó 2xy .3 8 2 2xy .3 82 16y
| x | . | y |= xy = .
Vậy 2xy .3 642 4 16y
x y = với x > 0, y ≠ 0.
