là các tam giác đều

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( )u_n xác định bởi: u₁ 2 và (n1)u u_{n1 n} nu_n²1 với mọi số nguyên dương n.

a) Chứng minh rằng: ₂₀₁₈

1 2 2017

1 1 1

2018u 2.

u u  L u  

b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho u_n c với mọi số nguyên dương n.

Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB AC và ·BAC120 )⁰ , về phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác đều ABB ACC', '. Gọi M N P M N P, , , ', ', ' theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA, AB B C C, ' ', ' , A AB'. Chứng minh rằng:

a) Các tam giác MN P M NP' ', ' là các tam giác đều.

b) MM NN PP', ', ' đồng quy.

Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :¡ ¡ thoả mãn

2 2

( ) ( ) ( )

f x  x y f y với mọi số thực ,x y.

Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên ( )x_n xác định bởi: x₀ 0, x₁ 1 và x_n2 3x_n1x_n với mọi số tự nhiên n.

a) Tìm số dư của x₂₀₁₇ khi chia cho 4.

b) Chứng minh rằng x_n100 x_n (mod 101) với mọi số tự nhiên n.

Câu 5 (4,0 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con

1 1, , 20 7

A  A của tập {0,1,,10²⁰¹⁷ 1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k phần tử và mỗi phần tử của tập {0,1,,10²⁰¹⁷1} đều biểu diễn được dưới dạng x₁x₂  L x₂₀₁₇ trong đó xiAi với i 1, , 2017. Hãy xác định giá trị bé nhất của k.

---HẾT---

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ...

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII TUYÊN QUANG 2017

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11

Ngày thi: 29 tháng 7 năm 2017

Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC