Toán 8 Bài Ôn tập chương 2 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 8

(1)

Ôn tập chương II

A. Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 61 Toán 8 tập 1: Định nghĩa phân thức đại số. Một đa thức có phải là một phân thức đại số không ? Một số thực bất kì có phải là một phân thức đại số không ?

Lời giải

- Định nghĩa phân thức đại số:

Phân thức đại số (phân thức) là một biểu thức có dạng A

B trong đó A, B là những đa thức và B là đa thức khác 0. A là tử thức, B là mẫu thức.

- Một đa thức được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

- Một số thực a bất kì cũng là một phân thức đại số vì chúng có thể viết được dưới dạng A

B với A = a và B = 1.

Câu hỏi 2 trang 61 Toán 8 tập 1: Định nghĩa hai phân thức đại số bằng nhau.

Lời giải

Hai phân thức A

B và C

D được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C.

Câu hỏi 3 trang 81 Toán 8 tập 1: Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số.

Lời giải

Tính chất cơ bản của phân thức đại số:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho:

(2)

B B.M (M là một đa thức khác 0)

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho:

A A.N

B B.N (N là một nhân tử chung của hai đa thức A và B)

Câu hỏi 4 trang 81 Toán 8 tập 1: Nêu qui tắc rút gọn một phân thức đại số. Hãy rút gọn phân thức: ^8x₃ ⁴.

8x 1 Lời giải

Qui tắc rút gọn một phân thức đại số.

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Rút gọn:

3 3 3 2 2

4 2x 1

8x 4 8x 4 4

8x 1 2x 1 2x 1 4x 2x 1 4x 2x 1.

Câu hỏi 5 trang 81 Toán 8 tập 1: Muốn qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau làm thế nào?

Hãy qui đồng mẫu thức của hai phân thức: ₂ ^x

x 2x 1 và ₂³ 5x 5. Lời giải

- Muốn qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

+ Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

(3)

+ Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

+ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

- Quy đồng mẫu hai phân thức trên:

Ta có: x² + 2x + 1 = (x + 1)² và 5x² – 5 = 5(x² – 1) = 5(x – 1)(x + 1) MTC: 5(x – 1)(x + 1)²

Nhân tử phụ của phân thức thứ nhất là 5(x – 1):

2

2 2 2

2

x.5 x 1

x x 5x 5x

x 2x 1 x 1 5 x 1 x 1 5 x 1 x 1 .

Nhân tử phụ của phân thức thứ hai là x + 1:

2 2

3 x 1

3 3 3 3x 3

5x 5 5 x 1 5 x 1 x 1 5 x 1 x 1 5 x 1 x 1 .

Câu hỏi 6 trang 81 Toán 8 tập 1: Phát biểu các qui tắc: Cộng hai phân thức cùng mẫu thức, cộng hai phân thức khác mẫu thức. Làm tính cộng: ₃^3x ₂^x ¹ .

x 1 x x 1

Lời giải

- Qui tắc cộng hai phân thức cùng mẫu:

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

- Qui tắc cộng hai phân thức khác mẫu:

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

- Làm tính cộng:

(4)

3 2

2

2 2

2

2 2

2 2 2

2

x 1 x x 1

x 1 3x

x 1 x x 1 x 1 x x 1

3x x 2x 1

x 1 x x 1 x 1 x x 1

3x x 2x 1

x 1 x x 1

x x 1

x 1 x x 1

1 . x 1

Câu hỏi 7 trang 61 Toán 8 tập 1: Hai phân thức như thế nào được gọi là hai phân thức đối nhau? Tìm phân thức đối của phân thức: ^x ¹ .

5 2x Lời giải

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

Phân thức đối của phân thức ^x ¹

5 2x là phân thức ^x ¹ 5 2x vì:

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

5 2x 5 2x 5 2x 5 2x 5 2x 0.

Câu hỏi 8 trang 61 Toán 8 tập 1: Phát biểu qui tắc trừ hai phân thức đại số.

Lời giải

Muốn trừ phân thức A

B cho phân thức C

D ta cộng phân thức A

B cho phân thức đối của phân thức C

D.

(5)

Câu hỏi 9 trang 81 Toán 8 tập 1: Phát biểu qui tắc nhân hai phân thức đại số.

Lời giải

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

Câu hỏi 10 trang 81 Toán 8 tập 1: Cho phân thức: A

B khác 0, viết phân thức nghịch đảo của nó.

Lời giải

Phân thức nghịch đảo của phân thức A

B khác 0 là B A.

