Toán 7 HK2 19-20

(1)

THÁI THỤY MÔN: TOÁN 7

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm). Khi điều tra về số sách đóng góp cho phong trào kế hoạch nhỏ của 36 học sinh lớp 7A người điều tra lập được bảng sau:

5 6 3 7 3 3 3 4 3 6 7 4

5 6 4 4 3 2 4 2 4 2 4 3

7 4 2 3 3 4 4 2 3 4 5 5

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu ở đây là gì ? Lập bảng tần số và tính số sách trung bình mỗi học sinh đã góp (làm tròn đến hàng đơn vị).

b) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.

Bài 2 (2,0 điểm).

a) Thu gọn, tìm bậc và hệ số của đơn thức A = -3 ² 5 ³ ⁴ x yz x y

4 3

   

 

 

b) Tìm đa thức B rồi tính giá trị của đa thức B tại x = 1, y = - 2 biết:

^{B + x - 2y}



³ ²



= x + 2y - 9x +1 ³ ² Bài 3 (2,0 điểm).

1. Cho 2 đa thức P x = 5 - 3x - x - x + 5x + x + 3x

 

² ⁴ ⁴ ² ³

Q x = 4x - 3x + x - x - 8

 

⁴ ³ ²

a) Thu gọn, sắp xếp đa thức P(x) theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).

2. Cho đa thức C(x) = x²– 6x + 5. Chứng tỏ đa thức C(x) có nghiệm x = 1, tìm nghiệm còn lại của đa thức C(x) (nếu có).

Bài 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A và AB < AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) So sánh góc B^ và C^của ABC; tính độ dài cạnh BC khi AB = 6cm, AC = 8cm.

b) Chứng minh BCE là tam giác cân và CA là tia phân giác của góc BCE^.

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng CE, BK cắt AC tại G. Từ K kẻ đường thẳng song song với BE cắt AC tại I và cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm BC.

d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để GA = GM = GK.

Bài 5 (0,5 điểm).

Cho đa thức P(x) = ax³ + bx² + cx + d với a, b, c, d là các số nguyên. Biết P(0) và P(1) là các số lẻ. Chứng minh P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.

----Hết----

Họ và tên học sinh………Số báo danh…………

(2)

Câu NỘI DUNG ĐIỂM

1 (2,0đ)

Khi điều tra về số sách đóng góp cho phong trào kế hoạch nhỏ của 36 học sinh lớp 7A người điều tra lập được bảng sau:

5 6 3 7 3 3 3 4 3 6 7 4

5 6 4 4 3 2 4 2 4 2 4 3

7 4 2 3 3 4 4 2 3 4 5 5

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu ở đây là gì ? Lập bảng tần số và tính số sách trung bình mỗi học sinh đã góp (làm tròn đến hàng đơn vị).

b) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.

1a (1,5 đ)

Dấu hiệu cần tìm hiểu là số sách đóng góp cho phong trào kế hoạch

nhỏ của 36 học sinh lớp 7A. 0,25

Lập bảng tần số:

Giá trị(x) 2 3 4 5 6 7

Tần số (n) 5 10 11 4 3 3 N = 36

0,75

Số trung bình cộng:

2.5 + 3.10 + 4.11+ 5.4 + 6.3 + 7.3 143

X = 4

36  36  0,5

1b (0,5đ)

Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.

0.5

2 (2,0đ)

a) Thu gọn, tìm bậc và hệ số của đơn thức A = -3 ² 5 ³ ⁴ x yz x y

4 3

   

 

 

  .

b) Tìm đa thức B rồi tính giá trị của đa thức B tại x = 1, y = - 2 biết:

^{B + x - 2y}



³ ²



= x + 2y - 9x +1 ³ ²

O 2 3 4 5 6 7 x

n

4 5 3 10 11

(3)

Câu NỘI DUNG ĐIỂM

2a (1,0đ)

A = ^^{-3 5}_{4 3}^. ^



^{x x}² ³



^{yy z}⁴



  0,25

A = -5 ⁵ ⁵ x y z 4

0,25

Bậc của đơn thức A là 11 0,25

Hệ số của đơn thức A là -5

4 0,25

2b (1,0đ)



³ ²

 

³ ²



B = x + 2y - 9x +1  x - 2y 0,25

3 2 3 2 2

B = x + 2y - 9x +1 x +2y 4y - 9x +1 0,25

Thay x = 1, y = -2 vào biểu thức B được

^{B = 4}

 

^-2 ²- 9.1+1 = 4.4 - 9 +1 = 8 0,25 Vậy B 4y - 9x +1 ² và B = 8 khi x = 1, y = -2 0,25

3 (2,0đ)

1. Cho 2 đa thức P x = 5 - 3x - x - x + 5x + x + 3x

 

² ⁴ ⁴ ² ³

Q x = 4x - 3x + x - x - 8

 

⁴ ³ ²

a) Thu gọn, sắp xếp đa thức P(x) theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x).

2. Cho đa thức C(x) = x²– 6x + 5. Chứng tỏ đa thức C(x) có nghiệm x

= 1, tìm nghiệm còn lại của đa thức C(x) (nếu có).

