PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1.(4 điểm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x x( 2)(x22x 2) 1
b) Rút gọn biểu thức: A =
22 2
2 ( 1)
1 ... 2
) 4 . 3 (
7 )
3 . 2 (
5 )
2 . 1 (
3
nn
n
Câu 2.(4 điểm) a) Cho 1 11 0.
z y
x Tính 2 2 2
z xy y xz x
A yz
b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: x2 y2 – – 3 – 2 4 0. z2 xy y z
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
b) Cho a a1, ,...,2 a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3.
Chứng minh rằng: A a 13a32 ... a20163 chia hết cho 3.
Câu 4. (6 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.
Câu 5. (2 điểm)
Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:(abc)2 a2b2c2
Tính giá trị của biểu thức: P=
ab c
c ac b
b bc a
a
2 2
2 2
2 2
2 2
2
--- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:...
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN SƠN DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi : Toán
Câu Phần Nội dung Điểm
Câu 1 (4 điểm)
a 2đ
( 2)( 2 2 2) 1
x x x x (x22 )(x x22x 2) 1
2 2 2
(x 2 )x 2(x 2 ) 1x
=(x22x1)2 (x 1)4
0.5 0.5 0.5 0.5 b
2đ Ta có :
2 2 2 22 2
2 ( 1)
1 1
) 1 (
) 1 ( ) 1 (
1 2
n n n
n
n n
n n
n
=> B = …=1- 2 2
) 1 (
) 2 ( ) 1 (
1
n
n n n
1
1
Câu 2 ( 4 điểm )
a 2đ
Ta cã abc0 th×
a b
ab
a b
c c ab
c c abc cb
a3 3 3 33 3 33 3 3
(v× abc0 nªn abc) Theo gi¶ thiÕt 1 1 1 0.
z y
x 1 1 1 3 .
3 3
3 y z xyz
x
2 2 2 3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
. 3
yz xz xy xyz xyz xyz
A x y z x y z
xyz xyz
x y z xyz
0.5 0.5
0.5
0.5 b
2đ
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0 <=> (x2 – xy +
4 y2
) + (z2 – 2z + 1) + ( 4
3y2 – 3y + 3) = 0
<=> (x - 2
y)2 + (z – 1)2 + 4
3(y – 2)2 = 0
Có các giá trị x,y,z là: (1;2;1)
1 0,5 0.5
Câu 3 (4 điểm)
a 2đ
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t
Z) thìA = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z
Z nên x2
Z, 5xy
Z, 5y2
Z x2 + 5xy + 5y2
Z0.5 0.5 0.5 0.5
Vậy A là số chính phương.
b 2đ
Dễ thấy a3 a a a( 1)(a1)là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Xét hiệu A(a1a2 ... a2016) ( a13a32 ... a20163 ) ( a1a2 ... a2016)
3 3 3
1 1 2 2 2016 2016
(a a) (a a ) ... (a a )
chia hết cho 3
Mà a a1, ,...2 a2013 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3.
Do vậy A chia hết cho 3.
0.5 0.5
0.5 0.5
Câu 4 (6 điểm )
0,5
a 2đ
∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM
Mà BCM + MBC = 900 EAM + MBC = 900
AHB = 900
Vậy AE BC
1 0,5 0,5 b
2đ
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến
1 1
2 2
HO AC DM
∆DHM vuông tại H
DHM = 900
Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5 0,5 0,5 0,5 c
1,5đ
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: DMF = 900 MF DM mà IO DM IO // MF Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF Kẻ IK AB (KAB)
IK là đường trung bình của hình thang ABFD
2 2 2
AD BF AM BM AB
IK
(không đổi)
Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
0,5 0,5
0,5
K I
O D
A M
C
B E F
H
Câu 5 ( 2 điểm )
(a+b+c)2=a2b2c2 abacbc0 ) )(
( 2
2 2
2 2
2
c a b a
a bc
ac ab a
a bc
a a
Tương tự: 2 2 2
2 ( )( )
b b
b ac b a b c
) ) ( 2
2 2
2
b c a c
c ac
c c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( ) 1
( )( )( )
a b c
P a bc b ac c ab
a b c
a b a c a b b c a c b c a b a c b c
a b a c b c
0,5 0,5 0,5
0,5 Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