Câu hỏi 11 trang 81 Toán 8 tập 1: Phát biểu qui tắc chia hai phân thức đại số.

Lời giải

Muốn chia phân thức A

B cho phân thức C

D ta nhân phân thức A

B với phân thức nghịch đảo của phân thức C

D.

Câu hỏi 12 trang 81 Toán 8 tập 1: Giả sử A x

B x là một phân thức của biến x. Hãy nêu điều kiện của biến để giá trị của phân thức được xác định.

Lời giải

Phân thức được xác định khi biến x thỏa mãn B(x) ≠ 0.

B. Bài tập

Bài 57 trang 61 Toán 8 tập 1: Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:

a) ³

2x 3 và ^3x₂ ⁶ ; 2x x 6

(6)

b) ²

x 4 và ₃ 2x ₂ 6x x 7x 12x . Lời giải

a) Cách 1: Rút gọn biểu thức chưa tối giản:

Ta có: 3x₂ 6 3 x 2 3

2x x 6 2x 3 x 2 2x 3.

Vậy ³ ^3x₂ ⁶ .

2x 3 2x x 6

Cách 2: Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

Ta có: 2x² + x – 6 = (2x – 3)(x +2) MTC: (2x – 3)(x +2)

Nhân tử phụ của phân thức thứ nhất là x + 2: 3 3 x 2 3x₂ 6

2x 3 2x 3 x 2 2x x 6.

Mẫu thức của phân thức thứ hai là MTC nên không phải quy đồng.

Vậy ³ ^3x₂ ⁶ .

2x 3 2x x 6

Cách 3: Sử dụng định nghĩa Ta có:

3(2x² + x – 6) = 3.2x² + 3x – 3.6 = 6x² + 3x – 18;

(2x – 3)(3x + 6) = 2x.3x + 2x.6 – 3.3x – 3.6

= 6x² + 12x – 9x – 18 = 6x² + 3x – 18.

Suy ra 3(2x² + x – 6) = (2x – 3)(3x + 6).

Do đó ³ ^3x₂ ⁶ .

2x 3 2x x 6

(7)

Vậy ³ ^3x₂ ⁶ .

2x 3 2x x 6

b) ²

x 4 và

2

3 2

2x 6x

x 7x 12x .

Cách 1: Rút gọn biểu thức chưa tối giản:

Ta có:

2

3 2 2

2x x 3 2x x 3

2x 6x 2

x 7x 12x x x 7x 12 x x 3 x 4 x 4.

Vậy

2

3 2

2 2x 6x

x 4 x 7x 12x.

Cách 2: Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

Ta có:

x³ + 7x² + 12x = x(x² + 7x + 12) = x(x + 3)(x + 4).

MTC: x(x + 3)(x + 4).

Nhân tử phụ của phân thức thứ nhất là x(x + 3):

2

3 2

2x x 3

2 2x 6x

x 4 x x 3 x 4 x 7x 12.

Mẫu thức của phân thức thứ hai là MTC nên không phải quy đồng.

Vậy

2

3 2

2 2x 6x

x 4 x 7x 12x.

Cách 3: Sử dụng định nghĩa:

Ta có: 2(x³ + 7x² + 12x) = 2x³ + 14x² + 24x;

(x + 4)(2x² + 6x) = x.2x² + x.6x + 4.2x² + 4.6x

= 2x³ + 6x² + 8x² + 24x = 2x³ + 14x² + 24x;

Suy ra 2(x³ + 7x² + 12x) = (x + 4)(2x² + 6x).

(8)

Vậy 2 ₃ 2x ₂ 6x

x 4 x 7x 12x.

Bài 58 trang 62 Toán 8 tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) 2x 1 2x 1 4x

: ;

2x 1 2x 1 10x 5

b) ₂1 2 x 1

: x 2 ;

x x x 1 x

c)

3

2 2 2

1 x x 1 1

. .

x 1 x 1 x 2x 1 1 x

Lời giải

a) 2x 1 2x 1 4x

2x 1 2x 1 10x: 5

2 2

2x 1 2x 1 4x

2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 :5 2x 1

2x 1 2x 1 4x

2x 1 2x 1 :5 2x 1

2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 4x

2x 1 2x 1 :5 2x 1

2.4x 4x

2x 1 2x 1 :5 2x 1 5 2x 1

8x .

2x 1 2x 1 4x 8x.5 2x 1

2x 1 2x 1 .4x 10 .

