Chuyên đề từ vuông góc đến song song - THCS.TOANMATH.com

(1)

Trang 1 BÀI 5: TỪ VUÔNG GÓC ĐẾN SONG SONG

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Phát biểu được quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song.

+ Phát biểu được tính chất của ba đường thẳng song song.

 Kĩ năng

+ Vận dụng được các tính chất để chứng minh bài toán.

(2)

Trang 2 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Ba đường thẳng song song

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

a c //

b c a b

  

  . //

a b c b c a

  

  .

// //

//

a c a b b c

 



II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song Phương pháp giải

Chứng minh hai đường thẳng song song:

Ngoài sử dụng các dấu hiệu (hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau....), ta có thể dựa vào dấu hiệu: hai đường thẳng cùng vuông góc hoặc song song với một đường thẳng thứ ba.

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể dựa vào:

• Định nghĩa hai đường vuông góc: Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông.

• Một đường thẳng vuông góc với một trong hai

Ví dụ 1: Cho hình vẽ:

Chứng minh //a b. Hướng dẫn giải

Vì hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường c nên a b// .

(3)

Trang 3 đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với

một đường thẳng kia.

• Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.

Chứng minh bc. Hướng dẫn giải

Ta có  ADC BCD 140   40 180. Suy ra //b a (hai góc trong cùng phía bù nhau).

Ta có B 90 suy ra ca.

Mà b a// nên cb (quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song).

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hình vẽ:

Chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có B ₁B₂180 (hai góc kề bù).

Mà B₂140 nên B₁180 B₂180 140  40 . Vẽ tia Cx trong góc ACB sao cho Cx a//

 ₁ ₁ 35 A C

    (hai góc so le trong bằng nhau).

(4)

Trang 4 Mặt khác   ACB C ₁C₂C  ₂  ACB C ₁    75 35 40.

Do đó  B₁C₂ 40 suy ra Cx b// (hai góc so le trong bằng nhau).

Vậy //a b (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba).

Ví dụ 2. Cho hình vẽ:

Biết A₁150, B 60 và //a b. Chứng minh rằng ACBC. Hướng dẫn giải

Ta có  A₁A₂180 (hai góc kề bù) A₂ 180 A₁180 150  . 30 Từ C kẻ đường thẳng Cx a b// // (Cx nằm trong ACB).

Ta có Cx b// nên C ₂  B 60 (hai góc so le trong);

//

Cx a nên C ₁A₂  30 (hai góc so le trong).

Mà tia Cx nằm giữa CA và CB nên     ACB ACx BCx C  ₁C₂ 60  30  90 . Vậy AC BC.

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Cho hình vẽ:

(5)

Trang 5 Biết //a b, A₂ 115, B₁ 25 . Chứng minh AC BC.

Câu 2: Cho góc AOB. Trên OA, OB lần lượt lấy C và D. Vẽ ngoài góc AOB hai tia Cx và tia Dy sao cho Cx Dy// . Biết OCx 35 ,

 55

ODy  (như hình vẽ dưới).

Chứng minh OA OB .

Dạng 2: Tính góc

Phương pháp giải

Bước 1. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc song song.

Bước 2. Sử dụng tính chất các cặp góc đối đỉnh, các góc kề bù nhau, các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song... để tính góc.

Biết C 135. Xác định số đo của các góc D₁. Hướng dẫn giải

Ta có ca, cb (giả thiết) suy ra //a b (vì cùng vuông góc với c).

Do đó C ₁D₁180(hai góc trong cùng phía).

Suy ra D₁180 C₁180 135 45. Vậy D₁45.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hình vẽ:

Biết a b// và B 60 . Xác định số đo của góc A₁. Hướng dẫn giải

(6)

Trang 6 Trong góc ACB vẽ tia Cx a// , khi đó Cx b// (vì //a b).

Suy ra C ₂   B 60 (hai góc so le trong).

Vì tia Cx nằm giữa tia CA và tia CB nên   ACB C ₁C₂. Suy ra C  ₁ACB C ₂     90 60 30 .

Ta có Cx a// nên C ₁A₁180 (hai góc trong cùng phía)

₁ 180 ₁ 180 30 150

A C

         . Vậy A₁150.

