Toán 7 Bài 11: Định lí và chứng minh định lí | Giải Toán lớp 7 Kết nối tri thức

(1)

Bài 11. Định lí và chứng minh định lí

A. Các câu hỏi trong bài

Mở đầu trang 55 sgk toán 7 tập 1: Trong Bài 10, ta đã dùng cách đo đạc để kiểm nghiệm tính chất sau là đúng:

“Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau”

(H.3.45).

Tuy nhiên, đo đạc chỉ cho ta kết quả gần đúng và chỉ trong một trường hợp cụ thể.

Vậy có cách nào để chắc chắn rằng tính chất đó đúng cho mọi trường hợp không?

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

GT

a // b; c cắt a tại A, c cắt b tại B;

Hai góc A₁ và B₁ là hai góc đồng vị.

KL A₁ B .₁

(2)

Chứng minh (Hình vẽ trên):

+) Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho BAyB .₁

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên xy // b (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Ta có a // b, xy // b nên ba đường thẳng xy // a (hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Do đó qua điểm A ta có đường hai đường thẳng a và xy cùng song song với đường thẳng b.

Theo Tiên đề Euclid suy ra đường thẳng xy trùng với đường thẳng a.

Suy ra BAyA₁ hay B₁A .₁ Vậy A₁ B .₁

Luyện tập 1 trang 56 sgk toán 7 tập 1: Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”.

Trong định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”, thì có:

(3)

Giả thiết là: “hai góc đối đỉnh”.

Kết luận là: “bằng nhau”.

Ta có thể viết giả thiết và kết luận của định lí trên bằng kí hiệu như sau:

GT

xx', yy' là các đường thẳng, xx' cắt yy' tại A;

xAy và x Ay  là hai góc đối đỉnh.

KL xAyx Ay . 

Luyện tập 2 trang 57 sgk toán 7 tập 1: Em hãy chứng minh định lí: “Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông”.

GT

xOz và zOy là hai góc kề bù;

xOz zOy.

KL xOzzOy 90 .

(4)

Theo giả thiết ta có xOz và zOy là hai góc kề bù nên xOzzOy 180  (tính chất hai góc kề bù).

Mà xOzzOy ; zOyzOy 180 . Hay 2zOy 180 

Do đó zOy 90 . Suy ra xOz 90 . Vậy xOzzOy 90 .

Tranh luận trang 57 sgk toán 7 tập 1:

Hình tròn: Hai góc đối đỉnh thì chắc chắn bằng nhau rồi. Liệu hai góc bằng nhau thì có đối đỉnh không nhỉ?

Hình vuông: Tớ nghĩ đó là điều không đúng! Nhưng làm thế nào để khẳng định điều đó không đúng nhỉ?

Em có ý kiến gì về hai ý kiến trên?

Nhận xét: Hai góc bằng nhau chưa chắc đã là hai góc đối đỉnh.

Ví dụ như hình vẽ sau:

(5)

Trong hình vẽ trên, hai góc xOz và góc tOy đều có số đo bằng 30° nhưng không phải là hai góc đối đỉnh do tia Oz là cạnh của góc xOz không là tia đối của tia Ot là cạnh của góc tOy.

B. Bài tập

Bài 3.24 trang 57 sgk toán 7 tập 1: Có thể coi định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song không?

Suy ra như thế nào?

Định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” có thể được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

GT

ac,bc;

c cắt a tại A, c cắt b tại B;

Góc aAc và góc bBc là hai góc đồng vị.

KL a // b.

(6)

Theo giả thiết ta có ac tại A nên aAc 90 ; bc tại B nên bBc 90 . Suy ra aAcbBc 90 .

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó a // b (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy a // b.

Bài 3.25 trang 57 sgk toán 7 tập 1: Hãy chứng minh định lí nói ở Ví dụ trang 56:

“Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”. Trong chứng minh đó ta đã sử dụng những điều đúng đã biết nào?

GT

a // b, ca;

c cắt a tại A, c cắt b tại B;

Góc aAc và góc bBc là hai góc đồng vị.

KL cb.

(7)

+) Chứng minh (Hình vẽ trên):

Theo giả thiết ta có ca tại A nên aAc 90 . Từ a // b suy ra aAcbBc (hai góc đồng vị).

Mà aAc 90 , do đó bBc 90 . Suy ra cb tại B.

Vậy cb.

+) Trong chứng minh trên ta đã sử dụng những điều đúng đã biết sau:

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau tạo thành các góc có số đo bằng 90°.

- Hai đường thẳng song song với nhau tạo thành cặp góc đồng vị có số đo bằng nhau.

Bài 3.26 trang 57 sgk toán 7 tập 1: Cho góc xOy không phải góc bẹt. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(1) Nếu Ot là tia phân giác của góc xOy thì xOt tOy.

(2) Nếu tia Ot thỏa mãn xOttOy thì Ot là tia phân giác của góc xOy.

Nếu có khẳng định không đúng, hãy nêu ví dụ cho thấy khẳng định đó không đúng.

(8)

(Gợi ý: Xét tia đối của một tia phân giác).

Khẳng định (1) là khẳng định đúng, khẳng định (2) là khẳng định không đúng.

Ví dụ cho thấy khẳng định (2) không đúng:

Trong hình vẽ trên ta thấy tia Ot thoả mãn điều kiện xOttOy nhưng không phải là tia phân giác của góc xOy.