2x 1

(9)

b) ₂1 2 x 1

: x 2

x x x 1 x

2

2 2

2

2 2

2

x 2 x

1 1 x 2x

x x 1 x x 1 : x x x

1 2x x x 2x 1

x x 1 x x 1 : x

1 2x x x 2x 1

x x 1 : x

x 2x 1 x 2x 1

x x 1 : x

x 2x 1 x

x x 1 .x 2x 1 x 2x 1 .x x x 1 . x 2x 1

1 . x 1

c)

3

2 2 2

1 x x 1 1

x 1 x 1 x. 2x 1 1 x

(10)

2 2 2 3

2 2

3

2 2

2

2 2 2

2 2

2

1 x x 1 1

x 1 x 1 x. 2x 1 x 1

1 x x 1 1

x 1 x 1. x 1 x 1 x 1

1 x x x 1 x 1

x 1 x 1. x 1 x 1 x 1 x 1

x x 1

1 x 1 x 1

x 1 x 1 . x 1 x 1

x x 1 x 1

1 2

x 1 x 1 . x 1 x 1

1 2x

x 1 x 1

2

2 2

2 2 2

x 1

x 1 2x

x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 2x x 2x 1

x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x 1

x 1.

x 1 x 1

Bài 59 trang 62 Toán 8 tập 1: a) Cho biểu thức xP yP

x P y P. Thay xy

P x y vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

b) Cho biểu thức

2 2

P Q

P Q . Thay ₂2xy ₂

P x y và ₂2xy ₂

Q x y vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải

(11)

a) Thay xy

P x y vào biểu thức ta được:

xy xy

x. y.

x y x y

xy xy

x y

x y x y

Ta có:

2 2

2 2 2 2

2

xy xy

x. y.

x y x y

xy xy

x y

x y x y

x y xy

x y x y

x x y xy y x y xy

x y x y x y x y

x y xy

x y x y

x xy xy xy y xy

x y x y

x y xy

x y x y

x y

x y x y

x y x xy y

: :

x y x y x y x y

x y x y x y. x

2

xy x y

x y. y

y x y x

b) Thay ₂2xy ₂

P x y và ₂2xy ₂

Q x y vào biểu thức trên ta được:

(12)

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2xy 2xy

x y . x y

2xy 2xy

x y x y

2xy 2xy x y .x y

2xy 2xy 2xy 2xy

x y x y x y x y

2xy.2xy

x y x y

2xy

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 4

2 2 2 2 2 2 2 2

4 4

3 3 3 3 3

4 4

2xy 2xy 2xy

x y x y x y x y

4x y

x y

2xy x y 2xy x y 2xy x y 2xy x y

x y x y x y x y

14x y

x y

2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2

x y

3 3 3

4 4

3 3

4 4 4 4

4 4

4 4 2

xy 2x y 2xy

x y

16x y

x y

4xy 4x y

x y x y

16x y

x y

16x y 1

x y

Bài 60 trang 62 Toán 8 tập 1: Cho biểu thức:

2 2

x 1 3 x 3 4x 4

2x 2 x 1 2x 2 . 5

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.

(13)

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thi nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Lời giải

a) Cách 1: Biểu thức trên xác định khi tất cả các phân thức đều xác định + x 1

2x 2 xác định ⇔ 2x – 2 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ 2 ⇔ x ≠ 1.

+ ₂3

x 1 xác định ⇔ x² – 1 ≠ 0 ⇔ x² ≠ 1 ⇔ x ≠ 1 và x ≠ -1.

+ ^x ³

2x 2 xác định ⇔ 2x + 2 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ -2 ⇔ x ≠ -1 Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 1 và x ≠ -1.

Cách 2: Tìm mẫu chung: 2(x – 1)(x + 1)

Khi đó điều kiện của xác định của biểu thức là mẫu thức chung khác 0.

Suy ra: x 1 0 x 1

2 x 1 x 1 0

x 1 0 x 1

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 1 và x ≠ -1.

b)

2 2

x 1 3 x 3 4x 4

2x 2 x 1 2x 2 . 5

(14)

2 2

x 1 . x 1 3.2 x 3 x 1 4x 4

2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 . 5

4 x 1 x 1

x 2x 1 6 x 2x 3

2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 . 5

4 x 1 x 1 x 2x 1 6 x 2x 3

2 x 1 x 1 . 5

4 x 1 x 1

10 .

2 x 1 x 1 5

10.4 x 1 x 1 2.5 x 1 x 1 4

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 61 trang 62 Toán 8 tập 1: Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức

2

2 2 2

5x 2 5x 2 x 100

x 10x x 10x . x 4 được xác định. Tính giá trị của biểu thức tại x = 20 040.