Ví dụ 2. Cho hình vẽ:

Biết //a b và A₁ 50 , B₁ 30 . Tính số đo góc ACB. Hướng dẫn giải

Từ C kẻ đường thẳng Cx a// (Cx nằm trong ACB) Mà //a b nên Cx b// .

Suy ra   BCx C ₁B₁ 30 (hai góc so le trong)

(7)

Trang 7 Lại có Cx a// nên   ACx C ₂ A₁  (hai góc so le trong) 50

Mà tia Cx nằm giữa CA và CB nên     ACB ACx BCx C  ₂C₁     50 30 80 .

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Cho hình vẽ:

Biết C₁125, ca, cb. Tính D₁ và D₂. Câu 2: Cho hình vẽ:

Biết //a b,   A₁B₁C. Tìm x.

Câu 3: Cho góc nhọn AOB. Từ M trên tia OA vẽ MN vuông góc với OB



^{N OB}^



^{, từ N vẽ}^{NP vuông}

góc với OA



^{P OA}^



, từ P vẽ PQ vuông góc với OB



^{Q OB}^



^{, từ Q vẽ}^QR^^{OA R OA}



^



^.

a) Chứng minh MN PQ// và NP QR// .

b) Xác định các góc có số đo bằng số đo góc PMN, các góc có số đo bằng số đo MNP biết

  90 QOR RQO  .

(8)

Trang 8 ĐÁP ÁN

Dạng 1. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song Câu 1.

Từ C kẻ đường thẳng Cx a// Cx b// (Cx nằm trong ACB).

Vì Cx b// nên BCx C   ₂B₁25 (hai góc so le trong).

//

Cx a nên  ACx A ₂ 180 (hai góc trong cùng phía).

Mà A₂115 nên ACx180 A₂ACx180 115  65 .

Mặt khác tia Cx nằm giữa CA và CB nên     ACB ACx BCx C  ₂C₁25    65 90 . Vậy CA CB .

Câu 2.

Trong góc AOB dựng tia OM Cx// OM Dy// . Vì OM Cx// nên C ₁O₁ (hai góc so le trong),

//

OM Dy nên  D₁O₂ (hai góc so le trong).

Mặt khác C₁ 35 , D₁ 55 nên

    AOB O ₁O₂ C₁D₁     35 55 90 . Vậy OA OB .

Dạng 2. Tính góc Câu 1.

Ta có ca, cb (giả thiết) suy //a b (vì cùng vuông góc với c).

Vì //a b nên C ₁D₂ 125 (hai góc so le trong),

 ₁ ₁ 180

D C   (hai góc trong cùng phía).

Suy ra D₁180 C₁180 125  55 . Vậy D₁ 55 , D₂125.

Câu 2.

Từ C kẻ tia Cy a// Cy b// (Cy nằm trong ACB).

(9)

Trang 9 Vì Cy a// nên C ₁A₂ (hai góc so le trong),

//

Cy b nên C ₂B₂ (hai góc so le trong).

Mà    A₁A₂B₁B₂ 180 180 360 nên

   A C₁ ₁B₁C₂ 360.

Mặt khác    A₁B₁C₂C₁x nên

   ₁ ₁ ₁ ₂ 3 360 120 A C B C  x   x . Cây 3.

a) MN OB, PQOB (giả thiết) suy ra MN PQ//

NPOA, QROA (giả thiết) suy ra QR PN//

b) Vì MN PQ// nên PMN RPQ (hai góc đồng vị);

Lại có NP QR// nên PQR QPN  (hai góc so le trong).

Mả  

  90   90

QPR QPN

RPQ OQR OQR RQP

   

  

   

 hay

OQR PMN 

Mặt khác NP QR// nên OQR QNP  (hai góc đồng vị).

Suy ra  PMN QNP .

Vậy các góc có số bằng số đo PMN là QNP, QPR, OQR. Vì MN PQ// nên MNP NPQ  (hai góc so le trong bằng nhau);

//

QR PN nên  NPQ PQR (hai góc so le trong bằng nhau).

Mặt khác  PQR RQO   (90 PQOB) và QOR RQO   90 (giả thiết).

Suy ra QOR PQR  .

Vậy các góc có số đo bằng góc MNP là NPQ, PQR, QOR.