Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm 2022 + Bài Tập) – Toán 8

Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) A. Lý thuyết.

1. Lập phương của một tổng.

Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³. Ví dụ 1:

3 3 2 3 2

2 3

x x x x x x

1 3 .1 3. .1 1 x 1

3 3 3 3 27 3

             

     

     

(2m + n)³ = (2m)³ + 3.(2m)².n + 3.2m.n² + n³ = 8m³ + 12m²n + 6mn² + n³. 2. Lập phương của một hiệu.

Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai trừ lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3 AB² – B³ Ví dụ 2:

3 3 2

2 3 2 3

1 1 1 1 1 3 3

y 3. .y 3. .y y y y y

2 2 2 2 8 4 2

             

     

      .

(x² – y)³ = (x²)³ – 3.(x²)².y + 3.x².y² – y³ = x⁶ – 3x⁴y + 3x²y² – y³. B. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a)

1 3

2x y

 

  

  ; b) (x² + 1)³;

c)

xy 3

y 3

  

 

  . Lời giải:

a)

3 2 3 2

3 2 3

2 3

1 1 1 1 12x 6x 1

2x (2x) 3.(2x) . 3.2x. 8x

y y y y y y y

     

        

     

     

b) (x² + 1)³ = (x²)³ + 3.(x²)².1 + 3.x².1² + 1³ = x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1

c)

3 2 3 2 3 3 3

3 2 3 3

xy xy xy xy x y x y

y y 3.y . 3.y. y xy

3 3 3 3 3 27

             

     

      .

Bài 2: Tính giá trị biểu thức.

a) P = x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 1001.

b) Q = 27x³y⁶ – 54x²y⁴z + 36xy²z² – 8z³ tại x = 4; y = 5; z = 150.

c) R = y³ + 3y²(1 – y) + 3y(1 – y)² + (1 – y)³ tại y = 1000.

Lời giải:

a) P = x³ – 3x² + 3x – 1 P = (x – 1)³

Thay x = 1001 vào P, ta được: P = (1001 – 1)³ = 1000³ = 1 000 000 000.

b) Q = 27x³y⁶ – 54x²y⁴z + 36xy²z² – 8z³

Q = (3xy²)³ – 3.(3xy²)².2z + 3.3xy².(2z)² – (2z)³ Q = (3xy² – 2z)³

Thay x = 4; y = 5; z = 150 vào Q, ta được: Q = (3.4.5² – 2.150)³ = 0.

c) R = y³ + 3y²(1 – y) + 3y(1 – y)² + (1 – y)³ R = (y + 1 – y)³

R = 1³ R = 1.

Vậy R = 1.

Bài 3: Tính nhanh

a) A = 102³ – 6.102² + 12.102 – 8;

b) B = 47³ + 9.47² + 27.47 + 27.

Lời giải:

a) A = 102³ – 6.102² + 12.102 – 8 A = 102³ – 3.102².2 + 3.102.2² – 2³ A = (102 – 2)³

A = 100³ A= 1 000 000

b) B = 47³ + 9.47² + 27.47 + 27

B = 47³ + 3.47².3+ 3.47.3² + 3³ B = (47 + 3)³

B = 50³ B = 125 000