Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo) Câu hỏi 1 trang 23 Toán 9 Tập 2: Giải hệ phương trình (II) bằng cách đặt ẩn
phụ 1 1
u ; v
x y
rồi trả lời bài toán đã cho.
Lời giải:
(II)
1 3 1 x 2 y.
1 1 1
x y 24
. Đặt
1 u
x
1 v
y
Khi đó hệ phương trình (II) trở thành
u 3v 2 u v 1
24
u 3v 2
3 1
v v
2 24
u 3v 2
5 1
2v 24
u 3v 2
1 5
v :
24 2
3 1
3 u .
u v
2 2 60
1 1
v v
60 60
u 1 40 v 1
60
. Thay u = 1
x ; v = 1
y khi đó ta được:
1 1
x 40
1 1
y 60
x 40 y 60
(thảo mãn điều kiện)
Vậy số ngày đội A làm một mình xong đoạn đường là 40 ngày.
Số ngày đội B làm một mình xong đoạn đường là 60 ngày.
Câu hỏi 2 trang 23 Toán 9 Tập 2: Hãy giải bài toán trên bằng cách khác (gọi x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A; y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B). Em có nhận xét gì về cách giải này ?
Lời giải
Gọi x là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội A
y là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội B Điều kiện (x > 0; y > 0)
Một ngày cả hai đội làm được 1
24công việc nên ta có phương trình:
x + y = 1
24 (công việc) (1)
Mỗi ngày phần việc của đội A gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình x = 3y
2 (công việc) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
x y 1 24 x 3y
2
x 3y 2
3 1
y y
2 24
x 3y 2
5 1
2y 24
x 3y 2
1 5
y :
24 2
3 3 1
x .
x y
2 60 2
1 1
y y
60 60
x 1 40 y 1
60
(thỏa mãn)
Trong 1 ngày, đội A làm được 1
40 công việc nên đội A làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 40 ngày
Trong 1 ngày, đội B làm được 1
60 công việc nên đội B làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 60 ngày
Nhận xét:
Ở cách giải này thì chúng ta không cần đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình
Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.
Lời giải
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông (x > 2, y >
4).
Diện tích tam giác ban đầu là 1xy
2 (cm2)
+ Tăng mỗi cạnh lên 3cm thì tam giác vuông mới có độ dài 2 cạnh là x + 3(cm) và y + 3 (cm)
Diện tích tam giác mới là: 1
x 3 y
3
2 (cm2) Vì diện tích tăng thêm 36cm2 nên ta có phương trình:
1 1
xy 36 x 3 y 3
2 2
xy 72 x 3 y 3
xy 72 xy 3x 3y 9
3x 3y 72 9
3x 3y 63
x y 21
(1)
+ Giảm một cạnh 2cm và giảm cạnh kia 4cm thì tam giác vuông mới có 2 cạnh là : x – 2 (cm) và y – 4 (cm).
Diện tích tam giác mới là: 1
x 2 y
4
2 (cm2).
Diện tích giảm đi 26cm2 nên ta có phương trình
1 1
xy x 2 y 4 26
2 2
xy x 2 y 4 52
xy xy 2y 4x 8 52
4x 2y 60
2x y 30
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
x y 21 2x y 30
2x y
x y
30 21x y 21
2x y x y 9
x y 21
x 9 9 y 21
x 9
y 21 9
x 9 y 12
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là 9cm và 12cm.
Bài 32 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 4
45 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6
5 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
Lời giải:
Đổi 44
5 (h) =24 5 (h)
Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (h) Gọi thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (h)
24 24
x ; y
5 5
+ Một giờ vòi thứ nhất chảy được :1
x ( bể )
+ Một giờ vòi thứ hai chảy được :1
y ( bể )
+ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 24 5 giờ đầy bể nên một giờ cả hai vòi chảy được: 24 5
1: 5 24 (bể) 1 1 5
x y 24
(1)
+ Nếu ban đầu mở vòi 1 và 9 giờ sau mở thêm vòi 2 thì sau 6
5 (h) đầy bể. Khi đó, thời gian vòi 1 chảy là : 6 51
9 5 5 (h) và thời gian vòi 2 chảy là 6 5 (h).
Ta có phương trình:
51 1 6 1
. . 1
5 x 5 y 51 6 x y 5
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1 1 5
x y 24
51 6 x y 5
(I). Đặt
1 a x
1 b
y
khi đó hệ phương trình (I) trở thành
a b 5 24 51a 6b 5
a 5 b
24
51. 5 b 6b 5
24
a 5 b 24
10,625 51b 6b 5
a 5 b
24
45b 5 10,625
a 5 b 24
45b 5,625
a 5 b
24
b 5,625 : 45
a 5 b 24 b 1
8
5 1
a 24 8 b 1
8
a 1 12 b 1
8
. Thay a = 1
x ; b = 1
y ta có:
1 1
x 12 x 12
1 1 y 8
y 8
(thảo mãn điều kiện)
Vậy vòi thứ hai chảy một mình thì sau 8h sẽ đầy bể.
Bài 33 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Lời giải:
Gọi thời gian để người thứ nhất và người thứ hai một mình hoàn thành công việc lần lượt là x (giờ) và y (giờ). (Điều kiện x, y > 16).
Đổi 25% công việc = 1
4 công việc
Trong một giờ, người thứ nhất làm được 1
x (công việc); người thứ hai làm được 1
y(công việc).
+ Vì cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình 1 1
16. 1
x y
1 1 1 x y 16
(1).
+ Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành 1
4 công việc nên ta có phương trình 3.1 6.1 1 x y 4 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1 1
16. 16. 1
x y
1 1 1
3. 6.
x y 4
. Đặt
1 a x
1 b
y
khi đó hệ phương trình ban đầu trở thành:
16a 16b 1 3a 6b 1
4
a b 1 16 a 2b 1
12
a 2b
a b
1 112 16 a b 1
16
a 2b a b 1 48 a b 1
16
b 1 48
1 1
a 48 16
a 1 24 b 1
48
. Thay a = 1;b 1
x y khi đó ta có:
1 1
x 24 x 24
1 1 y 48
y 48
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nếu làm riêng người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24h, người thứ hai hoàn thành công việc trong 48h.