Lời giải

+ Tìm điều kiện xác định:

Biểu thức xác định khi tất cả các phân thức đều xác định.

2

5x 2

x 10x xác định ⇔ x² – 10x ≠ 0

⇔ x(x – 10) ≠ 0

⇔ x ≠ 0 và x – 10 ≠ 0

⇔ x ≠ 0 và x ≠ 10

2

5x 2

x 10x xác định ⇔ x² + 10x ≠ 0

(15)

⇔ x(x + 10) ≠ 0

⇔ x ≠ 0 và x + 10 ≠ 0

⇔ x ≠ 0 và x ≠ -10

2 2

x 100

x 4 luôn xác định vì x² + 4 > 0 với mọi x .

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 0, x ≠ 10 và x ≠ - 10.

+ Rút gọn biểu thức:

2

2 2 2

2 2

2

2 2

5x 2 5x 2 x 100

x 10x x 10x . x 4

5x 2 x 10 5x 2 x 10 x 10

x x 10 x 10 x x 10 x 10 . x 4

x 10 x 10

5x 52x 20 5x 52x 20

x x 10 x 10 x x 10 x 10 . x 4

x 10 x 10 10x 40

x x 10 x 10 . x 4

10 x 4 x

2

10 x 10

x x 10 x 10 x 4

10. x

Thay x = 20040 vào biểu thức rút gọn, ta được: ¹⁰ ¹ . 20 040 2 004

Bài 62 trang 62 Toán 8 tập 1: Tìm giá trị của x để biết giá trị của phân thức

2 2

x 10x 25

x 5x bằng 0.

Lời giải

+ Điều kiện xác định:

(16)

x – 5x ≠ 0 ⇔ x(x – 5) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 5.

+ Ta có:

2 2

x 10x 25

x 5x 0

⇒ x² – 10x + 25 = 0

⇔ (x – 5)² = 0

⇔ x – 5 = 0

⇔ x = 5 (Không thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị phân thức trên bằng 0.

Bài 63 trang 62 Toán 8 tập 1: Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:

a)

3x2 4x 17

x 2

b)

x2 x 2 x 3 Lời giải

a)

3x2 4x 17

x 2

3x2 6x 10x 17

x 2 (Tách -4x = 6x – 10x để nhóm với 3x² xuất hiện x + 2)

(17)

3x2 6x 10x 20 3 x 2

3x x 2 10 x 2 3 x 2

3x x 2 10 x 2 3

x 2 x 2 x 2

3x 10 3

x 2

Vì x để 3x 10 ³

x 2 ⇔ x + 2 ∈ Ư(3) = {1; -1; 3; -3}

+ x + 2 = 1 ⇔ x = -1 + x + 2 = -1 ⇔ x = -3 + x + 2 = 3 ⇔ x = 1 + x + 2 = -3 ⇔ x = -5

Vậy với x = 1; x = -1; x = -3 hoặc x = -5 thì phân thức có giá trị nguyên.

b)

x2 x 2 x 3

Có thể thực hiện phân tích tử thức như ý a) hoặc làm theo cách dưới đây:

Thực hiện chia x² – x + 2 cho x – 3, ta được:

2 2

x 3

x x 2

x 2

x 3x 2x 2 2x 6 8

Khi đó ta có x² – x + 2 = (x – 3)(x + 2) + 8

2 x 3 x 2 8 x 3 x 2

x x 2 8 8

x 2

x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

(18)

Vì x nên để x x 2

x 3 thì ⁸

x 3 x – 3 ∈ Ư(8) = {-1; 1; 2; -2; 4; -4; 8; - 8}.

+ x – 3 = 1 ⇔ x = 4 + x – 3 = -1 ⇔ x = 2 + x – 3 = 2 ⇔ x = 5 + x – 3 = -2 ⇔ x = 1 + x – 3 = 4 ⇔ x = 7 + x – 3 = -4 ⇔ x = -1 + x – 3 = 8 ⇔ x = 11 + x – 3 = -8 ⇔ x = -5.

Vậy với x ∈ {-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11} thì giá trị phân thức là số nguyên.

Bài 64 trang 62 Toán 8 tập 1: Tính giá trị của phân thức trong bài tập 62 tại x = 1,12 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thức ba.

Lời giải

Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ 5.

2 2 2 2

2

x 5

x 10x 25 x 2.x.5 5 x 5

x 5x x x 5 x x 5 x .

Thay x = 1,12 vào biểu thức đa rút gọn, ta được: 1,12 5

3, 464.

1,12