3.1a (0,5đ)

  

⁴ ⁴

 

² ²



⁺ ³

P x = -x + 5x  -3x + x 5 - x + 3x

 

⁴ ²⁺ ³

P x = 4x - 2x 5 - x + 3x

0,25

 

⁴ ³ ² ⁺

P x = 4x + 3x - 2x - x 5 0,25

3.1b (1,0đ)

 

^{+ Q(x)}



⁴ ³ ² ⁺

 

⁴ ³ ²



P x = 4x + 3x - 2x - x 5  4x - 3x + x - x - 8 = 4x + 3x - 2x - x 5 4x - 3x + x - x - 8⁴ ³ ² +  ⁴ ³ ²

0,25 ^{= 4x}



⁴4x + 3x - 3x⁴

 

³ ³

 

⁺ -2x + x² ²



⁺

^

-x - x

^

⁺

^

5 - 8

^

= 8x - x - 2x - 3⁴ ²

0,25

 

^{- Q(x)}



⁴ ³ ² ⁺

 

⁴ ³ ²



P x = 4x + 3x - 2x - x 5  4x - 3x + x - x - 8 = 4x + 3x - 2x - x 5 4x⁴ ³ ² +  ⁴+ 3x³-x² +x + 8

0,25 ^{= 4x}



⁴^-^{4x + 3x}⁴

 

³⁺^3x³

 

⁺ ^-2x²^-^x²



⁺



^{-x + x}



⁺



^{5 + 8}



= 6x - 3x³ ²+13

0,25

3.2 Có C(1) = 1 - 6.1+ 5 = 0² 0,25

(4)

(0.5đ) Vì C(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm của C(x).

Cho C(x) = 0  x² – 6x + 5 = 0  (x – 1)(x – 5) = 0

Tìm được x = 1; x = 5. Vậy C(x) có nghiệm còn lại là x = 5 0,25

4 (3,5đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A và AB < AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) So sánh B^và C^của ABC; tính độ dài cạnh BC khi AB = 6cm, AC

= 8cm

b) Chứng minh BCE là tam giác cân và CA là tia phân giác của góc BCE.

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng CE, BK cắt AC tại G. Từ K kẻ đường thẳng song song với BE cắt AC tại I và cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm BC.

d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để GA = GM = GK.

Ghi GT và KL 0,25

Vẽ hình đúng

G I

M

K

C

E A

B

0,25

4a (1,0đ)

ABC có AB < AC 0,25

 ˆC < B (theo quan hệ góc cạnh đối diện trong tam giác). ˆ 0,25 Áp dụng định lí Pytago vào ABC vuông tại A có:

2 2 2

BC = AB + AC BC = 6 + 8² ² ² 100 BC 10(cm) 0,5 4b

(1,0đ)

Xét ABC và AEC có: AB = AE (theo GT) BAC EAC 90^=^ ⁰ AC là cạnh chung

0,5

(5)

Câu NỘI DUNG ĐIỂM  ABC = AEC (c.g.c)

 CB = CE (hai cạnh tương ứng)

và BCA^=ECA^ (hai góc tương ứng) 0,25

 BCE cân tại C và CA là tia phân giác của góc BCE 0,25

4c (0,5đ)

Vì KM // BE ; BE  AC nên KM  AC tại I

Chứng minh KCI = MCI (g.c.g) CK = CM 0,25 Mà CK = 1

2CE; CE = CB CM = 1 2CB

M là trung điểm BC (1)

0,25

4d (0,5đ)

BCE có: CA là đường trung tuyến (vì A là trung điểm BE) BK là đường trung tuyến (vì K là trung điểm CE)

Mà CA cắt BK tại G nên G là trọng tâm của BCE (2) Từ (1) và (2) có 3 điểm E, G, M thẳng hàng

EM là đường trung tuyến của BCE.

G là trọng tâm của BCE  1 GA = CA

3 , 1

GM = EM

3 , 1

GK = BK

3 Để GA = GM = GK thì CA = EM = BK

0,25

BCE cân tại C nên luôn có EM = BK (hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau)

Chứng minh được để có CA = EM thì BCE phải cân tại B

BCE cân tại B  BE = BC = CE BCE đều  B = 60ˆ ⁰

VậyABC vuông tại A cần thêm góc B = 60ˆ ⁰thì GA = GM = GK.

0,25

5 (0,5đ)

Cho đa thức P(x) = ax³ + bx² + cx + d với a, b, c, d là các số nguyên.

Biết P(0) và P(1) là các số lẻ. Chứng minh P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.

Vì a, b, c, d là số nguyên nên:

P(0) = d là số lẻ  d là số lẻ

P(1) = a + b + c + d là số lẻ  a + b + c + d là số lẻ

0,25 Giả sử P(x) có nghiệm là số nguyên x = 2k hoặc x = 2k + 1 với kZ

+ Với x = 2k P(2k) = 0  a.(2k)³ + b.(2k)² + c.2k + d = 0

 8ak³ + 4bk² + 2ck + d = 0 (1) Lí luận 8ak³ + 4bk² + 2ck + d là số lẻ, 0 là số chẵn nên (1) không xảy ra.

(6)

+ Với x = 2k + 1 P(2k + 1) = 0

 a.(2k + 1)³ + b.(2k + 1)² + c.(2k + 1) + d = 0

 (8ak³ +12ak² + 6ak + a) + (4bk² + 4bk + b)+ (2ck + c) + d = 0

(8ak³ +12ak² + 6ak + 4bk² + 4bk + 2ck )+(a + b + c + d) = 0 (2) Lí luận (8ak³ +12ak² + 6ak + 4bk² + 4bk + 2ck ) + (a + b + c + d) là

số lẻ, 0 là số chẵn nên (2) không xảy ra.

Vậy điều giả sử là sai, P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.

0,25

Lưu ý:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình hoặc hình vẽ sai thì không cho điểm.

- Học sinh làm đúng đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0.25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.